Vektory, skládání rychlostí

Pásový bagr jede rychlostí 1 m ∙ s−1. Jaká je velikost rychlosti pásu v horní a dolní části vzhledem ke kabině bagru? Jaká je velikost rychlosti pásu v horní a dolní části vzhledem k silnici?

V této úloze musíme vždy pečlivě říci, vzhledem k čemu rychlost pásu měříme. Tentýž bod pásu má totiž jinou rychlost vzhledem ke kabině a jinou vzhledem k silnici.

Budeme předpokládat, že pás po silnici neprokluzuje. Směr jízdy bagru zvolíme jako kladný směr osy \(x\). Složku rychlosti v této ose budeme značit \(v_x\): kladná hodnota znamená pohyb dopředu, záporná pohyb dozadu. Pro kabinu vzhledem k silnici tedy platí:

\[ v_{x,\text{kabina/silnice}} = +1\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

1. Pás vzhledem ke kabině

Pás obíhá kolem podvozku stále stejnou rychlostí. V horní části se vzhledem ke kabině pohybuje ve směru jízdy bagru, v dolní části stejně rychle opačným směrem. Jejich složky v ose \(x\) proto mají opačná znaménka:

\[ v_{x,\text{horní/kabina}} = +1\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ v_{x,\text{dolní/kabina}} = -1\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

Znaménko určuje směr, nikoli velikost rychlosti. Velikosti obou rychlostí jsou proto stejné:

\[ \left|\vec v_{\text{horní/kabina}}\right| = \left|\vec v_{\text{dolní/kabina}}\right| = 1\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

2. Pás vzhledem k silnici

Ke složce rychlosti pásu vzhledem ke kabině nyní přičteme složku rychlosti celé kabiny vzhledem k silnici. Obě zapíšeme se znaménkem podle zvoleného kladného směru.

V horní části míří obě rychlosti dopředu, proto se jejich velikosti sečtou:

\[ \begin{aligned} v_{x,\text{horní/silnice}} &= (1 + 1)\,\mathrm{m\,s^{-1}} ={}\\ &= 2\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

V dolní části se pás vzhledem ke kabině pohybuje dozadu rychlostí \(1\,\mathrm{m\,s^{-1}}\), zatímco kabina se vzhledem k silnici pohybuje dopředu stejnou rychlostí. Tyto dvě rychlosti se tedy právě vyruší:

\[ \begin{aligned} v_{x,\text{dolní/silnice}} &= (-1 + 1)\,\mathrm{m\,s^{-1}} ={}\\ &= 0\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
Rychlost horní a dolní části pásu vzhledem ke kabině bagru Vzhledem ke kabině horní část: 1 m·s⁻¹ dolní část: 1 m·s⁻¹ opačné směry, stejné velikosti Rychlost horní a dolní části pásu vzhledem k silnici Vzhledem k silnici bagr: 1 m·s⁻¹ horní část: 2 m·s⁻¹ dolní část: 0 m·s⁻¹ směr jízdy je doprava
Šipky ukazují směr pohybu; jejich délka porovnává velikosti rychlostí v dané vztažné soustavě.
\[ \boxed{ \begin{aligned} \left|\vec v_{\text{horní/kabina}}\right| &= 1\,\mathrm{m\,s^{-1}} && \text{dopředu}\\ \left|\vec v_{\text{dolní/kabina}}\right| &= 1\,\mathrm{m\,s^{-1}} && \text{dozadu} \end{aligned} } \] \[ \boxed{ \begin{aligned} \left|\vec v_{\text{horní/silnice}}\right| &= 2\,\mathrm{m\,s^{-1}} && \text{dopředu}\\ \left|\vec v_{\text{dolní/silnice}}\right| &= 0\,\mathrm{m\,s^{-1}} && \text{v klidu} \end{aligned} } \]

Vzhledem ke kabině mají horní i dolní část pásu rychlost o velikosti \(1\,\mathrm{m\,s^{-1}}\), horní část však míří dopředu a dolní dozadu. Vzhledem k silnici má horní část rychlost o velikosti \(2\,\mathrm{m\,s^{-1}}\) směrem dopředu a dolní část je v daném okamžiku v klidu.

Přes řeku plave člun. Rychlost člunu vzhledem k vodě je 2 m ∙ s−1. Rychlost vody v řece vzhledem ke břehům je 1 m ∙ s−1. Pod jakým úhlem musí člun plout, aby se pohyboval kolmo ke břehům?

Kdyby člun namířil přímo kolmo k protějšímu břehu, proud by jej současně unášel po proudu. Člun proto musí namířit šikmo proti proudu, aby se obě podélné složky rychlosti právě vyrušily.

Úhel \(\xi\) budeme měřit od směru kolmého ke břehům směrem proti proudu. Tato volba je důležitá: hledáme tedy odklon přídě člunu od přímého směru přes řeku.

Označíme \(v_{\text{č}} = 2\,\mathrm{m\,s^{-1}}\) rychlost člunu vzhledem k vodě a \(v_{\text{p}} = 1\,\mathrm{m\,s^{-1}}\) rychlost proudu vzhledem ke břehům.

Vektorový trojúhelník rychlosti člunu, proudu a výsledné rychlosti kolmé ke břehům protější břeh výchozí břeh ξ člun vůči vodě 2 m·s⁻¹ proud: 1 m·s⁻¹ výsledná rychlost kolmo ke břehům směr proudu
Vektory jsou nakresleny ve správném poměru: rychlost člunu vůči vodě je přepona délky \(2\), proud tvoří vodorovnou odvěsnu délky \(1\). Zelená výslednice proto míří přesně kolmo ke břehům.

Složka rychlosti člunu mířící proti proudu musí mít právě takovou velikost jako rychlost proudu, tedy \(1\,\mathrm{m\,s^{-1}}\). Jen tehdy se člun nebude posouvat podél břehu.

V pravoúhlém trojúhelníku je rychlost proudu protilehlou odvěsnou k úhlu \(\xi\) a rychlost člunu vůči vodě je přeponou. Proto použijeme sinus:

\[ \sin \xi = \frac{v_{\text{p}}}{v_{\text{č}}} \] \[ \sin \xi = \frac{1\,\mathrm{m\,s^{-1}}}{2\,\mathrm{m\,s^{-1}}} = \frac{1}{2} \] \[ \xi = \arcsin\!\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ \]

Pro kontrolu můžeme určit i rychlost, kterou se člun skutečně přibližuje k protějšímu břehu. Je to složka rychlosti člunu kolmá ke břehům:

\[ v_{\perp} = \left(2\,\mathrm{m\,s^{-1}}\right)\cos 30^\circ = \left(2\,\mathrm{m\,s^{-1}}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \approx 1{,}73\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]
\[ \boxed{\xi = 30^\circ} \]

Člun musí mířit \(30^\circ\) proti proudu od směru kolmého ke břehům, tedy pod úhlem \(60^\circ\) k břehu.

Za bezvětří padají dešťové kapky rychlostí 6 m ∙ s−1. Určete rychlost větru, jestliže směr pohybu kapek svírá se svislým směrem úhel 30°.

Za bezvětří se kapky pohybují svisle dolů rychlostí \(6\,\mathrm{m\,s^{-1}}\). Vítr jim přidá vodorovnou složku rychlosti. Skutečná rychlost kapek je tedy výslednicí svislé rychlosti pádu a vodorovné rychlosti větru.

Pravoúhlý trojúhelník svislé rychlosti pádu, vodorovné rychlosti větru a výsledné rychlosti dešťových kapek 30° pád bez větru 6 m·s⁻¹ rychlost větru skutečný směr pohybu kapek
Svislá odvěsna představuje rychlost pádu za bezvětří, vodorovná odvěsna rychlost větru a zelená přepona výsledný směr pohybu kapek.

Vznikl pravoúhlý trojúhelník. Vzhledem k úhlu \(30^\circ\) je rychlost větru protilehlou odvěsnou a rychlost pádu \(6\,\mathrm{m\,s^{-1}}\) přilehlou odvěsnou. Použijeme proto tangens:

\[ \tan 30^\circ = \frac{v_{\text{v}}}{6\,\mathrm{m\,s^{-1}}} \]

Vyjádříme rychlost větru \(v_{\text{v}}\) a dosadíme \(\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\):

\[ v_{\text{v}} = \left(6\,\mathrm{m\,s^{-1}}\right)\tan 30^\circ \] \[ v_{\text{v}} = \left(6\,\mathrm{m\,s^{-1}}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ v_{\text{v}} \approx 3{,}46\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]
\[ \boxed{v_{\text{v}} \approx 3{,}46\,\mathrm{m\,s^{-1}}} \]

Rychlost větru je přibližně \(3{,}46\,\mathrm{m\,s^{-1}}\); vítr vane vodorovně na tu stranu, na kterou jsou kapky odkloněny.