Volný pád

Jak velkou rychlostí dopadne těleso na zem při volném pádu z výšky 70 m?
Tíhové zrychlení \(g\approx9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}\)

Pro rychlost volného pádu platí:

\[ v = gt \]

My však neznáme čas \(t\) (dobu pádu). Vyjádříme si ji ale ze vztahu pro dráhu volného pádu:

\[ s = \frac{1}{2}gt^2 \] \[ 2s = gt^2 \] \[ t^2 = \frac{2s}{g} \] \[ t = \sqrt{\frac{2s}{g}} \]

Dosadíme za \(t\) do rovnice pro rychlost:

\[ v = gt \] \[ v = g\sqrt{\frac{2s}{g}} \] \[ v = \sqrt{g^2 \cdot \frac{2s}{g}} \] \[ v = \sqrt{g \cdot 2s} \] \[ v = \sqrt{2gs} \]

O poznání elegantněji lze úlohu řešit pomocí zákona zachování energie.

Těleso má ve výšce \(h\) potenciální energii:

\[ E_p = mgh \]

Při dopadu na zem je výška nulová, tedy je nulová i potenciální energie. Ta se ale nemohla nikam ztratit – přeměnila se na energii kinetickou:

\[ E_k = \frac{1}{2}mv^2 \]

Při pádu tělesa se snižuje výška, tedy i potenciální energie, a zvyšuje rychlost, tedy i kinetická energie. O co se zmenší potenciální energie, o to se zvětší pohybová energie.

Platí:

\[ E_p = E_k \] \[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 \] \[ gh = \frac{1}{2}v^2 \] \[ 2gh = v^2 \] \[ v = \sqrt{2gh} \]

Vidíme, že jsme dospěli ke stejnému vztahu pro rychlost.

Dosadíme:

\[ v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 70}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ v = \sqrt{1373{,}4}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ v \approx 37{,}06\,\mathrm{m\,s^{-1}} = 133{,}41\,\mathrm{km\,h^{-1}} \]

Těleso dopadne rychlostí o velikosti přibližně \(37{,}06\,\mathrm{m\,s^{-1}}\), tedy \(133{,}41\,\mathrm{km\,h^{-1}}\).

\[ \boxed{37{,}06\,\mathrm{m\,s^{-1}}\;(133{,}41\,\mathrm{km\,h^{-1}})} \]
Jakou dráhu urazí těleso během 8. sekundy volného pádu?
Tíhové zrychlení \(g\approx9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}\)

Nejprve je třeba si uvědomit, co je to osmá sekunda.

Je to časový interval od sedmi sekund do osmi sekund.

Dráha během osmé sekundy se vypočítá tak, že nejprve vypočítáme dráhu za osm sekund volného pádu, potom dráhu za sedm sekund volného pádu. Velikost rozdílu těchto drah je rovna dráze volného pádu během osmé sekundy.

Dráha za 8 sekund:

\[ s_8 = \frac{1}{2}gt_8^2 \]

Dráha za 7 sekund:

\[ s_7 = \frac{1}{2}gt_7^2 \]

Hledaný rozdíl drah, tedy dráha volného pádu během osmé sekundy:

\[ \Delta s = s_8 - s_7 = \frac{1}{2}gt_8^2 - \frac{1}{2}gt_7^2 = \frac{1}{2}g(t_8^2 - t_7^2) \] \[ \Delta s = \frac{1}{2} \cdot 9{,}81 \cdot (8^2 - 7^2)\,\mathrm{m} = 73{,}575\,\mathrm{m} \approx \boxed{73{,}6\,\mathrm{m}} \]

Pokud bychom ale za čas chtěli tu 1 sekundu dosadit, můžeme použít vzorec pro dráhu zrychleného pohybu s nenulovou počáteční rychlostí!

Na začátku osmé sekundy totiž těleso již nějakou rychlost má!

\[ \Delta s = v_0t + \frac{1}{2}gt^2 \]

\(v_0t\) – dráha, kterou těleso urazí navíc, protože od 8. sekundy nepadá z klidu, ale již nějaké rychlosti dosáhlo.

\(v_0 = gt_7\) – rychlost, kterou těleso „nabere“ za prvních 7 sekund volného pádu.

\(t_7 = 7\,\mathrm{s}\)

\(t = 1\,\mathrm{s}\)

Dosadíme:

\[ \Delta s = gt_7 \cdot t + \frac{1}{2}gt^2 \] \[ \Delta s = gt\left(t_7 + \frac{1}{2}t\right) \] \[ \Delta s = 9{,}81 \cdot 1 \cdot \left(7 + \frac{1}{2} \cdot 1\right)\,\mathrm{m} \] \[ \Delta s = 9{,}81 \cdot 7{,}5\,\mathrm{m} \] \[ \Delta s = 73{,}575\,\mathrm{m} \approx \boxed{73{,}6\,\mathrm{m}} \]

Těleso během 8. sekundy volného pádu urazí dráhu přibližně \(73{,}6\,\mathrm{m}\).

Mějme dvě stejně velké koule, které necháme ve vzduchu padat ze stejné výšky. Jelikož jsou koule stejně velké, uvažujme, že na ně bude působit i stejná odporová síla.
Jedna koule je železná, druhá dřevěná (železná má vyšší hmotnost). Která z nich dopadne na zem dříve? Nejprve zdůvodněte a poté dokažte výpočtem.

Železnou kouli označíme indexem 1 a dřevěnou kouli indexem 2. Aby bylo porovnání jednoznačné, obě koule pustíme současně z klidu ze stejné výšky. V modelu zadání navíc považujeme společnou odporovou sílu \(F_o\) za konstantní během celého pádu. Jejich hmotnosti splňují:

\[ m_1 > m_2 \]

Na každou kouli působí svisle dolů tíhová síla a proti pohybu, tedy svisle vzhůru, odporová síla. Podle zadání má odporová síla u obou koulí stejnou velikost.

Silový rozbor železné a dřevěné koule padající vzduchem Dvě stejně velké koule. Na obě působí stejně velká odporová síla vzhůru. Tíhová síla železné koule je větší než tíhová síla dřevěné koule; obě tíhové síly jsou větší než odporová síla. m1 m2 Fo Fo Fg1 Fg2

Zvolíme směr dolů za kladný. Výslednice je proto rozdílem tíhové a odporové síly. Použijeme druhý Newtonův pohybový zákon.

Železná koule

\[ F_{g1}=m_1g \] \[ F_{g1}-F_o=m_1a_1 \] \[ m_1g-F_o=m_1a_1 \] \[ a_1=\frac{m_1g-F_o}{m_1} \] \[ a_1=g-\frac{F_o}{m_1} \]

Dřevěná koule

\[ F_{g2}=m_2g \] \[ F_{g2}-F_o=m_2a_2 \] \[ m_2g-F_o=m_2a_2 \] \[ a_2=\frac{m_2g-F_o}{m_2} \] \[ a_2=g-\frac{F_o}{m_2} \]

Nyní oba výsledky porovnáme. Protože \(m_1>m_2\) a \(F_o>0\), vydělíme stejnou odporovou sílu u železné koule větší hmotností. Od \(g\) tak odečítáme menší číslo:

\[ m_1>m_2 \] \[ \frac{F_o}{m_1}<\frac{F_o}{m_2} \] \[ g-\frac{F_o}{m_1}>g-\frac{F_o}{m_2} \] \[ \boxed{a_1>a_2} \]

Protože jsou obě zrychlení v tomto modelu konstantní a koule padají ze stejné výšky \(h\) z klidu, pro dobu pádu platí:

\[ h=\frac{1}{2}a_it_i^2 \] \[ t_i=\sqrt{\frac{2h}{a_i}} \] \[ a_1>a_2\quad\Longrightarrow\quad t_1<t_2 \]

V zadaném modelu má železná koule větší zrychlení, a proto dopadne na zem dříve.

Ve vakuu je odporová síla nulová. Oba vztahy se pak zjednoduší:

\[ F_o=0 \] \[ a_1=g-\frac{0}{m_1}=g \] \[ a_2=g-\frac{0}{m_2}=g \] \[ \boxed{a_1=a_2=g} \]

Hmotnější kouli Země ve vakuu skutečně přitahuje větší silou, protože \(F_g=mg\). Zrychlení však určuje poměr síly a hmotnosti:

\[ a=\frac{F_g}{m}=\frac{mg}{m}=g \]

Větší síla je tedy přesně vyvážena větší hmotností. Ve vakuu by obě koule dopadly současně.

Nechejme padat dvě tělesa o různé hmotnosti ve stejný okamžik volným pádem (bez odporu prostředí) ze stejné výšky. Těleso, které má větší hmotnost, je přitahováno větší silou. Proč tedy obě tělesa dopadnou za stejnou dobu? Zdůvodněte.

Výsledek z předchozí úlohy nyní zobecníme pro libovolná dvě tělesa. Předpokládáme, že je pouštíme z klidu ve stejném místě. Odpor prostředí zanedbáváme, takže na každé těleso působí pouze tíhová síla.

Pro první těleso platí:

\[ F_{g1}=m_1g \] \[ m_1a_1=F_{g1}=m_1g \] \[ \boxed{a_1=g} \]

Úplně stejně pro druhé těleso:

\[ F_{g2}=m_2g \] \[ m_2a_2=F_{g2}=m_2g \] \[ \boxed{a_2=g} \]

Obě tělesa tedy mají stejné počáteční podmínky a stejné zrychlení. Jejich dráha od okamžiku puštění je:

\[ h=\frac{1}{2}gt^2 \] \[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} \]

Ve vztahu pro dobu pádu není hmotnost. Při stejné výšce \(h\) a stejném \(g\) proto oběma tělesům vyjde stejná doba.

Bez odporu prostředí dopadnou obě tělesa současně: \(a_1=a_2=g\) a \(t_1=t_2\).

Jak velkou minimální rychlostí musíme vyhodit těleso svisle vzhůru, aby doletělo do výšky 15 m?

Použijeme zákon zachování mechanické energie. Předpokládáme zanedbatelný odpor vzduchu.

V nejvyšším bodě je rychlost nulová, takže se počáteční kinetická energie přemění na gravitační potenciální energii:

\[ E_k \to E_p \] \[ E_k = E_p \] \[ \frac{1}{2}mv_0^2 = mgh \] \[ \frac{1}{2}v_0^2 = gh \] \[ v_0^2 = 2gh \] \[ v_0 = \sqrt{2gh} \]

Dosadíme:

\[ v_0 = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 15}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ v_0 \approx \boxed{17{,}16\,\mathrm{m\,s^{-1}}} = \boxed{61{,}76\,\mathrm{km\,h^{-1}}} \]

Těleso musíme vyhodit rychlostí alespoň \(17{,}16\,\mathrm{m\,s^{-1}}\), tedy přibližně \(61{,}76\,\mathrm{km\,h^{-1}}\).

Výsledek nezávisí na hmotnosti tělesa; platí pro model bez odporu vzduchu.

Za jak dlouho dopadne těleso, které padá volným pádem z výšky 30 m a z výšky 60 m?
Tíhové zrychlení \(g\approx9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}\)

Předpokládáme pád z klidu, stálé tíhové zrychlení a zanedbáme odpor vzduchu. Rychlost během pádu roste, proto nemůžeme použít vztah pro rovnoměrný pohyb \(s=vt\).

Pro dráhu volného pádu z klidu platí:

\[ h = \frac{1}{2}gt^2 \]

Vyjádříme hledanou dobu pádu:

\[ 2h = gt^2 \] \[ t^2 = \frac{2h}{g} \] \[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \]

Bereme kladnou odmocninu, protože doba pádu nemůže být záporná.

Pád z výšky 30 m

\[ t_{30} = \sqrt{ \frac{2\cdot30\,\mathrm{m}} {9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}} } \] \[ t_{30} \approx 2{,}47\,\mathrm{s} \] \[ \boxed{t_{30} \approx 2{,}47\,\mathrm{s}} \]

Pád z výšky 60 m

\[ t_{60} = \sqrt{ \frac{2\cdot60\,\mathrm{m}} {9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}} } \] \[ t_{60} \approx 3{,}50\,\mathrm{s} \] \[ \boxed{t_{60} \approx 3{,}50\,\mathrm{s}} \]

Pro kontrolu: výška 60 m je dvojnásobná, ale doba pádu není dvojnásobná. Protože \(h\) roste s druhou mocninou času, doba se zvětší pouze \(\sqrt{2}\)krát:

\[ \frac{t_{60}}{t_{30}} = \sqrt{\frac{60}{30}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41 \]

Z výšky 30 m těleso dopadne přibližně za \(2{,}47\,\mathrm{s}\); z výšky 60 m přibližně za \(3{,}50\,\mathrm{s}\).

Jak velkou rychlostí dopadne zpět do místa vyhození těleso, které jsme vyhodili svisle vzhůru tak, že vystoupalo do výšky 8 m?

Zanedbáme odpor vzduchu a použijeme hodnotu \(g\approx9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}\). V nejvyšším bodě je okamžitá rychlost tělesa nulová a veškerá počáteční kinetická energie se přeměnila na energii potenciální.

\[ E_k = E_p \] \[ \frac{1}{2}mv_0^2 = mgh \] \[ \frac{1}{2}v_0^2 = gh \] \[ v_0 = \sqrt{2gh} \]

Hmotnost se zkrátila, takže na ní výsledek nezávisí. Dosadíme výšku \(h=8\,\mathrm{m}\):

\[ v_0 = \sqrt{2\cdot9{,}81\cdot8}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ v_0 = \sqrt{156{,}96}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ v_0 \approx 12{,}53\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

Při návratu do stejné výšky, ze které bylo těleso vyhozeno, má bez odporu vzduchu stejnou kinetickou energii jako na začátku. Velikost rychlosti je tedy stejná jako při vyhození; změnil se pouze její směr.

\[ \boxed{v \approx 12{,}53\,\mathrm{m\,s^{-1}}} \]

Pro kontrolu můžeme počítat pád z nejvyššího bodu. Z výšky 8 m trvá přibližně:

\[ t = \sqrt{\frac{2\cdot8}{9{,}81}}\,\mathrm{s} \approx 1{,}2771\,\mathrm{s} \] \[ v = 9{,}81\cdot1{,}2771\,\mathrm{m\,s^{-1}} \] \[ v \approx 12{,}53\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

Těleso dopadne zpět do místa vyhození rychlostí o velikosti přibližně \(12{,}53\,\mathrm{m\,s^{-1}}\); směr rychlosti je svisle dolů.

Za jakou dobu urazí těleso při volném pádu z klidu \(x\)-tý metr své dráhy?

Nejprve si ujasníme význam zadání. „\(x\)-tý metr“ není celá dráha \(x\) metrů. Je to právě jeden metr mezi polohami \((x-1)\,\mathrm{m}\) a \(x\,\mathrm{m}\).

Označíme délku jednoho metru \(\ell=1\,\mathrm{m}\). Číslo \(x\) je kladné celé číslo, které udává pořadí hledaného metru.

Pro celkovou dráhu volného pádu z klidu platí:

\[ s = \frac{1}{2}gt^2 \] \[ t = \sqrt{\frac{2s}{g}} \]

Na konec \(x\)-tého metru se těleso dostane v čase:

\[ t_x = \sqrt{\frac{2x\ell}{g}} \]

Na začátek \(x\)-tého metru, tedy na konec předchozího metru, se těleso dostane v čase:

\[ t_{x-1} = \sqrt{\frac{2(x-1)\ell}{g}} \]

Hledaná doba je rozdíl těchto časů:

\[ \Delta t_x = t_x-t_{x-1} \] \[ \Delta t_x = \sqrt{\frac{2x\ell}{g}} - \sqrt{\frac{2(x-1)\ell}{g}} \] \[ \Delta t_x = \sqrt{\frac{2\ell}{g}} \cdot \left(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}\right) \] \[ \boxed{\Delta t_x = \sqrt{\frac{2\ell}{g}} \cdot \left(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}\right)} \]

Pro \(g\approx9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}\) a \(\ell=1\,\mathrm{m}\) má společný číselný koeficient hodnotu:

\[ \sqrt{\frac{2\ell}{g}} \approx 0{,}4515\,\mathrm{s} \] \[ \Delta t_x \approx 0{,}4515 \left(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}\right)\,\mathrm{s} \]

Výsledek zkontrolujeme na prvních dvou metrech:

\[ \Delta t_1 \approx 0{,}4515\,\mathrm{s} \] \[ \Delta t_2 \approx 0{,}4515(\sqrt{2}-1)\,\mathrm{s} \approx 0{,}1870\,\mathrm{s} \]

Druhý metr trvá kratší dobu než první, protože těleso už na jeho začátku padá nenulovou rychlostí. Stejně se zkracuje i doba potřebná k uražení každého dalšího metru.

Dobu potřebnou k uražení \(x\)-tého metru udává vztah \(\boxed{\Delta t_x=\sqrt{\frac{2\ell}{g}}\left(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}\right)}\); s rostoucím \(x\) se tato doba zkracuje.

Těleso při volném pádu urazilo v poslední sekundě dráhu \(s\). Z jaké výšky padalo?
Odpor prostředí zanedbejte.

Označme celkovou dobu pádu \(T\). Délku posledního časového intervalu zapíšeme jako \(\tau=1\,\mathrm{s}\). Značku \(\tau\) zavádíme proto, aby se v rovnicích nikdy neodečítalo číslo bez jednotky od času.

Za celou dobu \(T\) těleso urazí hledanou výšku:

\[ h=\frac{1}{2}gT^2 \]

Před začátkem poslední sekundy padalo po dobu \(T-\tau\). Do celkové výšky mu tehdy chyběla právě zadaná dráha \(s\), proto můžeme tutéž výšku zapsat také takto:

\[ h=\frac{1}{2}g(T-\tau)^2+s \]

Oba výrazy popisují stejnou výšku \(h\), a proto se jejich pravé strany rovnají. Z rovnice nejprve vyjádříme celkovou dobu pádu.

\[ \frac{1}{2}gT^2=\frac{1}{2}g(T-\tau)^2+s \] \[ \frac{1}{2}gT^2=\frac{1}{2}g\left(T^2-2T\tau+\tau^2\right)+s \] \[ 0=-gT\tau+\frac{1}{2}g\tau^2+s \] \[ gT\tau=s+\frac{1}{2}g\tau^2 \] \[ T=\frac{s+\frac{1}{2}g\tau^2}{g\tau} \] \[ T=\frac{2s+g\tau^2}{2g\tau} \]

Vyjádřený čas dosadíme do vztahu pro celkovou výšku:

\[ h=\frac{1}{2}gT^2 \] \[ h=\frac{1}{2}g\left(\frac{2s+g\tau^2}{2g\tau}\right)^2 \] \[ h=\frac{1}{2}g\cdot\frac{\left(2s+g\tau^2\right)^2}{4g^2\tau^2} \] \[ \boxed{h=\frac{\left(2s+g\tau^2\right)^2}{8g\tau^2}}, \qquad \tau=1\,\mathrm{s} \]

Těleso padalo z výšky \(\displaystyle h=\frac{(2s+g\tau^2)^2}{8g\tau^2}\), kde \(\tau=1\,\mathrm{s}\).