Archimédův zákon

Jakou maximální hmotnost může mít člověk, který stojí na plovoucí kře, aby se nenamočil? Vodorovná plocha kry má obsah \(S = 2\,\mathrm{m^2}\) a kra má tloušťku \(d = 30\,\mathrm{cm}\). Hustota ledu je \(900\,\mathrm{kg\,m^{-3}}\), hustota vody je \(1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}\). Považujte kru za tuhou; člověk stojí uprostřed a kra se nenaklání.

Maximální hmotnosti odpovídá mezní stav těsně předtím, než voda dosáhne nad horní plochu kry. Horní plocha je tedy právě v úrovni hladiny.

Budeme uvažovat síly, které působí na kru. V mezním stavu je ponořený celý objem kry \(V_{\text{kry}}\). Vztlaková síla \(F_{\text{vz}}\) směřuje vzhůru. Dolů působí gravitační síla, kterou Země přitahuje kru, a tíha člověka, tedy síla, kterou člověk tlačí na kru. Tíhu člověka označíme \(G\). Pro rovnováhu kry tedy platí:

Schéma člověka stojícího na plovoucí ledové kře
\[ F_{g,\text{kry}} + G = F_{\text{vz}} \] \[ m_{\text{kry}}g + m_{\text{člověka}}g = V_{\text{kry}}\rho_{\text{vody}}g \] \[ m_{\text{kry}} + m_{\text{člověka}} = V_{\text{kry}}\rho_{\text{vody}} \] \[ m_{\text{člověka}} = V_{\text{kry}}\rho_{\text{vody}} - m_{\text{kry}} \]

Jelikož neznáme hmotnost kry, vyjádříme si ji pomocí hustoty ledu a objemu kry:

\[ m_{\text{kry}} = V_{\text{kry}}\rho_{\text{ledu}} \] \[ m_{\text{člověka}} = V_{\text{kry}}\rho_{\text{vody}} - V_{\text{kry}}\rho_{\text{ledu}} \] \[ m_{\text{člověka}} = V_{\text{kry}}\left(\rho_{\text{vody}} - \rho_{\text{ledu}}\right) \]

Objem kry vyjádříme z obsahu její vodorovné plochy \(S\) a tloušťky \(d\):

\[ V_{\text{kry}} = Sd \]

Dosadíme tento objem do vztahu pro hmotnost člověka:

\[ m_{\text{člověka}} = Sd\left(\rho_{\text{vody}} - \rho_{\text{ledu}}\right) \]

A nakonec čísla:

\[ m_{\text{člověka}} = 2 \cdot 0{,}30(1000 - 900)\,\mathrm{kg} \] \[ \boldsymbol{m_{\text{člověka}} = 60\,\mathrm{kg}} \]

Maximální hmotnost člověka je \(60\,\mathrm{kg}\).

Uvnitř dutá mosazná koule má hmotnost \(1{,}20\,\mathrm{kg}\). Určete tloušťku její stěny, má-li po úplném ponoření ve vodě zůstat v rovnováze v libovolné hloubce.
\(\rho_{\text{mosazi}} = 8\,500\,\mathrm{kg\,m^{-3}}\), \(\rho_{\text{vody}} = 1\,000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}\)

Po úplném ponoření se vytlačený objem vody s hloubkou nemění. Koule proto zůstane v rovnováze v libovolné hloubce právě tehdy, když se vztlaková a tíhová síla vyrovnají. Kouli považujeme za uzavřenou a hmotnost vzduchu v dutině zanedbáme.

Vnější objem koule označíme \(V\). Vztlaková síla se počítá z tohoto celého objemu, protože právě takový objem vody ponořená koule vytlačí:

\[ F_{\text{vz}} = F_g \] \[ \rho_{\text{vody}}Vg = mg \] \[ V = \frac{m}{\rho_{\text{vody}}} \]

Dosadíme hmotnost koule a hustotu vody:

\[ V = \frac{1{,}20}{1000}\,\mathrm{m^3} \] \[ V = 0{,}00120\,\mathrm{m^3} \]

Z vnějšího objemu koule určíme její vnější poloměr \(R\):

\[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \] \[ R = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}} \] \[ R = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 0{,}00120}{4\pi}}\,\mathrm{m} \] \[ R \approx 0{,}06592\,\mathrm{m} \]

Uvedená hmotnost patří mosazné stěně. Objem mosazi proto vypočteme z hmotnosti a hustoty mosazi:

\[ V_{\text{mosazi}} = \frac{m}{\rho_{\text{mosazi}}} \] \[ V_{\text{mosazi}} = \frac{1{,}20}{8500}\,\mathrm{m^3} \] \[ V_{\text{mosazi}} \approx 0{,}0001412\,\mathrm{m^3} \]

Objem dutiny dostaneme tak, že od celého vnějšího objemu koule odečteme objem mosazi:

\[ V_{\text{dutiny}} = V - V_{\text{mosazi}} \] \[ V_{\text{dutiny}} \approx (0{,}00120 - 0{,}0001412)\,\mathrm{m^3} \] \[ V_{\text{dutiny}} \approx 0{,}0010588\,\mathrm{m^3} \]

Vnitřní poloměr koule označíme \(r\). Dutina má tvar koule, proto:

\[ V_{\text{dutiny}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \] \[ r = \sqrt[3]{\frac{3V_{\text{dutiny}}}{4\pi}} \] \[ r \approx 0{,}06323\,\mathrm{m} \]

Tloušťka stěny \(t\) je rozdíl vnějšího a vnitřního poloměru:

\[ t = R-r \] \[ t \approx (0{,}06592-0{,}06323)\,\mathrm{m} \] \[ t \approx 0{,}00269\,\mathrm{m} \] \[ \boldsymbol{t \approx 2{,}7\,\mathrm{mm}} \]

Tloušťka stěny mosazné koule je přibližně \(2{,}7\,\mathrm{mm}\).

Uzavřený ocelový plovák má tvar koule o vnějším průměru \(24\,\mathrm{cm}\). Ve vodě plave tak, že hladina je \(16\,\mathrm{cm}\) nad jeho nejnižším bodem. Vypočtěte tloušťku stěny plováku.
\(\rho_{\text{oceli}} = 7\,800\,\mathrm{kg\,m^{-3}}\), \(\rho_{\text{vody}} = 1\,000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}\)

Nejprve určíme objem ponořené části plováku. Vnější poloměr plováku je polovina jeho průměru. Výška ponořené části se měří od nejnižšího bodu plováku až k hladině:

\[ R = \frac{24}{2}\,\mathrm{cm} = 0{,}12\,\mathrm{m} \] \[ h = 16\,\mathrm{cm} = 0{,}16\,\mathrm{m} \]

Ponořená část koule je kulová úseč o výšce \(h\). Její objem \(V_p\) vypočteme ze vztahu:

\[ V_p = \pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right) \] \[ V_p = \pi \cdot 0{,}16^2 \left(0{,}12-\frac{0{,}16}{3}\right)\,\mathrm{m^3} \] \[ V_p \approx 0{,}005362\,\mathrm{m^3} \]

Plovák je v klidu, takže vztlaková síla má stejnou velikost jako jeho tíhová síla. Z rovnováhy určíme hmotnost plováku:

\[ F_{\text{vz}} = F_g \] \[ \rho_{\text{vody}}V_pg = mg \] \[ m = \rho_{\text{vody}}V_p \] \[ m \approx 1000 \cdot 0{,}005362\,\mathrm{kg} \] \[ m \approx 5{,}362\,\mathrm{kg} \]

Hmotnost vzduchu uvnitř zanedbáme, proto je vypočtená hmotnost zároveň hmotností ocelové stěny. Z ní určíme objem oceli:

\[ V_{\text{oceli}} = \frac{m}{\rho_{\text{oceli}}} \] \[ V_{\text{oceli}} = \frac{5{,}362}{7800}\,\mathrm{m^3} \] \[ V_{\text{oceli}} \approx 0{,}0006874\,\mathrm{m^3} \]

Celý vnější objem plováku vypočteme z vnějšího poloměru \(R\):

\[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \] \[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 0{,}12^3 \] \[ V \approx 0{,}007238\,\mathrm{m^3} \]

Objem vnitřní dutiny dostaneme odečtením objemu oceli od celého vnějšího objemu:

\[ V_{\text{dutiny}} = V - V_{\text{oceli}} \] \[ V_{\text{dutiny}} \approx (0{,}007238 - 0{,}0006874)\,\mathrm{m^3} \] \[ V_{\text{dutiny}} \approx 0{,}006551\,\mathrm{m^3} \]

Vnitřní poloměr dutiny označíme \(r\). Pro objem dutiny platí:

\[ V_{\text{dutiny}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \] \[ r = \sqrt[3]{\frac{3V_{\text{dutiny}}}{4\pi}} \] \[ r \approx 0{,}11607\,\mathrm{m} \]

Tloušťka stěny \(t\) je rozdíl vnějšího a vnitřního poloměru:

\[ t = R-r \] \[ t \approx (0{,}12-0{,}11607)\,\mathrm{m} \] \[ t \approx 0{,}00393\,\mathrm{m} \] \[ \boldsymbol{t \approx 3{,}9\,\mathrm{mm}} \]

Tloušťka stěny ocelového plováku je přibližně \(3{,}9\,\mathrm{mm}\).