Gravitační pole

ObtížnějšíV jaké výšce nad povrchem Země je hodnota gravitačního zrychlení poloviční proti hodnotě gravitačního zrychlení na povrchu Země?

V této úloze budeme Zemi považovat za kulově symetrické těleso a její rotaci zanedbáme. Podle Newtonovy slupkové věty má taková Země ve vnějším prostoru stejné gravitační pole jako bodová hmotnost \(M_\mathrm{Z}\) umístěná v jejím středu. Označme \(R_\mathrm{Z}\) poloměr Země, \(m\) hmotnost zkušebního tělesa a \(h\) hledanou výšku nad povrchem. Pro číselný výpočet použijeme střední poloměr \(R_\mathrm{Z}=6\,371\,\mathrm{km}\).

Na povrchu Země působí na zkušební těleso gravitační síla o velikosti:

\[ F_g = G\,\frac{M_\mathrm{Z}m}{R_\mathrm{Z}^2} \]

Z vztahu pro velikosti sil \(F_g=ma\) vyjádříme velikost gravitačního zrychlení \(g_0\) na povrchu Země:

\[ g_0 = \frac{F_g}{m} = G\,\frac{M_\mathrm{Z}}{R_\mathrm{Z}^2} \]

Ve výšce \(h\) nad povrchem je těleso od středu Země vzdáleno \(R_\mathrm{Z}+h\). Gravitační zrychlení \(g_h\) má proto velikost:

\[ g_h = G\,\frac{M_\mathrm{Z}}{\left(R_\mathrm{Z}+h\right)^2} \]

Podle zadání má být tato hodnota poloviční oproti hodnotě na povrchu, tedy \(g_h=\frac{g_0}{2}\). Dosadíme oba vztahy:

\[ G\,\frac{M_\mathrm{Z}}{\left(R_\mathrm{Z}+h\right)^2} = \frac{1}{2}\, G\,\frac{M_\mathrm{Z}}{R_\mathrm{Z}^2} \]

Rovnici vydělíme nenulovým součinem \(GM_\mathrm{Z}\):

\[ \frac{1}{R_\mathrm{Z}^2} = \frac{2}{\left(R_\mathrm{Z}+h\right)^2} \]

Upravíme na základní tvar kvadratické rovnice \(ax^2+bx+c=0\):

\[ \frac{1}{R_\mathrm{Z}^2} = \frac{2}{R_\mathrm{Z}^2+2R_\mathrm{Z}h+h^2} \] \[ R_\mathrm{Z}^2+2R_\mathrm{Z}h+h^2 = 2R_\mathrm{Z}^2 \] \[ h^2+2R_\mathrm{Z}h-R_\mathrm{Z}^2=0 \]

V rovnici \(h^2+2R_\mathrm{Z}h-R_\mathrm{Z}^2=0\) jsou koeficienty \(a\mathrel{\widehat{=}}1\), \(b\mathrel{\widehat{=}}2R_\mathrm{Z}\) a \(c\mathrel{\widehat{=}}-R_\mathrm{Z}^2\). Dosadíme je do vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:

\[ h_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \] \[ h_{1,2} = \frac{-2R_\mathrm{Z}\pm\sqrt{4R_\mathrm{Z}^2+4R_\mathrm{Z}^2}}{2} = \frac{-2R_\mathrm{Z}\pm\sqrt{2\cdot4R_\mathrm{Z}^2}}{2} \] \[ h_{1,2} = \frac{-2R_\mathrm{Z}\pm2R_\mathrm{Z}\sqrt{2}}{2} = -R_\mathrm{Z}\pm R_\mathrm{Z}\sqrt{2} \] \[ h_1 = -R_\mathrm{Z}+R_\mathrm{Z}\sqrt{2} = R_\mathrm{Z}\sqrt{2}-R_\mathrm{Z} = R_\mathrm{Z}\left(\sqrt{2}-1\right) \] \[ h_2 = -R_\mathrm{Z}-R_\mathrm{Z}\sqrt{2} = R_\mathrm{Z}\left(-1-\sqrt{2}\right) \]

Druhý kořen \(h_2=R_\mathrm{Z}\left(-1-\sqrt{2}\right)\) je záporný. Hledaná výška nad povrchem Země však musí splňovat \(h\geq0\), proto tento kořen vyloučíme. Fyzikálně smysluplný je pouze kořen \(h_1=R_\mathrm{Z}\left(\sqrt{2}-1\right)\).

Dosadíme hodnotu:

\[ R_\mathrm{Z}\left(\sqrt{2}-1\right) = 6\,371\,\mathrm{km}\cdot\left(\sqrt{2}-1\right) \approx 2\,639\,\mathrm{km} \]

Poloviční hodnota gravitačního zrychlení proti hodnotě na povrchu Země je ve výšce přibližně 2 639 kilometrů.

V jaké výšce nad povrchem Země, mezi Zemí a Měsícem na spojnici jejich středů, jsou gravitační síly Země a Měsíce stejně velké? Použijte následující hodnoty: \(M_\mathrm{Z}=5{,}97\cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}\) – hmotnost Země \(M_\mathrm{M}=7{,}35\cdot 10^{22}\,\mathrm{kg}\) – hmotnost Měsíce \(d=384\,400\,\mathrm{km}\) – vzdálenost středů Země a Měsíce \(R_\mathrm{Z}=6\,371\,\mathrm{km}\) – střední poloměr Země

Zemi i Měsíc budeme považovat za kulově symetrická tělesa. Podle Newtonovy slupkové věty proto jejich vnější gravitační pole můžeme počítat tak, jako by byla veškerá hmotnost každého tělesa soustředěna v jeho středu. Vliv Slunce, dalších těles a otáčení soustavy Země–Měsíc zanedbáme. Hledáme pouze místo, kde se vyrovnají obě gravitační síly; nejde o librační bod \(L_1\).

Nejprve rozlišíme dvě vzdálenosti, které se v této úloze snadno zamění. Newtonův gravitační zákon používá vzdálenost od středu tělesa, nikoli výšku nad jeho povrchem. Označme proto \(r\) vzdálenost hledaného místa od středu Země. Pro hledanou výšku \(h\) platí:

\[ r=R_\mathrm{Z}+h \]

Celková vzdálenost středů Země a Měsíce je \(d\). Hledané místo leží mezi nimi, takže jeho vzdálenost od středu Měsíce je \(d-r\).

Na zkušební těleso o hmotnosti \(m\) působí obě gravitační síly opačnými směry. Jejich velikosti jsou:

\[ \begin{aligned} &F_\mathrm{Z}= G\,\frac{M_\mathrm{Z}m}{r^2} \\[0.8em] &F_\mathrm{M}= G\,\frac{M_\mathrm{M}m}{(d-r)^2} \end{aligned} \]

V hledaném místě mají být velikosti sil stejné:

\[ G\,\frac{M_\mathrm{Z}m}{r^2} = G\,\frac{M_\mathrm{M}m}{(d-r)^2} \]

Gravitační konstanta \(G\) i hmotnost zkušebního tělesa \(m\) se vykrátí. Protože hledané místo leží mezi Zemí a Měsícem, jsou obě vzdálenosti \(r\) a \(d-r\) kladné. Rovnici tedy můžeme odmocnit bez nejasnosti se znaménkem:

\[ \frac{M_\mathrm{Z}}{r^2} = \frac{M_\mathrm{M}}{(d-r)^2} \] \[ \frac{r}{d-r} = \sqrt{\frac{M_\mathrm{Z}}{M_\mathrm{M}}} \]

Nyní vyjádříme vzdálenost \(r\) od středu Země:

\[ \begin{aligned} &\sqrt{M_\mathrm{Z}}\,(d-r)= \sqrt{M_\mathrm{M}}\,r \\[0.8em] &d\sqrt{M_\mathrm{Z}}= r\left(\sqrt{M_\mathrm{Z}}+\sqrt{M_\mathrm{M}}\right) \\[0.8em] &r= \frac{d}{1+\sqrt{\frac{M_\mathrm{M}}{M_\mathrm{Z}}}} \end{aligned} \]

Nejprve vypočítáme odmocninu poměru hmotností:

\[ \sqrt{\frac{M_\mathrm{M}}{M_\mathrm{Z}}} = \sqrt{ \frac{7{,}35\cdot10^{22}} {5{,}97\cdot10^{24}} } \approx 0{,}111 \]

Dosadíme do vztahu pro \(r\):

\[ \begin{aligned} &r= \frac{384\,400\,\mathrm{km}} {1+\sqrt{M_\mathrm{M}/M_\mathrm{Z}}} \\[0.8em] &r\approx 3{,}46\cdot10^5\,\mathrm{km} \end{aligned} \]

Tato hodnota je vzdálenost od středu Země. Úloha však žádá výšku nad povrchem, proto ještě odečteme poloměr Země:

\[ \begin{aligned} &h=r-R_\mathrm{Z} \\[0.8em] &h\approx \left(3{,}46\cdot10^5-6\,371\right)\,\mathrm{km} \\[0.8em] &h\approx \boxed{3{,}40\cdot10^5\,\mathrm{km}} \end{aligned} \]

Výsledek odpovídá poměru hmotností: Země je přibližně \(81{,}2\)krát hmotnější než Měsíc, a proto musí být hledaný bod přibližně \(\sqrt{81{,}2}\approx9\)krát dále od středu Země než od středu Měsíce. Leží tedy výrazně blíže Měsíci.

Gravitační síly Země a Měsíce jsou stejně velké přibližně ve výšce \(3{,}40\cdot10^5\,\mathrm{km}\) nad povrchem Země.

Ve kterém místě je gravitační pole slabší ve srovnání s povrchem Země — 1 000 km nad povrchem Země, nebo 1 000 km pod povrchem Země? Považujte Zemi za homogenní kouli.

Velikost gravitačního pole budeme vyjadřovat pomocí gravitačního zrychlení. Označme \(g_0\) jeho velikost na povrchu Země a \(H=1\,000\,\mathrm{km}\) vzdálenost porovnávaných míst od povrchu. Pro číselný výpočet použijeme \(R_\mathrm{Z}=6\,371\,\mathrm{km}\).

\[ g_0 = G\,\frac{M_\mathrm{Z}}{R_\mathrm{Z}^2} \]

Nejvýhodnější je počítat poměry vůči \(g_0\). Gravitační konstanta \(G\) i hmotnost Země \(M_\mathrm{Z}\) se potom vykrátí.

1. Bod \(1\,000\,\mathrm{km}\) nad povrchem Země

Nad povrchem působí celá hmotnost Země. Vzdálenost od jejího středu je \(R_\mathrm{Z}+H=7\,371\,\mathrm{km}\), proto:

\[ \begin{aligned} &\frac{g_\mathrm{nad}}{g_0}= \frac{ G\frac{M_\mathrm{Z}}{(R_\mathrm{Z}+H)^2} }{ G\frac{M_\mathrm{Z}}{R_\mathrm{Z}^2} } \\[0.8em] &\frac{g_\mathrm{nad}}{g_0}= \left( \frac{R_\mathrm{Z}}{R_\mathrm{Z}+H} \right)^2 \\[0.8em] &\frac{g_\mathrm{nad}}{g_0}= \left(\frac{6\,371}{7\,371}\right)^2 \approx 0{,}747 \end{aligned} \]

Ve výšce \(1\,000\,\mathrm{km}\) má tedy gravitační pole přibližně \(74{,}7\,\%\) hodnoty na povrchu. Oproti povrchu zesláblo přibližně o \(25{,}3\,\%\).

2. Bod \(1\,000\,\mathrm{km}\) pod povrchem Země

Pod povrchem je situace jiná. Kulové vrstvy ležící nad daným místem se ve výsledném gravitačním působení navzájem vyruší. Přispívá pouze hmota uvnitř koule o poloměru \(r=R_\mathrm{Z}-H\).

Země je podle zadání homogenní, takže hmotnost je úměrná objemu. Hmotnost \(M(r)\) uzavřená uvnitř poloměru \(r\) proto splňuje:

\[ M(r) = M_\mathrm{Z} \left(\frac{r}{R_\mathrm{Z}}\right)^3 \]

Dosadíme tuto hmotnost do vztahu pro gravitační zrychlení uvnitř Země:

\[ \begin{aligned} &g_\mathrm{pod}= G\,\frac{M(r)}{r^2} \\[0.8em] &g_\mathrm{pod}= G\,\frac{ M_\mathrm{Z} \left(\frac{r}{R_\mathrm{Z}}\right)^3 }{r^2} \\[0.8em] &g_\mathrm{pod}= G\,\frac{M_\mathrm{Z}}{R_\mathrm{Z}^3}\,r \end{aligned} \]

Uvnitř homogenní koule je velikost gravitačního pole přímo úměrná vzdálenosti od středu. Při postupu od povrchu ke středu proto lineárně klesá až k nule. Pro hloubku \(H=1\,000\,\mathrm{km}\) je \(r=R_\mathrm{Z}-H=5\,371\,\mathrm{km}\), a proto:

\[ \begin{aligned} &\frac{g_\mathrm{pod}}{g_0}= \frac{r}{R_\mathrm{Z}} = \frac{R_\mathrm{Z}-H}{R_\mathrm{Z}} \\[0.8em] &\frac{g_\mathrm{pod}}{g_0}= \frac{5\,371}{6\,371} \approx 0{,}843 \end{aligned} \]

V hloubce \(1\,000\,\mathrm{km}\) má tedy gravitační pole přibližně \(84{,}3\,\%\) hodnoty na povrchu. Oproti povrchu zesláblo přibližně o \(15{,}7\,\%\).

Pod povrchem nesmíme použít vztah \(GM_\mathrm{Z}/r^2\) s celou hmotností Země. Ten platí v této podobě pouze vně kulově symetrické Země; uvnitř se spolu se vzdáleností zmenšuje také hmotnost, která přispívá k výslednému poli.

Porovnáme obě hodnoty:

\[ \frac{g_\mathrm{nad}}{g_0} \approx 0{,}747 \;<\; \frac{g_\mathrm{pod}}{g_0} \approx 0{,}843 \]

Gravitační pole je slabší \(1\,000\,\mathrm{km}\) nad povrchem Země.