Absolutní hodnota

Absolutní hodnota vypadá jako zvláštní značka kolem čísla nebo výrazu. Její význam je ale jednoduchý: říká, jak daleko je dané číslo od nuly. Z této jediné myšlenky se dají pochopit i rovnice, nerovnice a jejich grafická řešení.

1. Vzdálenost od nuly

Absolutní hodnota čísla je jeho vzdálenost od nuly na číselné ose.

Číslo 3 je od nuly vzdálené 3 jednotky. Číslo −3 je od nuly také vzdálené 3 jednotky. Proto

Znaménko čísla nám říká, na které straně od nuly leží. Absolutní hodnota říká jen vzdálenost. A vzdálenost nemůže být záporná.

Formálně:

To druhé pravidlo neznamená, že výsledek bude záporný. Když je například \(x=-5\), dostaneme \(-(-5)=5\).

Který mráz je větší?

Venku je jednou −15 °C, podruhé −10 °C. Větší mráz je při −15 °C: teplota je 15 stupňů pod nulou, ne jen 10.

Samotná čísla ale porovnáváme opačně: \(-15<-10\). Velikost mrazu zde vyjadřuje vzdálenost teploty od nuly: \(|-15|=15>10=|-10|\). Menší teplota tedy může znamenat větší mráz.

Jednoduché výpočty

2. Rovnice s absolutní hodnotou

U rovnice s absolutní hodnotou je nejdůležitější stále myslet na vzdálenost.

Když platí

říkáme tím: „\(A\) je od nuly vzdálené 2.“ Na číselné ose jsou ale ve vzdálenosti 2 od nuly dva body: 2 a −2. Proto musí platit

Právě odtud vznikají dvě možnosti. Nejde o trik ani o naučené „plus minus“.

Příklad 1: \(|x|=2\)

Hledáme čísla, která jsou od nuly vzdálená 2. Taková čísla jsou dvě:

Řešení: \(x\in\{-2;\,2\}\).

Příklad 2: \(|x+1|=2\)

Tentokrát není v absolutní hodnotě samotné \(x\), ale výraz \(x+1\).

Rovnice říká: Výraz \(x+1\) je od nuly vzdálený 2. Proto může být roven 2 nebo −2.

Řešení: \(x\in\{-3;\,1\}\).

Stejnou rovnici můžeme chápat i jinak: \(|x+1|\) je vzdálenost čísla \(x\) od čísla −1. Hledáme tedy čísla, která jsou od −1 vzdálená 2. Jsou to −3 a 1.

Příklad 3: \(|2x|+3=5\)

Nejprve musíme absolutní hodnotu osamostatnit.

Teď už rovnice říká: Výraz \(2x\) je od nuly vzdálený 2. Proto opět vzniknou dvě možnosti.

Řešení: \(x\in\{-1;\,1\}\).

Rychlá kontrola

Jestli po osamostatnění absolutní hodnoty dostaneme například \(|A|=-3\), rovnice nemá řešení. Absolutní hodnota totiž nemůže vyjít záporně.

3. Nerovnice s absolutní hodnotou

U nerovnic zase pomůže stejná představa: absolutní hodnota je vzdálenost.

• \(|A|<2\) znamená: \(A\) je od nuly vzdálené méně než 2. Leží tedy mezi −2 a 2.
• \(|A|>2\) znamená: \(A\) je od nuly vzdálené více než 2. Leží tedy vlevo od −2 nebo vpravo od 2.

Pro značky \(\le\) a \(\ge\) platí totéž, jen krajní body do řešení patří.

Příklad 1: \(|x|>2\)

Hledáme čísla, jejichž vzdálenost od nuly je větší než 2.

Čísla mezi −2 a 2 jsou od nuly příliš blízko. Potřebujeme body vně tohoto intervalu. Proto

Řešení: \(x\in(-\infty;-2)\cup(2;\infty)\).

Příklad 2: \(|x|<2\)

Hledáme čísla, jejichž vzdálenost od nuly je menší než 2. Taková čísla leží mezi −2 a 2. Proto

Řešení: \(x\in(-2;2)\).

Příklad 3: \(|x+1|\ge 2\)

Rovnice \(|x+1|=2\) měla dvě hraniční hodnoty: \(x=-3\) a \(x=1\).

Teď chceme, aby vzdálenost byla alespoň 2, tedy 2 nebo více. Hledáme proto hodnoty vně intervalu mezi −3 a 1, tentokrát včetně krajních bodů.

Algebraicky:

Po odečtení 1:

Řešení: \(x\in(-\infty;-3]\cup[1;\infty)\).

Příklad 4: \(|2x|+3<5\)

Nejprve osamostatníme absolutní hodnotu.

Teď říkáme: Výraz \(2x\) je od nuly vzdálený méně než 2. Proto musí ležet mezi −2 a 2:

Celou dvojitou nerovnici vydělíme kladným číslem 2, takže směry nerovností zůstávají stejné:

Řešení: \(x\in(-1;1)\).

Co si z nerovnic zapamatovat

Nejdřív vždy osamostatníme absolutní hodnotu. Je-li pravá strana kladná, přemýšlíme potom o vzdálenosti:

• „menší než“ → uvnitř mezi dvěma hraničními body,
• „větší než“ → vně dvou hraničních bodů,
• \(\le\) nebo \(\ge\) → krajní body do řešení patří,
• \(<\) nebo \(>\) → krajní body do řešení nepatří.

4. Grafická řešení

Nerovnici můžeme řešit také pomocí grafů.

Myšlenka je jednoduchá. Každou stranu nerovnice chápeme jako funkci. Například u

porovnáváme grafy

Hledáme ta \(x\), pro která je graf \(y=|x|\) níž než přímka \(y=2\).

U značky \(>\) naopak hledáme místa, kde je první graf výš. U značky \(\ge\) může být také stejně vysoko.

Průsečíky grafů nám dávají hraniční hodnoty. Teprve potom podle zadání vybereme správné intervaly na ose \(x\).

4.1 \(|x|<2\) a \(|x|>2\) – společný graf

Krok 1: nejprve bez absolutní hodnoty

Začneme funkcí

Jejím grafem je přímka procházející počátkem.

Krok 2: co udělá absolutní hodnota

Funkce \(y=|x|\) nesmí mít záporné hodnoty \(y\).

Část grafu \(y=x\), která ležela pod osou \(x\), se proto zrcadlově překlopí nad osu \(x\). Část, která už byla nad osou \(x\), zůstane beze změny.

Vznikne graf ve tvaru písmene V s vrcholem v bodě \((0;0)\).

Krok 3: přidáme \(y=2\)

Nakreslíme vodorovnou přímku

S grafem \(y=|x|\) se protne v bodech, jejichž \(x\)-ové souřadnice jsou −2 a 2.

Teď už jen porovnáváme výšky obou grafů:

• mezi −2 a 2 je \(y=|x|\) pod \(y=2\) → platí \(|x|<2\),
• vlevo od −2 a vpravo od 2 je \(y=|x|\) nad \(y=2\) → platí \(|x|>2\).

Proto

Body −2 a 2 do žádného z těchto dvou řešení nepatří, protože obě nerovnosti jsou ostré.

4.2 \(|x+1|\ge 2\)

Krok 1: bez absolutní hodnoty

Nejprve nakreslíme

Je to přímka, která protíná osu \(x\) v bodě \(x=-1\).

Krok 2: absolutní hodnota

Teď přejdeme k

Část původní přímky, která ležela pod osou \(x\), překlopíme nahoru. Vznikne V s vrcholem v bodě \((-1;0)\).

Krok 3: porovnáme s \(y=2\)

Přidáme vodorovnou přímku

Průsečíky mají \(x\)-ové souřadnice −3 a 1.

Nerovnost obsahuje znak \(\ge\), takže hledáme místa, kde je graf \(y=|x+1|\) nad přímkou \(y=2\) nebo přímo na ní.

To nastává pro

Řešení: \(x\in(-\infty;-3]\cup[1;\infty)\).

4.3 \(|2x|+3<5\)

Tady je důležité nepřeskočit jeden krok. Absolutní hodnota působí pouze na \(2x\), zatímco \(+3\) posouvá výsledný graf nahoru.

Krok 1: bez absolutní hodnoty

Začneme funkcí

Krok 2: absolutní hodnota

Přejdeme k

Část grafu \(y=2x\) pod osou \(x\) překlopíme nahoru. Vznikne užší V než u \(y=|x|\).

Krok 3: přičteme 3

Funkce

vznikne posunutím celého grafu \(y=|2x|\) o 3 jednotky nahoru. Vrchol se přesune z \((0;0)\) do \((0;3)\).

Krok 4: porovnáme s \(y=5\)

Přidáme vodorovnou přímku

S grafem \(y=|2x|+3\) se protne pro \(x=-1\) a \(x=1\).

Máme znak \(<\), takže hledáme \(x\), pro která je graf \(y=|2x|+3\) pod přímkou \(y=5\).

To je mezi oběma průsečíky:

Řešení: \(x\in(-1;1)\).

5. Shrnutí

Absolutní hodnota je především vzdálenost.

• \(|x|\) říká, jak daleko je \(x\) od nuly.
• Výsledek absolutní hodnoty je vždy \(\ge 0\).
• \(|A|=b\) pro \(b>0\) vede ke dvěma možnostem: \(A=b\) nebo \(A=-b\).
• Pro \(b>0\) znamená \(|A|<b\) hodnoty uvnitř mezi dvěma hraničními body.
• Pro \(b>0\) znamená \(|A|>b\) hodnoty vně dvou hraničních bodů.
• U grafického řešení porovnáváme výšky dvou grafů a z průsečíků získáme hraniční hodnoty \(x\).

Když si u absolutní hodnoty místo naučeného pravidla vždy položíme otázku „Jakou vzdálenost tato absolutní hodnota popisuje?“, většina rovnic i nerovnic začne dávat smysl.