Pohyb rovnoměrný přímočarý

Dívka nese na ruce vránu a jde rychlostí 4 km h−1. Když je od svého domu vzdálena 3 kilometry, vrána vzlétne z její ruky a začne mezi ní a domem létat rychlostí 18 km h−1. U domu se otočí a letí zpět k dívce, u ní se otočí a letí zpět k domu, a tak pořád dokola. Kolik kilometrů vrána nalétá, než dívka dojde domů?

Není nutné počítat délku jednotlivých přeletů vrány.

Idealizace: Předpokládáme, že se vrána u domu i u dívky otočí okamžitě, při otáčení nezastavuje a létá bez přestávky až do příchodu dívky domů.

Vrána tedy létá stále stejnou známou rychlostí. Stačí zjistit, jak dlouho bude létat, a z této doby snadno vypočítáme celkovou nalétanou vzdálenost.

\[s_{\text{nalétaná vránou}}=v_{\text{vrány}}\cdot t_{\text{letu vrány}}\]

Díky uvedené idealizaci se doba letu vrány rovná době, za kterou dívka dojde domů. Známe rychlost chůze dívky i její vzdálenost od domu, takže tuto dobu vypočítáme:

\[t_{\text{chůze dívky}}=\frac{s_{\text{od domu}}}{v_{\text{dívky}}}=t_{\text{letu vrány}}\]

Tedy:

\[s_{\text{nalétaná vránou}}=v_{\text{vrány}}\cdot t_{\text{letu vrány}}\] \[s_{\text{nalétaná vránou}}=v_{\text{vrány}}\cdot\frac{s_{\text{od domu}}}{v_{\text{dívky}}}\]

Dosadíme:

\[s_{\text{nalétaná vránou}}=18\cdot\frac{3}{4}\,\mathrm{km}\] \[s_{\text{nalétaná vránou}}=9\cdot\frac{3}{2}\,\mathrm{km}=\frac{27}{2}\,\mathrm{km}\] \[s_{\text{nalétaná vránou}}=\boxed{13{,}5\,\mathrm{km}}\]

Vrána nalétá \(13{,}5\,\mathrm{km}\).

Bruslařka jela polovinu dráhy rychlostí 15 km h−1. Druhou polovinu dráhy jela rychlostí 25 km h−1. Vypočítejte bruslařčinu průměrnou rychlost na celé dráze.

Průměrná rychlost na celé dráze není \(20\,\mathrm{km\,h^{-1}}\), protože oběma rychlostmi jede cyklista stejně dlouhou dráhu, ale po různou dobu.

Proč?

Aritmetický průměr obou hodnot by to byl v případě, kdyby těmito rychlostmi bruslařka ujela vždy stejnou dobu. Třeba 30 minut rychlostí \(15\,\mathrm{km\,h^{-1}}\) a 30 minut rychlostí \(25\,\mathrm{km\,h^{-1}}\).

Ale jelikož jede vždy polovinu dráhy (ne polovinu doby), jede první polovinu dráhy menší rychlostí, a proto tato polovina trvá delší dobu. Té nižší rychlosti je tedy časově víc než vyšší rychlosti.

Průměrná rychlost na celé dráze tedy bude blíže \(15\,\mathrm{km\,h^{-1}}\) než \(25\,\mathrm{km\,h^{-1}}\).

Průměrnou rychlost počítáme jako celkovou dráhu dělenou celkovým časem:

\[ v_{\mathrm{p}} = \frac{s}{t} \]

Celkový čas je součtem doby jízdy první poloviny trati a doby jízdy druhé poloviny trati.

\[ t = t_1 + t_2 \]

Jednotlivé doby pak vypočítáme:

\[ t_1 = \frac{\frac{s}{2}}{v_1} \] \[ t_2 = \frac{\frac{s}{2}}{v_2} \]

Dosadíme do rovnice pro průměrnou rychlost:

\[ v_{\mathrm{p}} = \frac{s}{t} \] \[ v_{\mathrm{p}} = \frac{s}{t_1 + t_2} \] \[ v_{\mathrm{p}} = \frac{s}{\frac{\frac{s}{2}}{v_1} + \frac{\frac{s}{2}}{v_2}} \]

Upravíme:

\[ v_{\mathrm{p}} = \frac{s}{\frac{s}{2v_1} + \frac{s}{2v_2}} \] \[ v_{\mathrm{p}} = \frac{s}{\frac{s v_2 + s v_1}{2v_1v_2}} \] \[ v_{\mathrm{p}} = \frac{s \cdot 2v_1v_2}{s(v_1 + v_2)} \] \[ \boxed{v_{\mathrm{p}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}} \]

Jde o tzv. harmonický průměr rychlostí.

Dosadíme číselné hodnoty:

\[ v_{\mathrm{p}} = \frac{2 \cdot 15 \cdot 25}{15 + 25}\,\mathrm{km\,h^{-1}} \] \[ v_{\mathrm{p}} = \frac{750}{40}\,\mathrm{km\,h^{-1}} \] \[ v_{\mathrm{p}} = \boxed{18{,}75\,\mathrm{km\,h^{-1}}} \]

Průměrná rychlost bruslařky na celé dráze je \(18{,}75\,\mathrm{km\,h^{-1}}\).

Cyklista jede dráhu po větru 30 minut. Stejnou dráhu jede proti větru 60 minut. Za jak dlouho ujede tuto dráhu při bezvětří?

Časy 30 a 60 minut nelze zprůměrovat. V použitém modelu vítr mění výslednou rychlost cyklisty vzhledem k silnici, a proto stejná dráha trvá pokaždé jinak dlouho.

Model úlohy: Předpokládáme, že cyklista udržuje vůči okolnímu vzduchu v obou směrech stejnou rychlost a že se k ní rychlost větru jednoduše vektorově přičítá. Ve skutečné jízdě vítr především mění odpor vzduchu; bez této idealizace by z uvedených údajů dobu při bezvětří nebylo možné jednoznačně určit.

Označíme \(v\) rychlost cyklisty vůči vzduchu a \(u\) velikost rychlosti větru. Při bezvětří je rychlost cyklisty vzhledem k silnici právě \(v\). Po větru se rychlosti sčítají, takže výsledná rychlost je \(v+u\). Proti větru se rychlost větru odečítá, takže výsledná rychlost je \(v-u\); zadaný pohyb zároveň předpokládá \(v>u\). Doby jízdy převedeme na hodiny:

\[ t_1 = 30\,\mathrm{min} = \frac{1}{2}\,\mathrm{h} \] \[ t_2 = 60\,\mathrm{min} = 1\,\mathrm{h} \]

V obou případech ujede cyklista tutéž dráhu \(s\):

\[ s = (v+u)t_1 \] \[ s = (v-u)t_2 \]

Obě vyjádření dráhy se tedy musejí rovnat. Dosadíme známé doby:

\[ (v+u)\cdot\frac{1}{2}\,\mathrm{h} = (v-u)\cdot 1\,\mathrm{h} \] \[ \frac{v+u}{2} = v-u \] \[ v+u = 2v-2u \] \[ v = 3u \]

Rychlost cyklisty při bezvětří je tedy trojnásobkem rychlosti větru. Společnou dráhu nyní vyjádříme pomocí jízdy proti větru:

\[ s = (v-u)t_2 \] \[ s = (3u-u)\cdot 1\,\mathrm{h} \] \[ s = 2u\cdot 1\,\mathrm{h} \]

Při bezvětří jede cyklista rychlostí \(v=3u\). Potřebný čas proto vypočítáme:

\[ t_0 = \frac{s}{v} \] \[ t_0 = \frac{2u\cdot 1\,\mathrm{h}}{3u} \] \[ t_0 = \frac{2}{3}\,\mathrm{h} = 40\,\mathrm{min} \] \[ \boxed{t_0 = 40\,\mathrm{min}} \]

Výsledek dává smysl: při bezvětří musí být doba jízdy delší než 30 minut po větru, ale kratší než 60 minut proti větru.

Při bezvětří ujede cyklista stejnou dráhu za \(40\,\mathrm{min}\).

Dvě města A a B jsou od sebe vzdálena 210 km. Z města A vyjel osobní automobil rychlostí 70 km h−1 směrem do města B. O 1 hodinu později vyjel z města B autobus rychlostí 50 km h−1 směrem do města A. Určete, za jak dlouho od výjezdu osobního automobilu se vozidla potkají. Jak daleko od města A dojde k jejich setkání?

Nejprve si všimneme hodinového zpoždění autobusu. První hodinu jede pouze osobní automobil.

Za tuto hodinu automobil ujede:

\[ s_1 = 70\,\mathrm{km\,h^{-1}}\cdot 1\,\mathrm{h} = 70\,\mathrm{km} \]

V okamžiku, kdy autobus vyjíždí z města B, zbývá mezi vozidly vzdálenost:

\[ s_{\text{zbývající}} = 210\,\mathrm{km}-70\,\mathrm{km} \] \[ s_{\text{zbývající}} = 140\,\mathrm{km} \]

Od této chvíle jedou vozidla proti sobě. Rychlost jejich vzájemného přibližování je proto součtem obou rychlostí:

\[ v_{\text{přibližování}} = v_{\mathrm{A}}+v_{\mathrm{B}} \] \[ v_{\text{přibližování}} = (70+50)\,\mathrm{km\,h^{-1}} \] \[ v_{\text{přibližování}} = 120\,\mathrm{km\,h^{-1}} \]

Čas od výjezdu autobusu do setkání je:

\[ \Delta t = \frac{140\,\mathrm{km}}{120\,\mathrm{km\,h^{-1}}} \] \[ \Delta t = \frac{7}{6}\,\mathrm{h} = 1\,\mathrm{h}\,10\,\mathrm{min} \]

Otázka se však ptá na dobu od výjezdu osobního automobilu. Musíme tedy přičíst první hodinu, během níž autobus ještě stál:

\[ t = 1\,\mathrm{h}+\Delta t \] \[ t = 1\,\mathrm{h}+\frac{7}{6}\,\mathrm{h} = \frac{13}{6}\,\mathrm{h} \] \[ \boxed{t = 2\,\mathrm{h}\,10\,\mathrm{min}} \]

Vzdálenost místa setkání od města A je dráha, kterou za tuto dobu ujede osobní automobil:

\[ s_{\mathrm{A}} = v_{\mathrm{A}} t \] \[ s_{\mathrm{A}} = 70\,\mathrm{km\,h^{-1}} \cdot \frac{13}{6}\,\mathrm{h} \] \[ s_{\mathrm{A}} = \frac{455}{3}\,\mathrm{km} \approx 151{,}7\,\mathrm{km} \] \[ \boxed{s_{\mathrm{A}} \approx 151{,}7\,\mathrm{km}} \]

Pro kontrolu autobus jel \(\frac{7}{6}\,\mathrm{h}\), a proto urazil \(\frac{175}{3}\,\mathrm{km}\). Součet obou drah je skutečně celých 210 km:

\[ \frac{455}{3}\,\mathrm{km} + \frac{175}{3}\,\mathrm{km} = 210\,\mathrm{km} \]

Vozidla se potkají \(2\,\mathrm{h}\,10\,\mathrm{min}\) po výjezdu osobního automobilu, přibližně \(151{,}7\,\mathrm{km}\) od města A.

Na stadionu uběhnu 1500 metrů za 4 minuty a 50 sekund. Předběhne mě alespoň o jedno kolo běžec, který tutéž trať poběží v čase světového rekordu 3 minuty a 26 sekund, než doběhnu do cíle? Oba vyběhneme ve stejný okamžik. Předpokládáme, že oba poběžíme rovnoměrným tempem. Ovál, na kterém poběžíme, měří 400 metrů.

Předběhnout o jedno celé kolo znamená získat náskok 400 metrů. Protože oba běžci vyběhnou současně a běží rovnoměrně, náskok rychlejšího běžce narůstá jejich rozdílem rychlostí.

Nejprve převedeme oba časy na sekundy:

\[ t_{\mathrm{m}} = 4\,\mathrm{min}\,50\,\mathrm{s} = 290\,\mathrm{s} \] \[ t_{\mathrm{r}} = 3\,\mathrm{min}\,26\,\mathrm{s} = 206\,\mathrm{s} \]

Index \(\mathrm{m}\) označuje můj běh a index \(\mathrm{r}\) běh v rekordním čase. Vypočítáme obě rychlosti:

\[ v_{\mathrm{m}} = \frac{1500\,\mathrm{m}}{290\,\mathrm{s}} \] \[ v_{\mathrm{m}} \approx 5{,}17\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ v_{\mathrm{r}} = \frac{1500\,\mathrm{m}}{206\,\mathrm{s}} \] \[ v_{\mathrm{r}} \approx 7{,}28\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

Každou sekundu získá rychlejší běžec náskok daný rozdílem těchto rychlostí. Jde o relativní rychlost:

\[ v_{\mathrm{rel}} = v_{\mathrm{r}}-v_{\mathrm{m}} \] \[ \begin{aligned} v_{\mathrm{rel}} &= \frac{1500}{206}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\ &\quad- \frac{1500}{290}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \] \[ v_{\mathrm{rel}} \approx 2{,}109\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

Čas potřebný k získání náskoku jednoho kola vypočítáme jako 400 metrů dělených relativní rychlostí:

\[ t_{\text{kolo}} = \frac{400\,\mathrm{m}}{v_{\mathrm{rel}}} \] \[ t_{\text{kolo}} \approx \frac{400\,\mathrm{m}}{2{,}109\,\mathrm{m\,s^{-1}}} \] \[ t_{\text{kolo}} \approx 189{,}7\,\mathrm{s} = 3\,\mathrm{min}\,9{,}7\,\mathrm{s} \]

Tento okamžik nastane dříve, než rychlejší běžec dokončí závod, a samozřejmě také dříve než můj doběh:

\[ 189{,}7\,\mathrm{s} < 206\,\mathrm{s} < 290\,\mathrm{s} \] \[ \boxed{t_{\text{kolo}} \approx 3\,\mathrm{min}\,10\,\mathrm{s}} \]

Pro kontrolu: v čase 206 sekund má rychlejší běžec uběhnuto 1500 metrů, zatímco já uběhnu přibližně:

\[ s_{\mathrm{m}} = v_{\mathrm{m}}t_{\mathrm{r}} \] \[ s_{\mathrm{m}} = \frac{1500}{290}\cdot 206\,\mathrm{m} \] \[ s_{\mathrm{m}} \approx 1065{,}5\,\mathrm{m} \] \[ 1500\,\mathrm{m}-1065{,}5\,\mathrm{m} \approx 434{,}5\,\mathrm{m} \] \[ 434{,}5\,\mathrm{m} > 400\,\mathrm{m} \]

V cíli rychlejšího běžce je tedy jeho náskok už větší než jedno celé kolo, což výsledek potvrzuje.

Ano. Rychlejší běžec mě předběhne o celé kolo přibližně po \(3\,\mathrm{min}\,10\,\mathrm{s}\) od startu.

Jezdící schody (eskalátor) mě vyvezou nahoru za 30 sekund. Pokud jsou jezdící schody vypnuty, vyjdu po nich nahoru za 1 minutu. Za jak dlouho budu nahoře, pokud schody pojedou a já po nich zároveň půjdu?

Časy 30 a 60 sekund nesčítáme ani neodečítáme. Schody i člověk se pohybují vzhůru současně, proto se budou sčítat jejich rychlosti.

Označíme celou délku eskalátoru \(L\). Samotné jedoucí schody urazí tuto délku za 30 sekund, jejich rychlost tedy je:

\[ v_{\mathrm{s}} = \frac{L}{30\,\mathrm{s}} \]

Když jsou schody vypnuté, ujdu tutéž délku za 1 minutu, tedy za 60 sekund. Moje rychlost chůze vůči schodům je:

\[ v_{\mathrm{ch}} = \frac{L}{60\,\mathrm{s}} \]

Předpokládáme, že po jedoucích schodech jdu stejným tempem jako po vypnutých. Oba pohyby míří vzhůru, a proto jejich rychlosti sečteme:

\[ v = v_{\mathrm{s}}+v_{\mathrm{ch}} \] \[ v = \frac{L}{30\,\mathrm{s}} + \frac{L}{60\,\mathrm{s}} \] \[ v = \frac{2L}{60\,\mathrm{s}} + \frac{L}{60\,\mathrm{s}} \] \[ v = \frac{3L}{60\,\mathrm{s}} = \frac{L}{20\,\mathrm{s}} \]

Celou délku \(L\) tedy společným pohybem urazím za:

\[ t = \frac{L}{v} \] \[ t = \frac{L}{\frac{L}{20\,\mathrm{s}}} = 20\,\mathrm{s} \] \[ \boxed{t = 20\,\mathrm{s}} \]

Pro kontrolu: za 20 sekund mě schody posunou o \(\frac{2}{3}\) celé délky a chůzí se posunu o zbývající \(\frac{1}{3}\). Dohromady je to právě celá délka eskalátoru:

\[ \frac{2}{3}L+\frac{1}{3}L=L \]

Pokud schody pojedou a zároveň po nich půjdu, budu nahoře za \(20\,\mathrm{s}\).