Funkce a rovnice

Co je funkce. Zápis funkce, graf funkce, definiční obor, obor hodnot. Co není graf funkce. Rovnice.

Co je funkce

Funkce je pravidlo, které každému dovolenému vstupu přiřadí právě jeden výstup. Vstup obvykle označujeme \(x\). Výstup, který k němu funkce přiřadí, označujeme \(f(x)\).

Slovo dovolenému znamená, že dané číslo smíme do funkce opravdu dosadit. Někdy vstupy omezuje zadání: například ujetá vzdálenost nemůže být záporná. Jindy je omezuje samotný předpis: do funkce \(f(x)=\frac{1}{x}\) nesmíme dosadit nulu, protože nulou dělit nelze. Pokud zadání vstupy nijak neomezuje, rozhoduje pouze to, zda lze předepsaný výpočet provést.

Můžeme si to představit jako přesný návod: vložíme dovolené číslo, provedeme předepsaný výpočet a dostaneme jediný výsledek. Slova právě jeden jsou důležitá. Jeden vstup nesmí současně vést ke dvěma různým výstupům.

Pět vstupů 1 až 5 je šipkami zleva doprava přiřazeno k výstupům 2, 3, 5, 6 a 7. Z každého vstupu vede právě jedna šipka. — Šipky vedou od vstupů k výstupům. Z každého vstupu vede právě jedna šipka.

Množina všech dovolených vstupů se nazývá definiční obor. Množina výstupů, které skutečně dostaneme, je obor hodnot. Funkci z obrázku pojmenujeme \(p\), a proto její obory značíme \(D(p)\) a \(H(p)\):

\begin{aligned} D(p)&=\{1;\,2;\,3;\,4;\,5\},\\[4pt] H(p)&=\{2;\,3;\,5;\,6;\,7\}. \end{aligned}

Dva různé vstupy mohou mít stejný výstup. Například pro \(q(x)=x^2\) platí \(q(-2)=4\) i \(q(2)=4\), a přesto jde o funkci. Vadilo by pouze to, kdyby jeden konkrétní vstup měl dva různé výstupy.

Zápis funkce

Funkci pojmenujeme například písmenem \(f\). Zápis

\[ f(x)=2x \]

říká: „Vezmi vstup \(x\) a vynásob jej dvěma.“ Písmeno \(f\) je jméno funkce, \(x\) je vstup a \(f(x)\) je odpovídající výstup. Často píšeme také \(y=f(x)\), protože výstup v grafu vynášíme na osu \(y\).

Dosadíme-li \(x=3\), dostaneme:

f(3)=2\cdot3=6

Zápis \(f(3)\) neznamená \(f\) krát 3. Znamená hodnotu funkce \(f\) pro vstup 3. Funkci \(p\) z prvního šipkového obrázku můžeme zase zapsat tabulkou:

\begin{array}{c|ccccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline p(x) & 2 & 3 & 5 & 6 & 7 \end{array}

Funkce nemusí mít jednoduchý vzorec typu \(2x\). Může být určena také tabulkou, obrázkem nebo slovním pravidlem.

Graf funkce

Každý vstup a jeho výstup vytvoří v soustavě souřadnic jeden bod:

[x;\,f(x)]

Vstupu \(1\) například odpovídá výstup \(2\), takže do grafu patří bod \([1;2]\). Vodorovná osa ukazuje vstupy \(x\), svislá osa výstupy \(y=f(x)\).

Souřadnicová soustava s pěti samostatnými body o souřadnicích 1,2; 2,3; 3,5; 4,6 a 5,7. Body nejsou spojeny. — Grafem této funkce je právě pět vyznačených bodů.

Body zde nespojujeme. Definiční obor obsahuje pouze čísla \(1,2,3,4,5\). Kdybychom body spojili, přidali bychom například vstup \(1{,}5\), který původní funkce vůbec nemá.

Kdy body spojíme?

U funkce \(f(x)=2x\) můžeme za \(x\) dosadit libovolné reálné číslo: celé číslo, desetinné číslo i číslo mezi dvěma vyznačenými hodnotami. Pro každý takový vstup dostaneme výstup, a graf proto tvoří souvislá přímka.

Graf funkce f x rovná se 2x. Fialová přímka prochází počátkem a zeleně jsou vyznačeny některé body z tabulky. — U funkce \(f(x)=2x\) patří do grafu také všechny body mezi vyznačenými body.

Body tedy nespojujeme automaticky. Spojit je smíme jen tehdy, když funkce skutečně přiřazuje hodnoty také všem mezilehlým vstupům a její graf mezi body takto probíhá.

Na jedné ose musejí stejné vzdálenosti znamenat stejné číselné přírůstky. Osa \(x\) a osa \(y\) však mohou mít navzájem rozdílné měřítko.

Definiční obor a obor hodnot

Oba pojmy si můžeme pamatovat jako dvě otázky:

\begin{aligned} D(f):&\quad \text{Jaké vstupy smíme použít?}\\[4pt] H(f):&\quad \text{Jaké výstupy skutečně dostaneme?} \end{aligned}

Pokud u předpisu není definiční obor výslovně zadán, hledáme všechny reálné hodnoty \(x\), pro které má předpis smysl. Množině všech takových čísel říkáme maximální definiční obor.

U funkce \(f(x)=2x\) můžeme použít každé reálné číslo a můžeme také získat každý reálný výstup:

D(f)=\mathbb{R}, \qquad H(f)=\mathbb{R}.

Když některý vstup použít nejde

Podívejme se na funkci

g(x)=\frac{x}{x-3}.

Pro \(x=3\) by byl ve jmenovateli nulový výraz \(3-3\). Nulou dělit nelze, proto musíme trojku z definičního oboru vynechat:

D(g)=\mathbb{R}\setminus\{3\}.

Výstup \(1\) zase nemůže nikdy nastat. Kdyby nastal, muselo by platit:

\frac{x}{x-3}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=x-3 \quad\Longrightarrow\quad 0=-3,

což není možné. Obor hodnot tedy je:

H(g)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

Proč nechybí žádný jiný výstup? Pro každé číslo \(y\neq1\) můžeme najít vstup \(x=\frac{3y}{y-1}\), pro který platí \(g(x)=y\). Jednička je tedy skutečně jediná hodnota, které funkce nedosáhne.

Graf funkce x děleno x minus 3 se dvěma větvemi. Přerušované přímky x rovná se 3 a y rovná se 1 vyznačují hodnoty, kterých graf nedosáhne. — Graf se blíží k přímkám \(x=3\) a \(y=1\), ale ani jedné se nedotkne.

Omezený definiční obor

Někdy definiční obor záměrně omezíme, přestože samotný předpis dovoluje více vstupů. Například:

f(x)=2x, \qquad D(f)=\langle-3;\,5).

Vstup \(-3\) do intervalu patří, ale vstup \(5\) už ne. Nejmenší výstup je proto \(f(-3)=-6\). Když se \(x\) zleva blíží k číslu 5, výstupy \(2x\) se blíží k číslu 10. Hodnoty 10 však funkce nedosáhne:

H(f)=\langle-6;\,10).

Část přímky y rovná se 2x od bodu minus 3, minus 6 včetně po bod 5, 10 bez tohoto krajního bodu. — Plný bod \([-3;-6]\) do grafu patří. Prázdný bod \([5;10]\) do něj nepatří.

Co není graf funkce

Z grafu musí být možné přečíst pro každý vstup \(x\) nejvýše jeden výstup \(y\). Pomůže nám test svislou přímkou: každá svislá přímka smí graf funkce protnout nejvýše v jednom bodě.

Fialová lomená čára obsahuje svislý úsek pro x rovná se 2. Červená svislá přímka ji pro tento vstup protíná ve více bodech. — Pro \(x=2\) bychom dostali více různých hodnot \(y\). Takový obrázek není grafem funkce.

Vodorovná přímka naopak může graf protnout vícekrát. To ničemu nevadí: dva různé vstupy smějí mít stejný výstup. Zakázané je pouze přiřadit jednomu vstupu více výstupů.

Co je rovnice

Rovnice tvrdí, že se dva výrazy rovnají. Řešením rovnice je každé číslo, po jehož dosazení tato rovnost skutečně platí.

Vyřešme například rovnici \(2x+1=7\). Na obou stranách musíme vždy provést stejnou úpravu:

\begin{aligned} 2x+1&=7,\\ 2x&=6,\\ x&=3. \end{aligned}

Nejprve jsme od obou stran odečetli 1, potom jsme obě strany vydělili dvěma. Výsledek zkontrolujeme dosazením:

2\cdot3+1=7.

Proč patří funkce a rovnice k sobě

Funkce popisuje, jak výstup závisí na vstupu. Rovnice se potom může ptát, pro který vstup nastane určitý výstup. U funkce \(f(x)=2x+1\) například rovnice \(f(x)=7\) znamená:

„Pro které \(x\) vrátí funkce hodnotu 7?“ Odpověď je \(x=3\). V grafu jde o bod \([3;7]\), ve kterém se graf funkce protne s vodorovnou přímkou \(y=7\).

Rovnice může také hledat vstup, pro který mají dvě funkce stejnou hodnotu:

f(x)=2x+1, \qquad g(x)=7-x.

\begin{aligned} f(x)&=g(x),\\ 2x+1&=7-x,\\ 3x&=6,\\ x&=2. \end{aligned}

Pro \(x=2\) mají obě funkce hodnotu 5:

f(2)=5, \qquad g(2)=5.

Grafy přímek f x rovná se 2x plus 1 a g x rovná se 7 minus x se protínají v bodě 2, 5. — Průsečík \([2;5]\) říká zároveň dvě věci: řešením rovnice je \(x=2\) a společný výstup je 5.

Řešení rovnice \(f(x)=g(x)\) jsou \(x\)-ové souřadnice průsečíků grafů funkcí \(f\) a \(g\). Grafy mohou mít žádný, jeden nebo více průsečíků, takže rovnice může mít žádné, jedno nebo více řešení. Zvláštním případem je rovnice \(f(x)=0\): její řešení hledáme v místech, kde se graf setkává s osou \(x\), tedy kde má výšku 0.

Příklad ze života: dvě taxislužby

Uvažujme dvě taxislužby se smyšlenými cenami. Služba A účtuje nástupní cenu 40 Kč a 20 Kč za každý kilometr. Služba B účtuje nástupní cenu 100 Kč a 10 Kč za kilometr. Ujetou vzdálenost označíme \(x\):

A(x)=40+20x, \qquad B(x)=100+10x.

Obě funkce najednou popisují cenu pro všechny dovolené vzdálenosti \(x\geq0\). Rovnice nám odpoví na jednu konkrétní otázku: Kdy budou obě ceny stejné?

\begin{aligned} 40+20x&=100+10x,\\ 40+10x&=100,\\ 10x&=60,\\ x&=6. \end{aligned}

Při vzdálenosti 6 km stojí obě služby 160 Kč:

A(6)=40+20\cdot6=160, \qquad B(6)=100+10\cdot6=160.

Graf cen dvou smyšlených taxislužeb. Přímky se protínají při vzdálenosti 6 kilometrů a ceně 160 korun. — Pro vzdálenosti menší než 6 km je levnější služba A, při 6 km stojí obě stejně a při větších vzdálenostech je levnější služba B.

Proto dává smysl učit funkce a rovnice společně. Funkce ukážou celý vztah mezi vzdáleností a cenou. Rovnice z tohoto vztahu přesně určí vzdálenost, při níž se obě ceny rovnají.

Po stisknutí tlačítka se objeví tiskový dialog. V políčku pro tiskárnu vyberte Uložit jako PDF, případně můžete kapitolu rovnou vytisknout.

Prosím, ohodnoťte tuto kapitolu

Ohodnoťte prosím kapitolu podle toho, jak dobře byla vysvětlená.
Pomáhá nám to tvořit stále lepší a lepší obsah. Děkujeme.

Zatím nehodnoceno.