Newtonovy pohybové zákony – úlohy k procvičení

Dvě dívky se přetahují o lano. Každá táhne silou 350 N. Vydrží lano v celku, když jeho pevnost v tahu je 600 N?

Úloha svádí k rychlému výpočtu \(350\,\mathrm{N}+350\,\mathrm{N}=700\,\mathrm{N}\). Tak bychom ale sečetli pouze velikosti dvou sil, které působí na opačných koncích a mají opačné směry. Tah uvnitř lana se tímto součtem neurčuje.

Nejprve se podíváme na lano jako na celek. Jedna dívka táhne lano jedním směrem, druhá stejně velkou silou směrem opačným. Zvolíme-li jeden směr jako kladný, dostaneme:

\[ \sum F_x = 350\,\mathrm{N} - 350\,\mathrm{N} = 0\,\mathrm{N} \]

Výslednice sil působících na celé lano je nulová, takže se lano jako celek nezrychluje. To však neznamená, že není napnuté.

Představme si, že lano v libovolném místě myšleně rozdělíme. Aby každá jeho polovina zůstala v klidu, musí ji druhá polovina v místě řezu táhnout silou 350 N. Právě to je tahová síla v laně, tedy síla, kterou je lano napínáno:

\[ T = 350\,\mathrm{N} \]

Nyní tah v laně porovnáme s největším tahem, který lano snese:

\[ T = 350\,\mathrm{N} \lt T_{\max} = 600\,\mathrm{N} \] \[ \boxed{\text{Lano vydrží.}} \]

Ano, lano vydrží. Je napínáno silou 350 N, nikoli 700 N.

Auto jede rovnoměrným přímočarým pohybem. Hmotnost automobilu je 1300 kg. Tahová síla motoru je 200 N. Jak velká je výslednice odporových sil působících na automobil (valivý odpor kol, odpor vzduchu)?

Nejdůležitější informace je ukrytá ve slovech rovnoměrný přímočarý pohyb. Rychlost automobilu se nemění ani velikostí, ani směrem, a proto je jeho zrychlení nulové:

\[ a = 0\,\mathrm{m\,s^{-2}} \]

Podle druhého Newtonova zákona se výslednice sil ve směru jízdy rovná součinu hmotnosti a zrychlení v tomto směru. Při nulovém zrychlení je proto tato výslednice nulová:

\[ \sum F_x = ma = m \cdot 0 = 0\,\mathrm{N} \]

Ve směru jízdy působí tahová síla motoru \(F_{\mathrm{t}}\). Proti směru jízdy působí výsledná odporová síla \(F_{\mathrm{odp}}\). Zvolíme směr jízdy jako kladný:

\[ F_{\mathrm{t}} - F_{\mathrm{odp}} = 0 \] \[ 200\,\mathrm{N} - F_{\mathrm{odp}} = 0 \] \[ F_{\mathrm{odp}} = \boxed{200\,\mathrm{N}} \]

Ještě rozlišíme dvě podobně znějící věci: výslednice všech sil ve směru jízdy je 0 N, ale výslednice samotných odporových sil má velikost 200 N.

Výslednice odporových sil má velikost 200 N a působí proti směru jízdy automobilu.

Postavíme-li se na váhu ve stojícím výtahu, ukáže váha hodnotu 70 kg. Jakou hodnotu ukáže váha, začne-li se výtah pohybovat se zrychlením 1,5 m · s⁻² směrem dolů?

Skutečná hmotnost člověka se rozjezdem výtahu nezmění: stále je 70 kg. Změní se však síla, kterou člověk tlačí na váhu, a právě z této síly váha vypočítává údaj v kilogramech.

Podle třetího Newtonova zákona působí váha na člověka stejně velkou silou opačného směru. Pro výpočet pohybu člověka použijeme právě tuto sílu a označíme ji \(F_N\).

Na člověka působí dvě svislé síly:

gravitační síla \(F_g=mg\) směrem dolů,
síla váhy \(F_N\) směrem vzhůru.

Zvolíme směr vzhůru jako kladný. Výtah zrychluje dolů, takže jeho zrychlení má v naší soustavě znaménko minus. Druhý Newtonův zákon proto zapíšeme:

\[ F_N - mg = -ma \]

Vyjádříme sílu, kterou váha člověka podpírá:

\[ F_N = mg - ma \] \[ F_N = m(g-a) \]

Použijeme \(m=70\,\mathrm{kg}\), \(a=1{,}5\,\mathrm{m\,s^{-2}}\) a \(g\approx9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}\):

\[ F_N = 70\,\mathrm{kg} \cdot (9{,}81-1{,}5)\,\mathrm{m\,s^{-2}} \] \[ F_N = 581{,}7\,\mathrm{N} \]

Váha je ocejchovaná v kilogramech. Naměřenou sílu proto vydělí tíhovým zrychlením:

\[ m_{\text{údaj}} = \frac{F_N}{g} \] \[ m_{\text{údaj}} = \frac{581{,}7\,\mathrm{N}} {9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}} \approx \boxed{59{,}3\,\mathrm{kg}} \]

Zadání hodnotu \(g\) neurčuje. Při školním zaokrouhlení \(g\approx10\,\mathrm{m\,s^{-2}}\) vyjde 59,5 kg. Rozdíl je pouze 0,2 kg; oba výpočty tedy vedou ke stejnému fyzikálnímu závěru.

Váha ukáže přibližně 59,3 kg. Skutečná hmotnost člověka přitom zůstává 70 kg.

Zvedáme-li těleso zavěšené na laně se zrychlením o velikosti rovnající se velikosti tíhového zrychlení, určete poměr velikosti tahové síly lana k velikosti tíhové síly působící na těleso.

Na těleso působí tahová síla lana směrem vzhůru a gravitační síla směrem dolů. Velikost tahové síly označíme \(T\), velikost gravitační síly \(F_g\). V uvažovaném modelu platí:

\[ F_g = mg \]

Zvolíme směr vzhůru jako kladný. Podle druhého Newtonova zákona je součet podepsaných sil roven \(ma\):

\[ T - F_g = ma \] \[ T - mg = ma \]

Těleso zrychluje vzhůru a velikost jeho zrychlení je podle zadání rovna \(g\), tedy v naší znaménkové konvenci \(a=+g\). Dosadíme:

\[ T - mg = mg \] \[ T = mg + mg \] \[ T = 2mg = 2F_g \]

Poměr velikosti tahové síly k velikosti gravitační síly je proto:

\[ \frac{T}{F_g} = \frac{2mg}{mg} = \boxed{2} \]

Lze si to představit také bez počítání: část tahu o velikosti \(F_g=mg\) vyrovná gravitační sílu působící dolů. Teprve další část o velikosti \(mg\) vytvoří výslednou sílu \(ma=mg\), která tělesu udělí zrychlení \(g\) směrem vzhůru.

Platí \(T/F_g=2\): velikost tahové síly lana je dvojnásobkem velikosti gravitační síly \(F_g=mg\).

Brankář na mistrovství světa ve fotbale chytil míč letící rychlostí 120 km h⁻¹. Při chycení pohybem rukou ztlumil náraz a míč zastavil za 0,030 sekundy. Hmotnost míče je 430 g. Jak velkou průměrnou brzdnou silou působil brankář na míč? Jakou dráhu míč při zpomalování urazil? Zpomalování míče považujte za rovnoměrné.

Nejprve si srovnáme jednotky. Tady jsou hned dvě místa, na kterých by výsledek snadno utekl: rychlost je v kilometrech za hodinu a hmotnost v gramech, ale ve vztahu \(\sum F_x=ma\) potřebujeme metry za sekundu a kilogramy.

\[ v_0 = 120\,\mathrm{km\,h^{-1}} = \frac{120}{3{,}6}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \approx 33{,}33\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ m = 430\,\mathrm{g} = 0{,}430\,\mathrm{kg} \]

Za kladný zvolíme směr, kterým míč původně letěl. Počáteční rychlost je tedy \(v_0=33{,}33\,\mathrm{m\,s^{-1}}\), po chycení je konečná rychlost \(v=0\) a doba zastavování je \(\Delta t=0{,}030\,\mathrm{s}\).

Protože je pohyb podle zadání rovnoměrně zpomalený, je zrychlení po celou dobu stálé. Vypočítáme je ze změny rychlosti:

\[ a = \frac{v-v_0}{\Delta t} \] \[ a = \frac{0-33{,}33\,\mathrm{m\,s^{-1}}} {0{,}030\,\mathrm{s}} \approx -1111\,\mathrm{m\,s^{-2}} \]

Záporné znaménko je důležité: neříká, že by zrychlení mělo „zápornou velikost“. Vyjadřuje, že zrychlení míří proti původnímu pohybu míče, a proto jej brzdí. Jeho velikost je přibližně \(1{,}11\cdot10^3\,\mathrm{m\,s^{-2}}\). U nárazu trvajícího jen několik setin sekundy není tak vysoká hodnota překvapivá; působí totiž velmi krátce.

Teď už můžeme propojit změnu pohybu se silou. Podle druhého Newtonova zákona platí \(\sum F_x=ma\). Ve směru letu míče je brzdná síla brankáře výslednou silou; tíhová síla působí svisle, a do této vodorovné rovnice proto nevstupuje:

\[ F_{\mathrm{br}} = ma \] \[ F_{\mathrm{br}} = 0{,}430\,\mathrm{kg} \cdot \left(-1111\,\mathrm{m\,s^{-2}}\right) \] \[ F_{\mathrm{br}} \approx -477{,}8\,\mathrm{N} \] \[ \left|F_{\mathrm{br}}\right| \approx \boxed{4{,}8\cdot10^2\,\mathrm{N}} \]

Minus u síly znovu určuje pouze její směr: brankář působí proti letu míče. Na otázku po velikosti síly proto po rozumném zaokrouhlení odpovíme \(480\,\mathrm{N}\).

Druhá otázka se ptá na brzdnou dráhu. Při rovnoměrném zpomalování je průměrná rychlost aritmetickým průměrem počáteční a konečné rychlosti:

\[ s = \frac{v_0+v}{2}\,\Delta t \] \[ s = \frac{33{,}33+0}{2}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \cdot 0{,}030\,\mathrm{s} \approx \boxed{0{,}50\,\mathrm{m}} \]

Míč se tedy během zastavování posune asi o půl metru. Taková dráha odpovídá situaci, kdy brankář nenechá ruce ztuhlé, ale po kontaktu jimi ustoupí a přitáhne míč k tělu. Tím prodlouží brzdnou dráhu a zmenší působící sílu.

Číslo pro sílu si ještě nenecháme bez kontroly. Změna hybnosti míče za dobu chycení musí vést ke stejné síle:

\[ \Delta p = m(v-v_0) = 0{,}430\cdot(0-33{,}33) \approx -14{,}33\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \] \[ F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{-14{,}33\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}} {0{,}030\,\mathrm{s}} \approx -477{,}8\,\mathrm{N} \]

Kontrola přes hybnost tedy vrátila stejnou velikost i stejný směr síly.

Brankář působil na míč průměrnou brzdnou silou o velikosti přibližně 480 N, orientovanou proti původnímu směru jeho pohybu. Míč při zpomalování urazil přibližně 0,50 m.

Na Tour de France začal cyklista na vodorovném úseku sprintovat ke sprinterské prémii. Působil přitom stálou hnací silou a pohyboval se zrychlením 3,0 m · s⁻². Stejnou stálou hnací silou potom sprintoval po rovnoměrně stoupající silnici k vrchařské prémii a pohyboval se zrychlením 1,2 m · s⁻². Odpor vzduchu a další odporové síly zanedbejte. Kolik procent mělo stoupání silnice?

Na rovině je hnací síla zároveň výslednou silou ve směru jízdy, a proto celá způsobuje zrychlování. Ve stoupání proti ní působí složka tíhové síly podél silnice. Výsledná síla, a proto i zrychlení, jsou menší.

Označíme \(F\) stálou hnací sílu, \(m\) celkovou hmotnost cyklisty a kola a \(\alpha\) úhel, který silnice svírá s vodorovným směrem. Zrychlení na rovině je \(a_1=3{,}0\,\mathrm{m\,s^{-2}}\), ve stoupání \(a_2=1{,}2\,\mathrm{m\,s^{-2}}\).

Na vodorovném úseku jsme odporové síly zanedbali, takže ve směru jízdy působí pouze hnací síla:

\[ F = ma_1 \]

Tíhová síla \(mg\) míří svisle dolů. Vzhledem k nakloněné silnici ji rozložíme na složku kolmou k silnici a složku rovnoběžnou se silnicí. Rovnoběžná složka míří ze svahu dolů, tedy proti jízdě, a má velikost \(mg\sin\alpha\). Pro pohyb podél silnice proto platí:

\[ F - mg\sin\alpha = ma_2 \]

Hnací síla je v obou případech stejná. Za \(F\) proto dosadíme \(ma_1\):

\[ ma_1 - mg\sin\alpha = ma_2 \] \[ m\left(a_1-g\sin\alpha\right)=ma_2 \] \[ a_1 - g\sin\alpha = a_2 \]

Ve druhém řádku jsme na levé straně vytkli \(m\). Potom jsme obě strany vydělili nenulovou hmotností \(m\), takže se hmotnost zkrátila. Proto ji v zadání vůbec nepotřebujeme. Vyjádříme sinus úhlu stoupání:

\[ g\sin\alpha = a_1-a_2 \] \[ \sin\alpha = \frac{a_1-a_2}{g} \]

Dosadíme \(g\approx9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}\):

\[ \sin\alpha = \frac{(3{,}0-1{,}2)\,\mathrm{m\,s^{-2}}} {9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}} \approx 0{,}1835 \] \[ \alpha = \arcsin(0{,}1835) \approx 10{,}57^\circ \]

Úhel ještě není procentní stoupání. Procentní stoupání porovnává převýšení \(h\) s vodorovnou vzdáleností \(d\), nikoli s délkou šikmé silnice:

\[ p = \frac{h}{d}\cdot100\,\% \] \[ \frac{h}{d}=\tan\alpha \] \[ p = 100\tan(10{,}57^\circ)\,\% \approx \boxed{18{,}7\,\%} \]

Stoupání 18,7 % znamená, že při posunu o 100 m ve vodorovném směru cyklista vystoupá přibližně o 18,7 m.

Silnice měla stoupání přibližně 18,7 %, tedy po zaokrouhlení asi 19 %.