Fyzikální veličiny a jejich jednotky

Fyzikální veličiny, jednotky fyzikálních veličin, jejich správný zápis, jednotková zkouška

Fyzikální veličiny

Popisují vlastnosti a stav věcí kolem nás (veličinou je např. hmotnost, rychlost, …)

Fyzikální veličiny se skládají ze dvou částí:

Číselná hodnota fyzikální veličiny – udává kvantitu (množství) fyzikální veličiny; prostě kolik toho je. Například 5 (milimetrů), 290 (kelvinů)
Jednotka fyzikální veličiny – udává kvalitu fyzikální veličiny; prostě v čem je daná veličina udávána (měřena). Například kilogram (kg), metr za sekundu (m ∙ s⁻¹), …

Fyzikální veličina se tedy skládá z kvantitativní a kvalitativní části.

Rozklad fyzikální veličiny na kvantitativní a kvalitativní část

Například hmotnost (\(m\)):

\begin{aligned} & m = 70\,\mathrm{g}\;(\text{gramů}) \\[0.8em] & \{m\} = 70 \\ & [m] = \mathrm{g} \\ & m = \{m\}\cdot[m] \end{aligned}

Pro vyjádření fyzikální veličiny je tedy potřebné znát množství a příslušnou jednotku.

Zápisy typu

\(m = 70\) … nevíme čeho (kilogramů?, tun?, piškotů?, něčeho jiného?)
\(m = \ldots\,\mathrm{g}\) … nevíme kolik (5?, 17?, 120 000 000?)

nám toho moc neřeknou.

Na jednotky nezapomínáme!

v = 5 \cdot \frac{7 \cdot 3 + 15}{6} = 5 \cdot \frac{21 + 15}{6} = 5 \cdot \frac{36}{6} = 5 \cdot 6 = 30\,\mathrm{m\,s^{-1}} \qquad \text{\textbf{!!}}

Uvedený zápis je špatný. Protože…

v \neq 5 \cdot \frac{7 \cdot 3 + 15}{6} = 5 \cdot \frac{21 + 15}{6} = 5 \cdot \frac{36}{6} = 5 \cdot 6 \neq 30\,\mathrm{m\,s^{-1}}

Fyzikální veličina se totiž skládá ze dvou částí, a kromě výsledku nám chybí kvalitativní část – jednotka. Rovnítka tak nemohou všude platit a zápis je tedy špatně.

Když napíšeme

v = 5 \cdot 6 = 30\,\mathrm{m\,s^{-1}} \qquad \text{\textbf{!!}}

Napsali jsme vlastně

\{v\}\cdot[v] = \{v\} = \{v\}\cdot[v] \qquad \text{\textbf{!!}}

A tato rovnost samozřejmě neplatí.

To, že se píšou jednotky až na konec (k výsledku), je rozšířený blud, který odporuje fyzikální podstatě veličin a také matematickému zápisu. Když používáme znak rovnítko (=), tak nalevo od rovnítka musí být přesně to samé jako napravo, jinak znak rovnítko nedává smysl.

Rozhodněte zda platí…

\[ \begin{array}{l} m = 3 + 6\,\mathrm{kg} = 9\,\mathrm{kg} \\[0.35em] m = (3 + 6)\,\mathrm{kg} = 9\,\mathrm{kg} \\[0.35em] m = 3\,\mathrm{kg} + 6\,\mathrm{kg} = 9\,\mathrm{kg} \end{array} \]

\[ \begin{array}{l} m = 3 \cdot 6\,\mathrm{kg} = 18\,\mathrm{kg} \\[0.35em] m = (3 \cdot 6)\,\mathrm{kg} = 18\,\mathrm{kg} \\[0.35em] m = 3\,\mathrm{kg} \cdot 6\,\mathrm{kg} = 18\,\mathrm{kg} \end{array} \]

V prvním případě (A.) neplatí první možnost.

m \neq 3 + 6\,\mathrm{kg} \neq 9\,\mathrm{kg}

Jednotkou vlastně číslo násobíme, a jelikož násobení má přednost před sčítáním, kilogramy patří k 6 a 3 je pouze číslo bez jednotky.

Výraz říká 6 kilogramů + 3. Rovnost neplatí. Ostatní možnosti na prvním řádku (A.) platí.

V druhém případě (B.) neplatí poslední možnost.

m \neq 3\,\mathrm{kg} \cdot 6\,\mathrm{kg} \neq 18\,\mathrm{kg}

\(3\,\mathrm{kg} \cdot 6\,\mathrm{kg}\) se totiž rovná \(18\,\mathrm{kg^2}\) (jednotky se také mezi sebou násobí). A jednotka \(\mathrm{kg^2}\) není jednotkou hmotnosti.

Optimální zápisy jsou:

\begin{aligned} & m = (3 + 6)\,\mathrm{kg} = 9\,\mathrm{kg} \\ & m = 3 \cdot 6\,\mathrm{kg} = 18\,\mathrm{kg} \end{aligned}

Stačí jedna jednotka

Tím je myšleno následující:

\begin{aligned} & s = v \cdot t = 5\,\mathrm{m\,s^{-1}} \cdot 7\,\mathrm{s} = 35\,\mathrm{m} \\ & s = v \cdot t = 5 \cdot 7\,\mathrm{m} = 35\,\mathrm{m} \end{aligned}

Můžeme samozřejmě psát jednotky za každou hodnotu příslušné veličiny, ale pokud tam budeme mít více hodnot od různých veličin, bude to trochu otravné.

Úspornější je napsat výslednou jednotku. U nás to je metr, jelikož počítáme dráhu. Matematicky i fyzikálně to samozřejmě musí být to samé, což u nás je, protože \(\mathrm{s^{-1}}\) v jednotce rychlosti se vykrátila se \(\mathrm{s}\), jakožto jednotkou času.

Skutečného puristu by druhý zápis možná trochu „svědil“, ale fyzikálně i matematicky je správný, úspornější a přehlednější.

Hyperkorektnost

Za hyperkorektní by se dal označit například takový zápis, v němž odlišujeme číselné hodnoty od příslušných jednotek:

v=\frac{\{s\}\,\mathrm{m}}{\{t\}\,\mathrm{s}}

Číselné hodnoty dráhy (\(\{s\}\)) a času (\(\{t\}\)) jsme vynásobili jejich jednotkami — metrem (\(\mathrm{m}\)) a sekundou (\(\mathrm{s}\)). Výsledkem je opět fyzikální veličina rychlosti.

Jednotková zkouška

Jednotková zkouška slouží ke kontrole, jestli má výsledek správnou jednotku. Neříká nám, že výpočet je určitě správně, ale umí odhalit, že je něco určitě špatně.

Mějme vztah pro výpočet dráhy přímočarého rovnoměrně zrychleného pohybu z klidu:

s=\frac{1}{2}at^2

Vyjádříme si čas (\(t\)):

\begin{aligned} &2s = at^2 \\[0.6em] &t^2 = \frac{2s}{a} \\[0.6em] &t = \sqrt{\frac{2s}{a}} \end{aligned}

Víme, že platí:

[t]=\mathrm{s}

Teď provedeme jednotkovou zkoušku, která spočívá v tom, že za veličiny do vztahu dosadíme jejich jednotky.

Pokud je vyjádření času správně, měly by nám vyjít sekunda. Jak již jsme psali výše, nepotvrdí nám to, ze vyjádření času je určitě správně, ale pokud by nám nevyšla sekunda, bylo by určitě špatně.

\begin{aligned} &[t] = \sqrt{\frac{[2]\,[s]}{[a]}} \\[0.7em] &[t] = \sqrt{\frac{1\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{m\,s^{-2}}}} \\[0.7em] &[t] = \sqrt{\frac{1}{\mathrm{s^{-2}}}} \\[0.7em] &[t] = \sqrt{\mathrm{s^2}} \\[0.7em] &[t] = \mathrm{s} \end{aligned}

Jako jednotku čísla 2 dáváme 1. Jelikož jednotkou vlastně hodnotu násobíme, takže hledáme „něco“, čím vynasobíme dvojku a dostaneme dvojku. A to splňuje číslo 1. Tedy \([2]=1\).

Ten první řádek nemusíme psát a můžeme dosadit rovnou jednotky a výpočet psát za sebe. Pokud se tam objeví číslo, dosazujeme automaticky jedničku, a tu ani psát nemusíme.

[t] = \sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m\,s^{-2}}}} = \sqrt{\frac{1}{\mathrm{s^{-2}}}} = \sqrt{\mathrm{s^2}} = \mathrm{s}

Jelikož jednotka sekunda představuje kladný časový interval, proto můžeme psát \(\sqrt{\mathrm{s}^2}=\mathrm{s}\), jinak samozřejmě platí \(\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert\) (odmocnina je vždy nezáporná).