Nakloněná rovina, kladky – úlohy k procvičení

Určete velikost zrychlení, kterým bude těleso klouzat po nakloněné rovině.

Vysvětlení a řešení

Obecně máme vyjádřit, na čem bude záviset zrychlení tělesa na nakloněné rovině. Zvolíme kladný směr dolů po rovině a předpokládáme, že těleso právě klouže dolů; smykové tření proto míří vzhůru po rovině. Koeficient smykového tření označíme \(f\). Nejprve si nakreslíme působící síly a potom použijeme 2. Newtonův pohybový zákon.

Poznámka k působištím: V silových nákresech na této stránce používáme pro posuvný pohyb model hmotného bodu. Společný začátek šipek proto neznamená, že všechny síly skutečně působí v jediném místě: gravitační síla působí v těžišti, kontaktní síly ve styku s podložkou a tah lana v místě připojení. Přenesení vektorů do jednoho bodu zpřehledňuje rozbor posuvného pohybu; otáčení těles zde neřešíme.

Na úzké obrazovce posuňte nákres do stran tažením nebo šipkami.

Obrázek může na první pohled působit nepřehledně. Proto nyní vysvětlíme, kde se jednotlivé síly vzaly.

\(\vec{F}_g\): gravitační síla, kterou Země přitahuje těleso,
\(\vec{F}_p\): normálová síla podložky; působí kolmo od roviny na těleso.

Gravitační sílu rozložíme na dvě složky. Jde o rozklad do rovnoběžníku: jedna složka je kolmá k podložce a druhá je rovnoběžná s nakloněnou rovinou.

\(\vec{F}_n\): kolmá složka gravitační síly; míří do podložky a není totožná se silou podložky,
\(\vec{F}\): složka gravitační síly rovnoběžná s rovinou; táhne těleso po nakloněné rovině dolů,
\(\vec{F}_t\): třecí síla působící proti pohybu.

Podle 2. Newtonova pohybového zákona se výslednice všech sil působících na těleso rovná součinu jeho hmotnosti a zrychlení. Jaká je tedy výslednice sil v našem obrázku?

Gravitační sílu jsme rozložili na kolmou složku \(\vec{F}_n\) a rovnoběžnou složku \(\vec{F}\). Protože se těleso kolmo k rovině nezrychluje, platí pro velikosti \(F_p=F_n\); vektory \(\vec{F}_p\) a \(\vec{F}_n\) však míří opačně. Ve směru roviny proti sobě působí složka \(\vec{F}\) a třecí síla \(\vec{F}_t\).

Pro znaménkovou složku výslednice v kladném směru dolů po rovině tedy platí:

\[ \begin{aligned} F_v &= F-F_t,\\[0.80em] F_v &= F-F_t=ma,\\[0.80em] a &= \frac{F-F_t}{m} \end{aligned} \]

Zbývá vyjádřit velikosti sil \(F\) a \(F_t\). Rovnoběžník určený silami \(\vec{F}\) a \(\vec{F}_n\) rozděluje gravitační síla \(\vec{F}_g\) na dva trojúhelníky. V obou najdeme stejný úhel \(\alpha\), jaký svírá nakloněná rovina s vodorovným směrem.

Kdo shodu úhlů v nákresu nevidí, může si trojúhelník z obrázku vystřihnout a přiložit jej k trojúhelníku nakloněné roviny.

V trojúhelníku se silou \(F\) je tato síla protilehlou odvěsnou a \(F_g\) přeponou, proto použijeme sinus:

\[ \sin\alpha=\frac{F}{F_g}=\frac{F}{mg} \quad\Longrightarrow\quad F=mg\sin\alpha \]

„Sinus je protilehlá ku přeponě.“

Podobně vyjádříme sílu \(F_n\) z druhého trojúhelníku, tentokrát pomocí kosinu:

\[ \cos\alpha=\frac{F_n}{F_g}=\frac{F_n}{mg} \quad\Longrightarrow\quad F_n=mg\cos\alpha \]

Proč jsme vyjadřovali \(F_n\), když potřebujeme třecí sílu \(F_t\)? Velikost smykového tření určuje normálová síla podložky \(F_p\). Protože \(F_p=F_n=mg\cos\alpha\), dostáváme:

\[ F_t=fF_p=fF_n=fmg\cos\alpha \]

Koeficient smykového tření \(f\) lze vyhledat v tabulkách nebo určit měřením.

Dosadíme vyjádřené síly do pohybové rovnice:

\[ \begin{aligned} a &=\frac{F-F_t}{m}=\\[0.80em] &=\frac{mg\sin\alpha-fmg\cos\alpha}{m}=\\[0.80em] &=\frac{mg\left(\sin\alpha-f\cos\alpha\right)}{m}=\\[0.80em] &=g\left(\sin\alpha-f\cos\alpha\right) \end{aligned} \]

\[ a=g\left(\sin\alpha-f\cos\alpha\right) \]

Veličina \(a\) je znaménková složka zrychlení ve směru dolů po rovině. Při \(a>0\) těleso klouzající dolů zrychluje, při \(a=0\) se pohybuje rovnoměrně a při \(a<0\) zpomaluje; velikost jeho okamžitého zrychlení je \(|a|=g\left|\sin\alpha-f\cos\alpha\right|\). Kdyby těleso klouzalo vzhůru, tření by mířilo opačně a bylo by nutné sestavit jinou rovnici.

Je-li těleso uvolněno z klidu, rozhoduje nejprve statické tření. Pro \(\tan\alpha\leq f_s\) může zůstat v klidu. Teprve pro \(\tan\alpha>f_s\) se rozjede dolů; po rozjetí použijeme odvozený vztah s koeficientem smykového tření \(f\).

Určete velikost zrychlení, kterým se budou tělesa pohybovat. Vliv kladky zanedbejte.

Vysvětlení a řešení

Začneme silovým rozborem.

Jelikož v zadání není řečeno, které z těles má vyšší hmotnost, a tedy kterým směrem se budou tělesa pohybovat, zvolíme:

\[ m_1>m_2 \quad\Longrightarrow\quad F_{1g}>F_{2g} \]

Těleso o hmotnosti \(m_1\) se bude pohybovat dolů a těleso o hmotnosti \(m_2\) nahoru.

Na úzké obrazovce posuňte nákres do stran tažením nebo šipkami.

\(\vec{F}_{1g}\): gravitační síla, kterou Země přitahuje těleso o hmotnosti \(m_1\),
\(\vec{F}_{2g}\): gravitační síla, kterou Země přitahuje těleso o hmotnosti \(m_2\),
\(\vec{F}\): tahová síla, kterou napnuté lano působí na každé z těles.

Lano považujeme za nehmotné a nepružné, vliv kladky zanedbáváme a lano zůstává napnuté. Proto je tah po celé délce lana stejně velký; kladka mění pouze jeho směr. Třetí Newtonův zákon tuto rovnost tahů nevysvětluje: dvojici akce a reakce tvoří síla lana na konkrétní těleso a síla tohoto tělesa na lano.

Pozor: Není přesné mluvit o zrychlení soustavy. Velikosti zrychlení obou těles jsou stejné, ale jejich směry jsou opačné. Zrychlení je vektor, zatímco \(a\) zde označuje společnou velikost obou zrychlení.

Napíšeme 2. Newtonův pohybový zákon pro každé těleso zvlášť. Na levé straně rovnice je součin hmotnosti tělesa a velikosti jeho zrychlení, na pravé straně velikost výslednice sil ve směru jeho pohybu.

Těleso o hmotnosti \(m_1\):

\[ \begin{aligned} &m_1a=F_{1g}-F\\[0.80em] &m_1a=m_1g-F \end{aligned} \]

Těleso o hmotnosti \(m_2\):

\[ \begin{aligned} &m_2a=F-F_{2g}\\[0.80em] &m_2a=F-m_2g \end{aligned} \]

Získali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, \(F\) a \(a\). Máme vyjádřit velikost zrychlení \(a\). Levé i pravé strany rovnic sečteme; tahová síla \(F\) se vyruší.

\[ \begin{aligned} &m_1a+m_2a=m_1g-F+F-m_2g\\[0.80em] &m_1a+m_2a=m_1g-m_2g\\[0.80em] &a(m_1+m_2)=g(m_1-m_2)\\[0.80em] &a=\frac{g(m_1-m_2)}{m_1+m_2} \end{aligned} \]

\[ a=g\,\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \]

Při zvolené podmínce \(m_1>m_2\) je čitatel kladný a výsledek představuje velikost zrychlení. Pro \(m_2>m_1\) se směr pohybu obrátí a indexy prohodíme; při \(m_1=m_2\) vyjde \(a=0\), jak očekáváme.

Určete velikost zrychlení, kterým se budou tělesa pohybovat. Vliv kladky zanedbejte.

Vysvětlení a řešení

Začneme silovým rozborem.

Na úzké obrazovce posuňte nákres do stran tažením nebo šipkami.

V prvním výpočtu předpokládáme, že se tělesa právě pohybují tak, že \(m_2\) klesá a \(m_1\) klouže vzhůru po nakloněné rovině. Tento společný směr zvolíme jako kladný. Součinitel smykového tření mezi tělesem \(m_1\) a rovinou označíme \(f\). Smykové tření působí proti aktuálnímu pohybu a \(a\) bude znaménková složka zrychlení ve zvoleném směru. Později stejně rozebereme aktuální pohyb opačným směrem.

Jak číst oba nákresy: Každý z nich používá jiný názorný poměr sil, aby mohl ukázat zrychlování právě ve vyznačeném směru. Nejde tedy o dva okamžiky téže konkrétní soustavy se stejnými hmotnostmi. U jedné pevně zadané soustavy se hmotnosti ani složky tíhy nezmění; při obrácení pohybu se obrátí směr tření a tah i zrychlení pak určí příslušné rovnice.

Před výpočtem využijeme rozklad gravitační síly z první úlohy o nakloněné rovině.

\(\vec{F}_{1g}\): gravitační síla, kterou Země přitahuje těleso \(m_1\),
\(\vec{F}_{2g}\): gravitační síla, kterou Země přitahuje těleso \(m_2\),
\(\vec{F}_p\): síla podložky působící kolmo od nakloněné roviny na těleso \(m_1\),
\(\vec{F}_1\): složka gravitační síly rovnoběžná s nakloněnou rovinou; táhne těleso \(m_1\) dolů po rovině,
\(\vec{F}_n\): kolmá složka gravitační síly; přitlačuje těleso \(m_1\) k rovině,
\(\vec{F}_t\): třecí síla působící proti pohybu tělesa \(m_1\),
\(\vec{F}\): tahová síla napnutého lana.

Gravitační sílu \(\vec{F}_{1g}\) rozložíme na rovnoběžnou složku \(\vec{F}_1\) a kolmou složku \(\vec{F}_n\). Protože se těleso kolmo k rovině nezrychluje, jsou velikosti normálové síly podložky a kolmé složky gravitační síly stejné: \(F_p=F_n=m_1g\cos\alpha\). Jde však o dvě různé, opačně orientované síly.

Lano považujeme za nehmotné a nepružné, vliv kladky zanedbáváme a lano zůstává napnuté. Proto je tah po celé délce lana stejně velký; kladka mění pouze jeho směr. Třetí Newtonův zákon tuto rovnost tahů nevysvětluje: dvojici akce a reakce tvoří síla lana na konkrétní těleso a síla tohoto tělesa na lano.

Napíšeme 2. Newtonův pohybový zákon pro každé těleso zvlášť.

Těleso o hmotnosti \(m_1\):

\[ m_1a=F-F_1-F_t \qquad \text{(1. rovnice)} \]

Těleso o hmotnosti \(m_2\):

\[ m_2a=m_2g-F \qquad \text{(2. rovnice)} \]

Pro složku gravitační síly rovnoběžnou s rovinou a pro třecí sílu platí:

\[ \begin{aligned} &F_1=m_1g\sin\alpha\\[0.80em] &F_t=fF_p=fF_n=fm_1g\cos\alpha \end{aligned} \]

Tyto vztahy dosadíme do 1. rovnice a 2. rovnici opíšeme:

\[ \begin{aligned} &m_1a=F-m_1g\sin\alpha-fm_1g\cos\alpha\\[0.80em] &m_2a=m_2g-F \end{aligned} \]

Rovnice sečteme po stranách a vyjádříme znaménkovou složku zrychlení \(a\) ve zvoleném směru:

\[ \begin{aligned} &m_1a+m_2a=F-m_1g\sin\alpha-fm_1g\cos\alpha+m_2g-F\\[0.80em] &m_1a+m_2a=-m_1g\sin\alpha-fm_1g\cos\alpha+m_2g\\[0.80em] &m_1a+m_2a=m_2g-m_1g\sin\alpha-fm_1g\cos\alpha\\[0.80em] &a(m_1+m_2)=g\left(m_2-m_1\sin\alpha-fm_1\cos\alpha\right) \end{aligned} \]

\[ a=g\,\frac{m_2-m_1\sin\alpha-fm_1\cos\alpha}{m_1+m_2} \]

Kladný výsledek znamená, že se pohyb ve zvoleném směru zrychluje. Záporný výsledek znamená, že se tělesa při aktuálním pohybu tímto směrem zpomalují; sám o sobě neříká, že se již pohybují opačně.

Varianta B: těleso \(m_1\) klouže dolů po nakloněné rovině

Na úzké obrazovce posuňte nákres do stran tažením nebo šipkami.

Těleso o hmotnosti \(m_1\):

\[ m_1a=F_1-F-F_t \qquad \text{(1. rovnice)} \]

Složka \(\vec{F}_1\) nyní táhne těleso dolů po nakloněné rovině, zatímco tahová síla \(\vec{F}\) a třecí síla \(\vec{F}_t\) působí proti pohybu. Tření je proto oproti prvnímu nákresu orientováno opačně. Aby se těleso tímto směrem zrychlovalo, musí platit \(F_1>F+F_t\), a tedy také \(F_1>F\).

Těleso o hmotnosti \(m_2\):

\[ m_2a=F-m_2g \qquad \text{(2. rovnice)} \]

\[ \begin{aligned} &F_1=m_1g\sin\alpha\\[0.80em] &F_t=fF_p=fF_n=fm_1g\cos\alpha \end{aligned} \]

Dosadíme do 1. rovnice. Potom obě rovnice sečteme po stranách a vyjádříme znaménkovou složku zrychlení \(a\) ve druhém zvoleném směru:

\[ \begin{aligned} &m_1a+m_2a=m_1g\sin\alpha-F-fm_1g\cos\alpha+F-m_2g\\[0.80em] &m_1a+m_2a=m_1g\sin\alpha-fm_1g\cos\alpha-m_2g\\[0.80em] &a(m_1+m_2)=g\left(m_1\sin\alpha-fm_1\cos\alpha-m_2\right) \end{aligned} \]

\[ a=g\,\frac{m_1\sin\alpha-fm_1\cos\alpha-m_2}{m_1+m_2} \]

Oba odvozené vztahy popisují smykové tření při dvou různých aktuálních směrech pohybu. Znaménko \(a\) vždy porovnává směr zrychlení se směrem zvoleným v daném nákresu. Záporný výsledek nelze pouze nahradit absolutní hodnotou a použít pro opačný pohyb, protože při obrácení pohybu se obrátí také třecí síla.

Je-li soustava uvolněna z klidu, rozhoduje nejprve statické tření. Bez znalosti jeho součinitele nelze určit, zda se tělesa vůbec rozjedou; vztahy výše platí až při pohybu se smykovým třením.

Můžete například zkusit dosadit do obou vzorců pro zrychlení následující číselné údaje. Jde o samostatnou početní kontrolu; tyto hodnoty neodpovídají názornému měřítku šipek ani v jednom z obou nákresů:

\[ \alpha=30^\circ,\qquad f=0{,}6,\qquad m_1=1\,\mathrm{kg},\qquad m_2=2\,\mathrm{kg},\qquad g\approx10\,\mathrm{m\,s^{-2}} \]

Kontrola dosazením: pro první směr, kdy \(m_2\) klesá, a pro opačný směr postupně vyjde:

\[ \begin{aligned} a_{(m_2\downarrow)} &\approx 3{,}27\,\mathrm{m\,s^{-2}}\\[0.80em] a_{(m_1\downarrow)} &\approx -6{,}73\,\mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

První kladná hodnota potvrzuje zrychlování ve směru s \(m_2\) dolů. Druhá záporná hodnota znamená, že kdyby se soustava právě pohybovala opačně, zpomalovala by. Dosazení používá koeficient smykového tření \(f\); o rozjezdu z klidu by stále rozhodoval součinitel statického tření.

Určete velikost zrychlení, kterým se budou tělesa pohybovat. Vliv kladky zanedbejte.

Vysvětlení a řešení

Budeme předpokládat, že těleso o hmotnosti \(m_2\) se pohybuje dolů a táhne těleso o hmotnosti \(m_1\). Součinitel smykového tření mezi tělesem \(m_1\) a stolem označíme \(f\). Také zde používáme translační model vysvětlený v úloze 1: společný počátek šipek je grafická pomůcka, zatímco kontaktní síly ve skutečnosti působí ve styku se stolem a tah v místě připojení lana.

Na úzké obrazovce posuňte nákres do stran tažením nebo šipkami.

\(\vec{F}_{1g}\): gravitační síla, kterou Země přitahuje těleso o hmotnosti \(m_1\),
\(\vec{F}_{2g}\): gravitační síla, kterou Země přitahuje těleso o hmotnosti \(m_2\),
\(\vec{F}_p\): síla podložky; síla, kterou podložka tlačí zespodu na těleso (v obrázku je její působiště přeneseno do středu tělesa),
\(\vec{F}_n\): kolmá složka gravitační síly; na vodorovné podložce má velikost \(F_n=F_{1g}=m_1g\), ale není to síla podložky \(\vec{F}_p\),
\(\vec{F}_t\): třecí síla působící proti pohybu tělesa o hmotnosti \(m_1\),
\(\vec{F}\): tahová síla lana působící na každé z těles.

Protože hmotnost lana a vliv kladky zanedbáváme a lano zůstává napnuté, je velikost tahové síly v obou částech lana stejná. Třetí Newtonův zákon se vztahuje ke vzájemnému působení každého tělesa a lana; rovnost tahů v obou větvích plyne z idealizace nehmotného lana a zanedbané kladky.

Ve svislém směru je zrychlení tělesa \(m_1\) nulové, proto mají normálová síla podložky a gravitační síla stejnou velikost: \(F_p=F_n=F_{1g}=m_1g\). Ve vodorovném směru zvolíme doprava jako kladný směr; znaménková výslednice je \(F-F_t\).

Pro těleso \(m_2\) zvolíme jako kladný směr dolů. Ve svislém směru na ně působí gravitační síla \(F_{2g}\) dolů a tahová síla \(F\) vzhůru, takže znaménková výslednice je \(F_{2g}-F\).

Napíšeme 2. Newtonův pohybový zákon pro každé těleso.

Těleso o hmotnosti \(m_1\):

\[ m_1a=F-F_t \qquad \text{(1. rovnice)} \]

Těleso o hmotnosti \(m_2\):

\[ m_2a=m_2g-F \qquad \text{(2. rovnice)} \]

Smykové tření závisí na velikosti normálové síly podložky \(F_p\). Protože \(F_p=F_n=F_{1g}=m_1g\) platí pro velikosti těchto sil, můžeme psát:

\[ F_t=fF_p=fF_n=fF_{1g}=fm_1g \]

Dosadíme do první rovnice.

Soustavu rovnic o dvou neznámých vyřešíme tak, že obě rovnice sečteme a vyjádříme znaménkovou hodnotu \(a\) pro zvolené směry.

\[ \begin{aligned} &m_1a+m_2a=F-fm_1g+m_2g-F\\[0.80em] &m_1a+m_2a=-fm_1g+m_2g\\[0.80em] &a(m_1+m_2)=g(m_2-fm_1) \end{aligned} \]

\[ a=g\,\frac{m_2-fm_1}{m_1+m_2} \]

Ve vztahu je \(a\) znaménková hodnota pro směr \(m_1\) doprava a \(m_2\) dolů a \(f\) je součinitel smykového tření. Při již probíhajícím pohybu platí: pro \(m_2>fm_1\) soustava zrychluje, pro \(m_2=fm_1\) se pohybuje rovnoměrně a pro \(m_2<fm_1\) zpomaluje. Velikost okamžitého zrychlení je \(|a|\).

Je-li soustava uvolněna z klidu, musí závěsné těleso nejprve překonat maximální statické tření. Označíme-li jeho součinitel \(f_s\), soustava se rozjede dolů právě tehdy, když \(m_2>f_sm_1\); jinak může zůstat v klidu. Po rozjetí se ve výsledném vztahu použije součinitel smykového tření \(f\).

Určete velikosti zrychlení obou těles (\(m_1 > m_2\)).
Vliv kladek zanedbejte (hmotnost, tření).

Vysvětlení a řešení

Začneme silovým rozborem.

Na úzké obrazovce posuňte nákres do stran tažením nebo šipkami.

Ze zadání víme, že \(m_1>m_2\). Pro silový rozbor nejprve zvolíme pohyb tělesa \(m_1\) dolů a celku tvořeného tělesem \(m_2\) a pohyblivou kladkou vzhůru. Znaménko výsledku následně ověří, že je tento směr správný.

\[ m_1>m_2 \qquad\Rightarrow\qquad F_{1g}>F_{2g} \]

\(\vec{F}_{1g}\): gravitační síla, kterou Země přitahuje těleso o hmotnosti \(m_1\),
\(\vec{F}_{2g}\): gravitační síla, kterou Země přitahuje těleso o hmotnosti \(m_2\),
\(\vec{F}\): tahová síla lana; v každém úseku ideálního lana má stejnou velikost.

Hmotnost lana a kladek zanedbáváme a lano zůstává napnuté. Všechny tři tahové síly \(\vec{F}\) v nákresu jsou proto stejně velké. Na pohyblivou kladku působí vzhůru dvě nosné části lana, jejichž celková síla má velikost \(2F\).

Druhou pohybovou rovnici sestavíme pro celek „těleso \(m_2\) + pohyblivá kladka“. Síla ve spojení tělesa s kladkou je vnitřní silou tohoto celku. Protože hmotnost kladky zanedbáváme, má celek hmotnost \(m_2\).

Pozor: V tomto případě není přesné mluvit o jednom zrychlení soustavy. Tělesa se pohybují opačnými směry a kvůli pohyblivé kladce mají také různé velikosti zrychlení. Označíme-li velikost zrychlení tělesa \(m_1\) jako \(a\), velikost zrychlení tělesa \(m_2\) je \(\frac{a}{2}\).

Před řešením úlohy je vhodné připomenout si výpočet zrychlení těles na jedné kladce.

Druhý Newtonův zákon zapíšeme zvlášť pro těleso \(m_1\) a pro celek tvořený tělesem \(m_2\) a pohyblivou kladkou. Na levé straně rovnice je hmotnost uvažovaného tělesa nebo celku krát velikost jeho zrychlení, na pravé straně výslednice vnějších sil.

Těleso o hmotnosti \(m_1\):

\[ \begin{aligned} &m_1a=F_{1g}-F\\[0.80em] &m_1a=m_1g-F \end{aligned} \]

Celek tvořený tělesem \(m_2\) a pohyblivou kladkou:

\[ \begin{aligned} &m_2\frac{a}{2}=2F-F_{2g}\\[0.80em] &m_2\frac{a}{2}=2F-m_2g \end{aligned} \]

Získali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, \(F\) a \(a\). Máme vyjádřit \(a\), tedy velikost zrychlení tělesa \(m_1\). Z první rovnice vyjádříme tahovou sílu lana \(F\) a dosadíme ji do druhé rovnice.

Proč je ale v druhé rovnici \(\frac{a}{2}\)?

Pohyblivá kladka, na které je zavěšeno těleso o hmotnosti \(m_2\), urazí za stejnou dobu poloviční dráhu. Změna délky obou nosných částí lana se totiž musí vyrovnat změně délky volného konce u tělesa \(m_1\). Těleso \(m_2\) se proto pohybuje s polovičním zrychlením oproti tělesu \(m_1\).

\[ \begin{aligned} &m_1a=m_1g-F \quad\Rightarrow\quad F=m_1g-m_1a\\[0.80em] &m_2\frac{a}{2}=2F-m_2g\\[0.80em] &m_2\frac{a}{2}=2\left(m_1g-m_1a\right)-m_2g\\[0.80em] &m_2\frac{a}{2}=2m_1g-2m_1a-m_2g\\[0.80em] &m_2a=4m_1g-4m_1a-2m_2g\\[0.80em] &m_2a+4m_1a=4m_1g-2m_2g\\[0.80em] &a\left(m_2+4m_1\right)=2g\left(2m_1-m_2\right) \end{aligned} \]

Veličina \(a\) označuje velikost zrychlení tělesa \(m_1\). Velikosti zrychlení obou těles jsou tedy:

\[ \begin{aligned} &a_1=a=2g\,\frac{2m_1-m_2}{m_2+4m_1}\\[0.80em] &a_2=\frac{a}{2} =g\,\frac{2m_1-m_2}{m_2+4m_1} \end{aligned} \]

Kontrola výsledku: z čitatele vidíme, že pro zvolený směr obecně stačí \(2m_1>m_2\). Podmínka ze zadání \(m_1>m_2\) je silnější, takže kladný výsledek zvolený směr skutečně potvrzuje. Pro \(2m_1=m_2\) vyjde \(a_1=a_2=0\).

Pro srovnání: při \(m_1=m_2\) se soustava nevyváží. Ze vztahu dostaneme \(a_1=2g/5\) a \(a_2=g/5\), protože pohyblivou kladku nesou dvě části lana. Současně vždy platí \(a_1=2a_2\), jak vyžaduje vazba délky lana.

ObtížnějšíUrčete velikost zrychlení, kterým budou tělesa klouzat po nakloněné rovině. Vliv kladky zanedbejte.

Vysvětlení a řešení

Ze zadání není předem znám směr pohybu ani to, zda se soustava uvolněná z klidu vůbec rozjede. Oba možné směry je proto nutné posoudit odděleně; smykové tření vždy působí proti aktuálnímu směru pohybu. Součinitele smykového tření na levé a pravé rovině označíme \(f_1\) a \(f_2\).

Varianta A: těleso \(m_2\) klesá po pravé rovině

Na úzké obrazovce posuňte nákres do stran tažením nebo šipkami.

Než začneme počítat, připomeňme si rozklad gravitační síly a výpočet tření na nakloněné rovině.

\(\vec{F}_{1g},\ \vec{F}_{2g}\): gravitační síly, kterými Země přitahuje tělesa,
\(\vec{F}_{p1},\ \vec{F}_{p2}\): normálové síly, kterými podložky působí kolmo od rovin na tělesa,
\(\vec{F}_{n1},\ \vec{F}_{n2}\): kolmé složky tíhových sil; síly, kterými jsou tělesa přitlačována k podložkám,
\(\vec{F}_1,\ \vec{F}_2\): složky tíhových sil rovnoběžné s nakloněnými rovinami; táhnou tělesa dolů po rovinách,
\(\vec{F}_{t1},\ \vec{F}_{t2}\): smykové třecí síly působící proti právě uvažovanému směru pohybu,
\(\vec{F}\): tahová síla ideálního nehmotného lana; při zanedbání vlivu kladky má v obou částech lana stejnou velikost.

Kolmo k rovinám se tělesa nezrychlují. Proto platí pro velikosti \(F_{p1}=F_{n1}\) a \(F_{p2}=F_{n2}\); v každé dvojici však jde o dvě různé, opačně orientované síly.

Stejná velikost tahové síly v obou částech lana plyne z idealizace nehmotného lana a kladky bez tření. Třetí Newtonův pohybový zákon se uplatní vždy mezi lanem a každým tělesem: lano a těleso na sebe působí stejně velkými silami opačného směru.

Podle 2. Newtonova pohybového zákona platí:

Těleso o hmotnosti \(m_1\):

\[ m_1a=F-F_1-F_{t1} \]

Těleso o hmotnosti \(m_2\):

\[ m_2a=F_2-F-F_{t2} \]

\[ \begin{alignedat}{2} F_1&=m_1g\sin\alpha &\qquad F_2&=m_2g\sin\beta\\[0.80em] F_{t1}&=f_1F_{p1}=f_1F_{n1}=f_1m_1g\cos\alpha &\qquad F_{t2}&=f_2F_{p2}=f_2F_{n2}=f_2m_2g\cos\beta \end{alignedat} \]

Po dosazení:

\[ \begin{aligned} &m_1a=F-m_1g\sin\alpha-f_1m_1g\cos\alpha\\[0.80em] &m_2a=m_2g\sin\beta-F-f_2m_2g\cos\beta \end{aligned} \]

Po sečtení rovnic se tahová síla \(F\) vyruší:

\[ \begin{aligned} m_1a+m_2a &=m_2g\sin\beta-m_1g\sin\alpha\\ &\quad-f_1m_1g\cos\alpha-f_2m_2g\cos\beta\\[0.80em] a(m_1+m_2) &=g\left(m_2\sin\beta-m_1\sin\alpha\right)\\ &\quad-g\left(f_1m_1\cos\alpha+f_2m_2\cos\beta\right) \end{aligned} \]

\[ a=g\,\frac{m_2\sin\beta-m_1\sin\alpha-f_1m_1\cos\alpha-f_2m_2\cos\beta}{m_1+m_2} \]

Veličina \(a\) je znaménková složka zrychlení ve směru varianty A, nikoli automaticky jeho velikost. Je-li \(a>0\), pohyb tímto směrem zrychluje; je-li \(a<0\), soustava pohybující se tímto směrem zpomaluje. Pro kladný výsledek platí \(F>F_1+F_{t1}\) a současně \(F_2>F+F_{t2}\), což odpovídá směrům a délkám vektorů v nákresu. Velikost okamžitého zrychlení je \(|a|\).

Varianta B: těleso \(m_1\) klesá po levé rovině

Na úzké obrazovce posuňte nákres do stran tažením nebo šipkami.

Při opačném směru klouže těleso \(m_1\) dolů po levé rovině a těleso \(m_2\) stoupá po pravé rovině. Obě třecí síly se proto proti prvnímu případu obrátí.

Těleso o hmotnosti \(m_1\):

\[ m_1a=F_1-F-F_{t1} \]

Těleso o hmotnosti \(m_2\):

\[ m_2a=F-F_2-F_{t2} \]

Po dosazení stejných vztahů a sečtení rovnic:

\[ \begin{aligned} &m_1a=m_1g\sin\alpha-F-f_1m_1g\cos\alpha\\[0.80em] &m_2a=F-m_2g\sin\beta-f_2m_2g\cos\beta\\[0.80em] m_1a+m_2a &=m_1g\sin\alpha-m_2g\sin\beta\\ &\quad-f_1m_1g\cos\alpha-f_2m_2g\cos\beta\\[0.80em] a(m_1+m_2) &=g\left(m_1\sin\alpha-m_2\sin\beta\right)\\ &\quad-g\left(f_1m_1\cos\alpha+f_2m_2\cos\beta\right) \end{aligned} \]

\[ a=g\,\frac{m_1\sin\alpha-m_2\sin\beta-f_1m_1\cos\alpha-f_2m_2\cos\beta}{m_1+m_2} \]

Také zde je \(a\) znaménková složka ve směru varianty B. Kladný výsledek tento směr potvrzuje a odpovídá nerovnostem \(F_1>F+F_{t1}\) a \(F>F_2+F_{t2}\), které zachycují také délky vektorů ve druhém nákresu. Záporný výsledek znamená zpomalování při právě probíhajícím pohybu varianty B.

Záporný výsledek varianty A nelze použít jako vzorec pro variantu B pouhým odstraněním znaménka. Při obrácení směru pohybu se obrátí také obě smykové třecí síly, a proto je nutné použít druhou soustavu rovnic.

Klid soustavy: statické tření

U soustavy uvolněné z klidu je nutné ověřit, zda ji statické tření může udržet v rovnováze. Součinitele statického tření na levé a pravé rovině označíme \(f_{s1}\) a \(f_{s2}\).

Po levé rovině táhne těleso \(m_1\) dolů složka gravitační síly \(F_1\), po pravé rovině táhne těleso \(m_2\) dolů složka \(F_2\):

\[ \begin{aligned} F_1&=m_1g\sin\alpha\\[0.80em] F_2&=m_2g\sin\beta \end{aligned} \]

Tyto dvě síly se snaží uvést soustavu do pohybu opačnými směry. O tom, která strana by bez tření převážila, rozhoduje jejich rozdíl. Absolutní hodnota je zde proto, že předem nevíme, zda je větší \(F_1\), nebo \(F_2\); potřebujeme pouze velikost tohoto rozdílu:

\[ \left|F_2-F_1\right| =\left|m_2g\sin\beta-m_1g\sin\alpha\right| \]

Tahová síla \(F\) se v tomto rozdílu neobjeví. Při pohledu na celou soustavu je totiž tah lana vnitřní silou: lano táhne jedno těleso jedním směrem a druhé stejně velkou silou opačným směrem. Při sečtení pohybových rovnic se proto obě tahové síly vyruší.

Proti zamýšlenému pohybu působí statické tření. Je důležité, že statická třecí síla nemusí mít vždy svou největší možnou hodnotu. Přizpůsobí se právě tak, aby zabránila pohybu, ale může růst jen do těchto mezních hodnot:

\[ \begin{aligned} F_{t1,\max}&=f_{s1}F_{n1}=f_{s1}m_1g\cos\alpha\\[0.80em] F_{t2,\max}&=f_{s2}F_{n2}=f_{s2}m_2g\cos\beta \end{aligned} \]

Pro případ \(F_2>F_1\) by bez tření těleso \(m_2\) klesalo po pravé rovině a vytahovalo těleso \(m_1\) vzhůru po levé rovině. Statické tření na obou rovinách se tomuto společnému pohybu brání. Aby soustava zůstala v klidu, musí aktuální velikosti statických třecích sil \(F_{t1}^{(s)}\) a \(F_{t2}^{(s)}\) společně přesně vyrovnat rozdíl \(F_2-F_1\):

\[ \begin{aligned} F_2-F_1&=F_{t1}^{(s)}+F_{t2}^{(s)}\\[0.80em] 0\leq F_{t1}^{(s)}&\leq F_{t1,\max}\\[0.80em] 0\leq F_{t2}^{(s)}&\leq F_{t2,\max} \end{aligned} \]

Pokud by naopak platilo \(F_1>F_2\), změnil by se směr hrozícího pohybu i směry obou třecích sil, ale rozhodovala by stejným způsobem velikost rozdílu \(\left|F_2-F_1\right|\). Statické tření se může přizpůsobit libovolné potřebné hodnotě od nuly až po uvedené maximum. Soustava proto může zůstat v klidu právě tehdy, když lze potřebnou brzdicí sílu rozdělit mezi obě styčné plochy, tedy když:

\[ \left|F_2-F_1\right| \leq F_{t1,\max}+F_{t2,\max} \]

Po dosazení vztahů pro \(F_1\), \(F_2\) a obě mezní třecí síly:

\[ \left|m_2g\sin\beta-m_1g\sin\alpha\right| \leq f_{s1}m_1g\cos\alpha+f_{s2}m_2g\cos\beta \]

V každém členu nerovnosti je násobek \(g\). Protože \(g>0\), lze celou nerovnost vydělit \(g\), aniž by se změnilo její znaménko:

\[ \left|m_2\sin\beta-m_1\sin\alpha\right| \leq f_{s1}m_1\cos\alpha+f_{s2}m_2\cos\beta \]

Je-li nerovnost splněna, existují přípustné hodnoty statických třecích sil a soustava může zůstat v klidu. Není-li splněna, ani největší možné statické tření rozdíl sil nevyrovná a soustava se rozjede směrem dolů na straně s větší rovnoběžnou složkou gravitační síly.

ObtížnějšíUrčete velikost zrychlení, kterým se budou tělesa pohybovat. Uvažujte vliv kladky o hmotnosti \(M\) a momentu setrvačnosti. Považujte kladku za tenký homogenní válec.

Vysvětlení a řešení

Začneme silovým rozborem.

Jelikož v zadání není řečeno, které z těles má větší hmotnost, a tedy kterým směrem se budou tělesa pohybovat, zvolíme:

\[ m_1>m_2 \quad\Longrightarrow\quad F_{1g}>F_{2g} \]

Těleso o hmotnosti \(m_1\) se bude pohybovat dolů a těleso o hmotnosti \(m_2\) nahoru.

Protože má kladka nenulový moment setrvačnosti, velikosti tahových sil v obou částech lana nejsou stejné. Tahovou sílu působící na těleso \(m_1\) označíme \(F_1\) a tahovou sílu působící na těleso \(m_2\) označíme \(F_2\).

Na úzké obrazovce posuňte nákres do stran tažením nebo šipkami.

\(\vec{F}_{1g}\): gravitační síla, kterou Země přitahuje těleso o hmotnosti \(m_1\),
\(\vec{F}_{2g}\): gravitační síla, kterou Země přitahuje těleso o hmotnosti \(m_2\),
\(\vec{F}_1\): tahová síla, kterou levá část lana působí na těleso o hmotnosti \(m_1\),
\(\vec{F}_2\): tahová síla, kterou pravá část lana působí na těleso o hmotnosti \(m_2\).

Lano považujeme za nehmotné a nepružné, lano po kladce neprokluzuje a tření v ose kladky zanedbáváme. Velikosti zrychlení obou těles jsou proto stejné, jejich směry jsou však opačné.

Pro zvolený směr pohybu odpovídají délky vektorů v nákresu vztahu:

\[ F_{1g}>F_1>F_2>F_{2g} \]

Napíšeme 2. Newtonův pohybový zákon pro každé těleso zvlášť. Na levé straně rovnice je součin hmotnosti tělesa a velikosti jeho zrychlení, na pravé straně velikost výslednice sil ve směru jeho pohybu.

Těleso o hmotnosti \(m_1\):

\[ \begin{aligned} &m_1a=F_{1g}-F_1\\[0.80em] &m_1a=m_1g-F_1 \end{aligned} \]

Těleso o hmotnosti \(m_2\):

\[ \begin{aligned} &m_2a=F_2-F_{2g}\\[0.80em] &m_2a=F_2-m_2g \end{aligned} \]

Pro otáčení kladky sestavíme momentovou rovnici. Každý svislý úsek nehmotného lana přenáší svou tahovou sílu: na těleso působí vzhůru a na okraj kladky silou stejné velikosti dolů.

Na úzké obrazovce posuňte nákres do stran tažením nebo šipkami.

Momenty tahových sil mají opačné směry. Protože \(F_1>F_2\), výsledný moment roztáčí kladku ve směru znázorněném v nákresu. Gravitační síla kladky a reakce osy procházejí osou otáčení, a proto mají vzhledem k této ose nulový moment.

Momentová rovnice kladky kolem její osy je:

\[ (F_1-F_2)R=I\varepsilon \]

Ve vztahu je \(R\) poloměr kladky, \(I\) její moment setrvačnosti vzhledem k ose a \(\varepsilon\) velikost jejího úhlového zrychlení.

Protože lano po kladce neprokluzuje, platí:

\[ \begin{aligned} &a=\varepsilon R\\[0.80em] &\varepsilon=\frac{a}{R} \end{aligned} \]

Po dosazení do pohybové rovnice kladky:

\[ \begin{aligned} &(F_1-F_2)R=I\frac{a}{R}\\[0.80em] &F_1-F_2=I\frac{a}{R^2} \end{aligned} \]

Sečtením rovnic pro obě tělesa vznikne:

\[ \begin{aligned} &m_1a+m_2a=m_1g-F_1+F_2-m_2g\\[0.80em] &a(m_1+m_2)=g(m_1-m_2)-(F_1-F_2) \end{aligned} \]

Po dosazení rozdílu tahových sil získaného z rovnice pro kladku a po úpravě:

\[ \begin{aligned} &a(m_1+m_2)=g(m_1-m_2)-I\frac{a}{R^2}\\[0.90em] &a\left(m_1+m_2+\frac{I}{R^2}\right)=g(m_1-m_2)\\[0.90em] &a=g\,\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2+\frac{I}{R^2}} \end{aligned} \]

Tenký homogenní válec zde modelujeme jako plný homogenní kotouč. Pro jeho moment setrvačnosti vzhledem k ose symetrie platí:

\[ I=\frac{1}{2}MR^2 \]

Po dosazení do výrazu \(I/R^2\) dostaneme:

\[ \begin{aligned} &\frac{I}{R^2}=\frac{\frac{1}{2}MR^2}{R^2}\\[0.90em] &\frac{I}{R^2}=\frac{M}{2} \end{aligned} \]

\[ a=g\,\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2+\frac{M}{2}} \]

Odvození bylo provedeno pro \(m_1>m_2\), takže čitatel je kladný a uvedené \(a\) je velikost zrychlení. Těžší těleso klesá a lehčí stoupá. Pro \(m_2>m_1\) se směr obrátí a ve výpočtu zaměníme indexy \(1\) a \(2\).

Kontrola výsledku: v limitě \(M\to0\) zmizí rotační setrvačnost kladky a obnoví se vztah z druhé úlohy:

\[ a\longrightarrow g\,\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \]

S rostoucí hmotností \(M\) roste jmenovatel a zrychlení se zmenšuje: část účinku tíhových sil se spotřebuje na roztáčení kladky. Pro \(m_1=m_2\) vyjde \(a=0\), jak vyžaduje symetrie soustavy.