Kalorimetrická rovnice

Kolik litrů vody o teplotě 85 °C musíme přilít do 10 litrů vody o teplotě 8 °C, aby výsledná teplota byla 24 °C? Předpokládejme, že tepelná výměna nastane pouze mezi studenější a teplejší vodou.

Platí, že množství tepla, které odevzdá teplejší voda, se rovná množství tepla, které přijme studenější voda.

\[ Q_{\text{odevzdané teplejší vodou}} = Q_{\text{přijaté studenější vodou}} \]

\(t_1\) – teplota teplejší vody

\(t_2\) – teplota studenější vody

\(t\) – výsledná teplota (po ustálení)

\(m_1\) – hmotnost teplejší vody (tu hledáme)

\(m_2\) – hmotnost studenější vody

\(c\) – měrná tepelná kapacita vody

\[ m_1 c (t_1 - t) = m_2 c (t - t_2) \]

Vyjádříme \(m_1\), dosadíme a máme výsledek.

\[ m_1(t_1 - t) = m_2(t - t_2) \] \[ m_1 = \frac{m_2(t - t_2)}{t_1 - t} \] \[ m_1 = \frac{10(24 - 8)}{85 - 24}\,\mathrm{kg} \] \[ m_1 = \frac{160}{61}\,\mathrm{kg} \] \[ m_1 \approx 2{,}62\,\mathrm{kg}, \qquad V_1=\frac{m_1}{\rho_{\text{vody}}}\approx2{,}62\,\mathrm{l} \qquad \left(\rho_{\text{vody}}\approx1\,\mathrm{kg\,l^{-1}}\right) \]

Musíme přilít \(2{,}62\,\mathrm{l}\) vody.

Do 5 litrů vody, která má teplotu 18 °C, hodíme 300gramový měděný váleček o teplotě 700 °C. O kolik stupňů se voda ohřeje po ustálení teploty? Předpokládejme, že tepelná výměna nastane pouze mezi vodou a válečkem. Měrná tepelná kapacita vody je
4180 J · K-1 · kg-1, měrná tepelná kapacita mědi je 383 J · K-1 · kg-1.

Platí, že množství tepla, které předá váleček studenější vodě, se rovná množství tepla, které přijme studenější voda od teplejšího válečku.

Přenos tepla z válečku do vody probíhá do ustálení teploty soustavy (váleček-voda).

\[ Q_{\text{předané válečkem vodě}} = Q_{\text{přijaté vodou od válečku}} \]

\(t_1\) – teplota válečku před vložením do vody

\(t_2\) – teplota vody před vložením válečku

\(t\) – výsledná teplota (po ustálení)

\(m_1\) – hmotnost válečku

\(m_2\) – hmotnost vody

\(c_1\) – měrná tepelná kapacita mědi

\(c_2\) – měrná tepelná kapacita vody

\[ m_1 c_1(t_1 - t) = m_2 c_2(t - t_2) \]

Vyjádříme výslednou teplotu \(t\) a dosadíme zadané hodnoty.

\[ m_1 c_1 t_1 - m_1 c_1 t = m_2 c_2 t - m_2 c_2 t_2 \] \[ m_1 c_1 t + m_2 c_2 t = m_1 c_1 t_1 + m_2 c_2 t_2 \] \[ t(m_1 c_1 + m_2 c_2) = m_1 c_1 t_1 + m_2 c_2 t_2 \] \[ t = \frac{m_1 c_1 t_1 + m_2 c_2 t_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2} \] \[ t = \frac{0{,}3 \cdot 383 \cdot 700 + 5 \cdot 4180 \cdot 18}{0{,}3 \cdot 383 + 5 \cdot 4180}\,{}^{\circ}\mathrm{C} \] \[ t = 21{,}73\,{}^{\circ}\mathrm{C} \]

Vypočítali jsme, na jaké teplotě se voda s válečkem ustálí. Chceme-li zjistit, o kolik se voda ohřála, odečteme od výsledné teploty teplotu původní.

\[ \Delta t = 21{,}73\,{}^{\circ}\mathrm{C} - 18\,{}^{\circ}\mathrm{C} = 3{,}73\,{}^{\circ}\mathrm{C} \]

Voda se ohřeje o \(3{,}73\,{}^{\circ}\mathrm{C}\).

V kalorimetru o tepelné kapacitě \(220\,\mathrm{J\,K^{-1}}\) je \(300\,\mathrm{ml}\) vody o teplotě \(20\,{}^{\circ}\mathrm{C}\). Do vody hodíme ocelový předmět o teplotě \(470\,{}^{\circ}\mathrm{C}\). Hmotnost předmětu je \(150\,\mathrm{g}\). Určete výslednou teplotu soustavy (voda, kalorimetr, ocel) po ustálení teploty. Měrná tepelná kapacita vody je \(4180\,\mathrm{J\,K^{-1}\,kg^{-1}}\), měrná tepelná kapacita oceli je \(469\,\mathrm{J\,K^{-1}\,kg^{-1}}\).

Platí zákon zachování energie.

Tedy teplo, které přijme voda a kalorimetr, se rovná teplu, které jim odevzdá ocelový předmět.

Ohříváme vodu a kalorimetr, ocelový předmět se ochlazuje.

\[ Q_{\text{přijaté vodou}} + Q_{\text{přijaté kalorimetrem}} = Q_{\text{odevzdané ocelovým předmětem}} \]

\(t_1\) – teplota vody a kalorimetru (mají stejnou teplotu) před vložením předmětu

\(t_2\) – teplota ocelového předmětu před vložením do vody

\(t\) – výsledná teplota po ustálení (tu hledáme)

\(m_1\) – hmotnost vody

\(m_2\) – hmotnost ocelového předmětu

\(c_1\) – měrná tepelná kapacita vody

\(c_2\) – měrná tepelná kapacita oceli

\(C_k\) – tepelná kapacita kalorimetru (je to vlastně součin hmotnosti kalorimetru a jeho měrné tepelné kapacity)

\[ C_k = m_k c_k \]

Nyní dosadíme za jednotlivá tepla a vyjádříme si příslušnou veličinu.

\[ m_1 c_1(t - t_1) + C_k(t - t_1) = m_2 c_2(t_2 - t) \]

Vyjádříme \(t\):

\[ m_1 c_1(t - t_1) + C_k(t - t_1) = m_2 c_2(t_2 - t) \] \[ m_1 c_1 t - m_1 c_1 t_1 + C_k t - C_k t_1 = m_2 c_2 t_2 - m_2 c_2 t \] \[ m_1 c_1 t + C_k t + m_2 c_2 t = m_2 c_2 t_2 + m_1 c_1 t_1 + C_k t_1 \] \[ t(m_1 c_1 + C_k + m_2 c_2) = m_2 c_2 t_2 + m_1 c_1 t_1 + C_k t_1 \] \[ t = \frac{m_1 c_1 t_1 + m_2 c_2 t_2 + C_k t_1}{m_1 c_1 + m_2 c_2 + C_k} \] \[ t = \frac{0{,}3 \cdot 4180 \cdot 20 + 0{,}15 \cdot 469 \cdot 470 + 220 \cdot 20}{0{,}3 \cdot 4180 + 0{,}15 \cdot 469 + 220}\,{}^{\circ}\mathrm{C} \] \[ t \approx 40{,}50\,{}^{\circ}\mathrm{C} \]

Výsledná teplota soustavy (voda, kalorimetr, ocel) je přibližně \(40{,}50\,{}^{\circ}\mathrm{C}\).

V kalorimetru o tepelné kapacitě 220 J · K−1 je 100 ml vody o teplotě 52 °C. Stejnou počáteční teplotu má také kalorimetr. Do vody vložíme kovový předmět o hmotnosti 480 g a teplotě 30 °C. Po ustálení se teplota vody, kalorimetru a předmětu vyrovná na 50 °C. Určete měrnou tepelnou kapacitu předmětu a podle tabulkových hodnot rozhodněte, z jakého kovu je vyroben. Měrná tepelná kapacita vody je 4180 J · kg−1 · K−1. Hustotu vody uvažujte 1000 kg · m−3. Předpokládejte, že soustava nevyměňuje teplo s okolím.

Platí zákon zachování energie.

Tedy teplo, které odevzdá voda a kalorimetr, se rovná teplu, které od nich přijme kovový předmět.

\[ Q_{\text{odevzdané vodou}} + Q_{\text{odevzdané kalorimetrem}} = Q_{\text{přijaté kovovým předmětem}} \]

\(t_1\) – teplota vody a kalorimetru před vložením předmětu

\(t_2\) – teplota kovového předmětu před vložením do vody v kalorimetru

\(t\) – výsledná teplota po ustálení

\(m_1\) – hmotnost vody

\(m_2\) – hmotnost kovového předmětu

\(c_1\) – měrná tepelná kapacita vody

\(c_2\) – měrná tepelná kapacita kovového předmětu (tu hledáme)

\(C_k\) – tepelná kapacita kalorimetru (je to vlastně součin hmotnosti kalorimetru a jeho měrné tepelné kapacity)

\[ C_k = m_k c_k \]

Nyní dosadíme za jednotlivá tepla a vyjádříme si příslušnou veličinu.

\[ m_1 c_1(t_1 - t) + C_k(t_1 - t) = m_2 c_2(t - t_2) \]

Vyjádříme \(c_2\):

\[ m_1 c_1(t_1 - t) + C_k(t_1 - t) = m_2 c_2(t - t_2) \] \[ c_2 = \frac{m_1 c_1(t_1 - t) + C_k(t_1 - t)}{m_2(t - t_2)} \]

Dosadíme číselné hodnoty:

\[ c_2 = \frac{0{,}1 \cdot 4180(52 - 50) + 220(52 - 50)}{0{,}480 \cdot (50 - 30)}\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} \] \[ c_2 \approx 132{,}92\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} \]

Měrná tepelná kapacita kovového předmětu je přibližně \(132{,}92\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}\), což z běžně tabulkovaných kovů nejlépe odpovídá platině.