Vlastní frekvence
Kmitání, perioda, frekvence, úhlová frekvence, vlastní frekvence
Kmitání a perioda
Když vychýlíme soustavu schopnou kmitat – například závaží na pružině – z rovnovážné polohy a pustíme ji, začne se pohybovat tam a zpět. Takovému pohybu říkáme kmitání.
Při pravidelném kmitání skončí jeden úplný kmit tehdy, když se těleso vrátí do stejné polohy a jeho pohyb se odtud začne opakovat stejným způsobem. Například z levé krajní polohy zpět do levé krajní polohy. Samotný průchod rovnovážnou polohou ještě celý kmit není; těleso jí během jednoho kmitu projde dvakrát.
Perioda \(T\) je doba jednoho úplného kmitu. Obecně je to doba jednoho úplného opakování pravidelného děje. Proběhne-li \(n\) úplných opakování za dobu \(t\), platí:
Jednotkou periody je sekunda \(\mathrm{s}\).
Frekvence
Frekvence \(f\) říká, kolik úplných opakování proběhne za jednotku času. U kmitání tedy udává počet úplných kmitů za sekundu.
Frekvenci vypočítáme jako počet opakování \(n\) dělený dobou \(t\). Protože jeden kmit trvá právě jednu periodu \(T\), jsou frekvence a perioda navzájem převrácené:
Jednotkou frekvence je hertz (\(\mathrm{Hz}\)). Jeden hertz znamená jedno úplné opakování za sekundu: \(1\,\mathrm{Hz} = 1\,\mathrm{s^{-1}}\).
Například \(f = 2\,\mathrm{Hz}\) znamená dva úplné kmity za sekundu. Jeden kmit proto trvá \(T = 0{,}5\,\mathrm{s}\). Vyšší frekvence znamená rychlejší opakování a kratší periodu.
Frekvenci \(f\) se někdy pro odlišení od úhlové frekvence říká „obyčejná“ frekvence. Nejde o další druh frekvence; je to běžná frekvence udávaná v hertzech.
Úhlová frekvence
Stejné tempo kmitání lze vyjádřit také úhlovou frekvencí. Značíme ji \(\omega\) (řecké písmeno omega).
Frekvence \(f\) počítá celé kmity. Pro matematický popis si jeden celý kmit můžeme představit jako jednu otočku po pomyslné kružnici. Na začátku zvolíme úhel \(0^\circ\). V polovině kmitu jsme na \(180^\circ\), tedy na \(\pi\) radiánech, a po celém kmitu na \(360^\circ\), tedy na \(2\pi\) radiánech. Tento pomyslný úhel se nazývá fáze a říká, jak daleko soustava v jednom kmitu právě postoupila.
Úhlová frekvence \(\omega\) říká, o kolik radiánů se fáze změní za jednu sekundu. Protože jeden celý kmit představuje \(2\pi\) radiánů, platí:
Jednotkou úhlové frekvence je radián za sekundu \(\mathrm{rad\,s^{-1}}\). Například frekvenci \(1\,\mathrm{Hz}\) odpovídá úhlová frekvence \(2\pi\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\).
Název „úhlová“ neznamená, že se kmitající těleso musí skutečně otáčet. Úhel zde pouze popisuje postup kmitu. Frekvence \(f\) a úhlová frekvence \(\omega\) tedy nesou stejnou informaci, jen ji vyjadřují jiným způsobem.
Vlastní frekvence
Vychýlíme-li soustavu z rovnovážné polohy a dále ji pravidelně nepoháníme, začne volně kmitat. Frekvence, se kterou má soustava tendenci kmitat, se nazývá vlastní frekvence.
Vlastní frekvence není nová fyzikální veličina vedle frekvence a úhlové frekvence. Je to konkrétní frekvence, která patří dané soustavě v daném uspořádání. Značíme ji \(f_0\); odpovídající vlastní úhlovou frekvenci značíme \(\omega_0\):
O vlastní frekvenci rozhodují vlastnosti soustavy – například její hmotnost, tuhost, rozměry, materiál nebo způsob upevnění.
U tělesa o hmotnosti \(m\) zavěšeného na ideální pružině o tuhosti \(k\) platí:
Tužší pružina tedy znamená vyšší vlastní frekvenci, zatímco větší hmotnost ji snižuje. Složitější soustavy, například struna, mohou mít vlastních frekvencí více, protože mohou kmitat různými způsoby.
Ve skutečnosti kmitání kvůli tření a odporu prostředí postupně slábne. Při slabém tlumení je frekvence volného kmitání vlastní frekvenci velmi blízká.
Vynucené kmitání a rezonance
Jestliže na soustavu působí pravidelně se opakující vnější síla, má tato síla svou budicí frekvenci. Tu určuje vnější zdroj; vlastní frekvenci naopak určují vlastnosti soustavy.
Je-li budicí frekvence blízká vlastní frekvenci, předává se soustavě energie zvlášť účinně a velikost kmitů může výrazně vzrůst. Tomuto jevu říkáme rezonance. Podobně se houpačka nejlépe rozhoupá, když ji postrkujeme ve správném rytmu. V reálné soustavě růst kmitů omezuje tlumení.
Po stisknutí tlačítka se objeví tiskový dialog. V políčku pro tiskárnu vyberte Uložit jako PDF, případně můžete kapitolu rovnou vytisknout.