Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb

Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h⁻¹ na 100 km h⁻¹ za 5 sekund. Určete dráhu, kterou za tuto dobu urazí.

Pro výpočet dráhy rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu s nulovou počáteční rychlostí platí:

\[s = \frac{1}{2} a t^2\]

Neznáme zrychlení, ale vypočítáme ho z definičního vztahu jako změnu rychlosti za určitou dobu:

\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t - t_0}\]

\(\Delta\)–značí změnu příslušné veličiny

\(v\)–konečná rychlost

\(v_0\)–počáteční rychlost

\(t\)–konečný čas

\(t_0\)–počáteční čas

Jelikož auto se rozjíždí z klidu a okamžik rozjezdu volíme jako počátek měření času, platí:

\[v_0 = 0, \qquad t_0 = 0\]

Můžeme tedy psát:

\[a = \frac{v - v_0}{t - t_0} = \frac{v - 0}{t - 0} = \frac{v}{t}\]

Dosadíme do rovnice pro dráhu:

\[s = \frac{1}{2} a t^2\] \[s = \frac{1}{2} \frac{v}{t} t^2\] \[s = \frac{1}{2} v t\]

Dosadíme:

Pokud budeme rychlost dosazovat v kilometrech za hodinu, musíme čas dosadit v hodinách.

\[s = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \frac{5}{3600}\,\mathrm{km}\] \[s = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{36}\,\mathrm{km}\] \[s = \frac{5}{72}\,\mathrm{km}\] \[\boxed{s \approx 0{,}0694\,\mathrm{km} = 69{,}4\,\mathrm{m}}\]

Auto urazí dráhu přibližně \(69{,}4\,\mathrm{m}\).

Vztah

\[s = \frac{1}{2} v t\]

jsme mohli napsat rovnou, pokud bychom si uvědomili následující…

Kdyby to byl rovnoměrný pohyb a auto jelo po celou dobu rychlostí \(100\,\mathrm{km\,h^{-1}}\), dráhu bychom vypočítali jako:

\[s = vt\]

Ale v našem případě zrychlujeme z \(0\) na \(100\,\mathrm{km\,h^{-1}}\).

Za první polovinu doby tedy zrychlí z \(0\) na \(50\,\mathrm{km\,h^{-1}}\) a za druhou polovinu z \(50\,\mathrm{km\,h^{-1}}\) na \(100\,\mathrm{km\,h^{-1}}\).

Co se dráhy týká, je to, jako by jel celou dobu rychlostí \(50\,\mathrm{km\,h^{-1}}\).

Tedy polovinu dosažené rychlosti:

\[s = \frac{vt}{2} = \frac{1}{2} v t\]

Jasnější to je na grafickém znázornění závislosti rychlosti na čase.

Závislost rychlosti na čase, pokud auto jede celou dobu rychlostí \(100\,\mathrm{km\,h^{-1}}\)

v (km h -1)

t (s)

Jelikož:

\[s = vt\]

Ujetá dráha tedy odpovídá obsahu obdélníku pod křivkou, tedy součinu \(v\) a \(t\). Na grafu však máme rychlost v kilometrech za hodinu a čas v sekundách. Při číselném výpočtu proto musíme sekundy převést na hodiny, například \(5\,\mathrm{s}=\frac{5}{3600}\,\mathrm{h}\). Zde porovnáváme pouze poměry ploch; převodní faktor je pro všechny tři grafy stejný, a proto jejich vzájemné porovnání neovlivní.

Závislost rychlosti na čase, pokud auto rovnoměrně zrychluje z \(0\) na \(100\,\mathrm{km\,h^{-1}}\)

v (km h -1)

t (s)

Dráha je opět obsah plochy pod křivkou. Ta je tvořena pravoúhlým trojúhelníkem, jehož obsah vypočítáme jako:

\[P = \frac{1}{2} v t = s\]

Obsah o stejné velikosti dostaneme, když uděláme graf závislosti rychlosti na čase, pokud by auto jelo celou dobu stálou rychlostí \(50\,\mathrm{km\,h^{-1}}\)

v (km h -1)

t (s)

Je to vlastně obdélník s poloviční plochou než na prvním obrázku.

Dvě auta jedou ze stejného místa týmž směrem. První z klidu se zrychlením o velikosti 3 m s⁻². Druhé rovnoměrným pohybem rychlostí o velikosti 54 km h⁻¹. Za jak dlouho a v jaké vzdálenosti od startu (místo startu nepočítáme) se auta setkají?

Auta se setkají, až se vyrovnají dráhy, které od začátku měření ujely.

Dráha prvního auta, které jede rovnoměrně zrychleným přímočarým pohybem s nulovou počáteční rychlostí:

\[ s = \frac{1}{2}at^2 \]

Dráha druhého auta, které jede rovnoměrným přímočarým pohybem rychlostí o velikosti \(54\,\mathrm{km\,h^{-1}}\):

\[ s = vt \]

Dostali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:

\[ s = \frac{1}{2}at^2 \] \[ s = vt \]

Neznámé veličiny, které hledáme, jsou \(s\) a \(t\).

Vyřešíme soustavu. Nabízí se postup, že když se rovnají levé strany rovnic, rovnají se i pravé strany rovnic, a můžeme tedy napsat:

\[ \frac{1}{2}at^2 = vt \]

Vyjádříme \(t\):

\[ \frac{1}{2}at^2 = vt \] \[ at^2 = 2vt \] \[ at = 2v \] \[ t = \frac{2v}{a} \]

Dosadíme:

\[ 54\,\mathrm{km\,h^{-1}} = 15\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ t = \frac{2 \cdot 15}{3}\,\mathrm{s} \] \[ \boxed{t = 10\,\mathrm{s}} \]

Dráhu vypočítáme dosazením do kterékoli z obou rovnic pro dráhu; obě musejí dát stejný výsledek.

\[ s = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 10^2\,\mathrm{m} = \boxed{150\,\mathrm{m}} \] \[ s = vt = 15 \cdot 10\,\mathrm{m} = \boxed{150\,\mathrm{m}} \]

Auta se znovu setkají za \(10\,\mathrm{s}\) ve vzdálenosti \(150\,\mathrm{m}\) od místa startu.

Těleso snížilo rovnoměrně zrychleným přímočarým pohybem svoji rychlost ze 72 km h⁻¹ na 18 km h⁻¹ za 10 sekund. Jakou dráhu urazilo?

Jde o rovnoměrně zpomalený přímočarý pohyb, tedy o pohyb se stálým záporným zrychlením. Směr původního pohybu zvolíme jako kladný. Počáteční i konečná rychlost jsou kladné, ale rychlost se zmenšuje, a proto musí být zrychlení záporné.

Pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu s počáteční rychlostí platí:

\[ s = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \]

\(v_0\)–počáteční rychlost

\(v\)–konečná rychlost

\(a\)–zrychlení včetně znaménka

Nejprve převedeme obě rychlosti na metry za sekundu:

\[ v_0 = 72\,\mathrm{km\,h^{-1}} = 20\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ v = 18\,\mathrm{km\,h^{-1}} = 5\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

Změnu rychlosti počítáme standardně jako konečná hodnota minus počáteční hodnota. Proto vyjde záporná:

\[ \Delta v = v-v_0 = 5-20 = -15\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{-15\,\mathrm{m\,s^{-1}}}{10\,\mathrm{s}} = -1{,}5\,\mathrm{m\,s^{-2}} \]

Dosadíme do vztahu pro dráhu:

\[ s = \left[ 20\cdot10 + \frac{1}{2}\cdot(-1{,}5)\cdot10^2 \right] \,\mathrm{m} \] \[ s = (200-75)\,\mathrm{m} \] \[ \boxed{s = 125\,\mathrm{m}} \]

Těleso urazilo dráhu \(125\,\mathrm{m}\).

Úlohu lze řešit i o něco elegantněji:

Pokud si uvědomíme, že u rovnoměrně zrychleného pohybu je závislost rychlosti na čase lineární (za stejné časové intervaly se rychlost mění o stejnou hodnotu), získáme průměrnou rychlost celého pohybu jako aritmetický průměr počáteční a koncové rychlosti. Dráhu pak vypočítáme:

\[ s = v_p \cdot t = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t \] \[ s = \frac{20 + 5}{2} \cdot 10\,\mathrm{m} \] \[ \boxed{s = 125\,\mathrm{m}} \]

Cyklista snížil svoji rychlost ze 40 km h⁻¹ na 25 km h⁻¹ a přitom urazil dráhu 30 m. Jak dlouhou dobu brzdil?

Protože jde o rovnoměrně zpomalený pohyb, mění se rychlost během brzdění rovnoměrně. Průměrná rychlost je proto aritmetickým průměrem počáteční a konečné rychlosti.

Nejprve převedeme obě rychlosti z kilometrů za hodinu na metry za sekundu:

\[ v_0 = \frac{40}{3{,}6}\,\mathrm{m\,s^{-1}} = \frac{100}{9}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ v = \frac{25}{3{,}6}\,\mathrm{m\,s^{-1}} = \frac{125}{18}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

Průměrná rychlost během brzdění je:

\[ v_{\mathrm{p}} = \frac{v_0+v}{2} \] \[ v_0+v = \frac{325}{18}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ v_{\mathrm{p}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{325}{18}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ v_{\mathrm{p}} = \frac{325}{36}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \approx 9{,}03\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

Dráha je součinem průměrné rychlosti a doby brzdění:

\[ s = v_{\mathrm{p}}t \] \[ t = \frac{s}{v_{\mathrm{p}}} \] \[ t = \frac{30\,\mathrm{m}} {\frac{325}{36}\,\mathrm{m\,s^{-1}}} \] \[ t = \frac{216}{65}\,\mathrm{s} \approx 3{,}32\,\mathrm{s} \] \[ \boxed{t \approx 3{,}32\,\mathrm{s}} \]

Výsledek dává smysl: při průměrné rychlosti přibližně \(9\,\mathrm{m\,s^{-1}}\) urazí cyklista 30 metrů za něco málo přes 3 sekundy.

Cyklista brzdil přibližně \(3{,}32\,\mathrm{s}\).

Určete velikost stálého zrychlení tělesa, které v páté sekundě při pohybu z klidu urazí dráhu 5 m.

Nejprve si ujasníme význam slov „v páté sekundě“. Nejde o celou dráhu za prvních pět sekund, ale pouze o dráhu uraženou v časovém intervalu od \(t=4\,\mathrm{s}\) do \(t=5\,\mathrm{s}\).

Těleso se rozjíždí z klidu, proto pro jeho celkovou dráhu v čase \(t\) platí:

\[ s(t) = \frac{1}{2}at^2 \]

Dráha uražená pouze během páté sekundy je rozdíl celkových drah za pět a za čtyři sekundy:

\[ \Delta s_5 = s(5\,\mathrm{s})-s(4\,\mathrm{s}) \] \[ \begin{aligned} 5\,\mathrm{m} &= \frac{1}{2}a(5\,\mathrm{s})^2\\ &\quad- \frac{1}{2}a(4\,\mathrm{s})^2 \end{aligned} \] \[ 5\,\mathrm{m} = \frac{1}{2}a(25-16)\,\mathrm{s^2} \] \[ 5\,\mathrm{m} = \frac{9}{2}a\,\mathrm{s^2} \]

Vyjádříme zrychlení:

\[ a = \frac{2\cdot5\,\mathrm{m}}{9\,\mathrm{s^2}} \] \[ a = \frac{10}{9}\,\mathrm{m\,s^{-2}} \approx 1{,}11\,\mathrm{m\,s^{-2}} \] \[ \boxed{a \approx 1{,}11\,\mathrm{m\,s^{-2}}} \]

Pro kontrolu vypočítáme celkové dráhy na začátku a na konci páté sekundy:

\[ s(4\,\mathrm{s}) = \frac{80}{9}\,\mathrm{m} \] \[ s(5\,\mathrm{s}) = \frac{125}{9}\,\mathrm{m} \] \[ \frac{125}{9}\,\mathrm{m} - \frac{80}{9}\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{m} \]

Velikost stálého zrychlení tělesa je přibližně \(1{,}11\,\mathrm{m\,s^{-2}}\).

Cyklista jede po vodorovné přímé silnici rychlostí 40 km h⁻¹. Najednou před ním ve vzdálenosti 25 metrů spadne na silnici větev. Cyklista začne brzdit se stálým zrychlením (záporným zrychlením, zpomalením) o velikosti 3 m s⁻². Jakou rychlostí do větve narazí, pokud je jeho reakční doba 0,3 s? Jak velkým zrychlením by musel cyklista brzdit, aby zastavil těsně před větví?

Nejprve oddělíme dvě části pohybu. Během reakční doby cyklista ještě nebrzdí a jede původní rychlostí. Teprve potom začíná rovnoměrně zpomalovat.

Převedeme počáteční rychlost na metry za sekundu:

\[ v_0 = \frac{40}{3{,}6}\,\mathrm{m\,s^{-1}} = \frac{100}{9}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ v_0 \approx 11{,}11\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

1. Reakční dráha

Během reakční doby \(t_{\mathrm{r}}=0{,}3\,\mathrm{s}\) ujede cyklista beze změny rychlosti dráhu:

\[ s_{\mathrm{r}} = v_0t_{\mathrm{r}} \] \[ s_{\mathrm{r}} = \frac{100}{9}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \cdot 0{,}3\,\mathrm{s} \] \[ s_{\mathrm{r}} = \frac{10}{3}\,\mathrm{m} \approx 3{,}33\,\mathrm{m} \]

Na samotné brzdění tedy zbývá:

\[ s_{\mathrm{b}} = 25\,\mathrm{m}-s_{\mathrm{r}} \] \[ s_{\mathrm{b}} = 25\,\mathrm{m}-\frac{10}{3}\,\mathrm{m} \] \[ s_{\mathrm{b}} = \frac{65}{3}\,\mathrm{m} \] \[ s_{\mathrm{b}} \approx 21{,}67\,\mathrm{m} \]

2. Narazí cyklista do větve?

Nejprve zjistíme skutečnou brzdnou dráhu při velikosti zpomalení \(a_{\mathrm{b}}=3\,\mathrm{m\,s^{-2}}\). Pro rychlost a dráhu platí:

\[ v^2 = v_0^2+2as \]

Ve směru jízdy je zrychlení záporné, tedy \(a=-a_{\mathrm{b}}\). Při zastavení je \(v=0\), a proto:

\[ 0 = v_0^2-2a_{\mathrm{b}}s_{\mathrm{z}} \] \[ s_{\mathrm{z}} = \frac{v_0^2}{2a_{\mathrm{b}}} \] \[ s_{\mathrm{z}} = \frac{\left(\frac{100}{9}\right)^2}{2\cdot3}\,\mathrm{m} \] \[ s_{\mathrm{z}} = \frac{5000}{243}\,\mathrm{m} \approx 20{,}58\,\mathrm{m} \]

Cyklista má pro brzdění k dispozici přibližně \(21{,}67\,\mathrm{m}\), ale k zastavení potřebuje jen přibližně \(20{,}58\,\mathrm{m}\). Zastaví tedy ještě před větví.

Nejprve sečteme reakční dráhu a brzdnou dráhu. Získáme tak celkovou dráhu, kterou cyklista ujede až do zastavení:

\[ s_{\mathrm{celk}} = s_{\mathrm{r}}+s_{\mathrm{z}} \] \[ s_{\mathrm{celk}} = \frac{10}{3}\,\mathrm{m} + \frac{5000}{243}\,\mathrm{m} \] \[ s_{\mathrm{celk}} = \frac{5810}{243}\,\mathrm{m} \approx 23{,}91\,\mathrm{m} \]

Od původní vzdálenosti 25 m nyní odečteme dráhu do zastavení:

\[ d = 25\,\mathrm{m}-s_{\mathrm{celk}} \] \[ d = 25\,\mathrm{m} - \frac{5810}{243}\,\mathrm{m} \] \[ d = \frac{265}{243}\,\mathrm{m} \] \[ d \approx 1{,}09\,\mathrm{m} \] \[ \boxed{d \approx 1{,}09\,\mathrm{m}} \]

Cyklista tedy do větve vůbec nenarazí.

3. Jaké zpomalení stačí k zastavení těsně před větví?

Nyní musí být brzdná dráha přesně rovna vzdálenosti, která zbyla po reakci, tedy \(s_{\mathrm{b}}=\frac{65}{3}\,\mathrm{m}\). Označíme hledanou velikost zpomalení \(a_{\min}\):

\[ 0 = v_0^2-2a_{\min}s_{\mathrm{b}} \] \[ a_{\min} = \frac{v_0^2}{2s_{\mathrm{b}}} \] \[ 2s_{\mathrm{b}} = \frac{130}{3}\,\mathrm{m} \] \[ a_{\min} = \frac{\left(\frac{100}{9}\right)^2} {\frac{130}{3}}\,\mathrm{m\,s^{-2}} \] \[ a_{\min} = \frac{1000}{351}\,\mathrm{m\,s^{-2}} \approx 2{,}85\,\mathrm{m\,s^{-2}} \] \[ \boxed{a_{\min} \approx 2{,}85\,\mathrm{m\,s^{-2}}} \]

Dané zpomalení \(3\,\mathrm{m\,s^{-2}}\) je o něco větší než potřebných \(2{,}85\,\mathrm{m\,s^{-2}}\), což souhlasí s tím, že cyklista zastaví ještě před větví. Pokud zvolíme směr jízdy jako kladný, znaménkové zrychlení pro zastavení těsně před větví je \(a\approx-2{,}85\,\mathrm{m\,s^{-2}}\).

Cyklista do větve nenarazí; zastaví přibližně \(1{,}09\,\mathrm{m}\) před ní. Aby zastavil těsně před větví, stačí brzdit se zpomalením o velikosti přibližně \(2{,}85\,\mathrm{m\,s^{-2}}\).