Lineární funkce a lineární rovnice

Předpis lineární funkce, graf lineární funkce, lineární rovnice, úlohy

Lineární funkce: přímka z dvou čísel

Lineární funkce říká, jak se mění výstup \(y\), když změníme vstup \(x\). Její graf je vždy přímka; na konečném obrázku proto vidíme jen její úsečku.

Obecný předpis lineární funkce je

y=ax+b,\qquad a,b\in\mathbb{R}.

\(a\) je směrnice: určuje sklon přímky. \(b\) je absolutní člen: říká, kde přímka protne osu \(y\), tedy jaká je hodnota pro \(x=0\).

Konkrétní předpis y se rovná dvě x plus tři. Žlutá šipka ukazuje na dvojku jako na směrnici a rovná se dvěma; druhá žlutá šipka ukazuje na trojku jako na absolutní člen b a rovná se třem.

\(a>0\): s rostoucím \(x\) roste i \(y\); přímka stoupá zleva doprava.
\(a<0\): s rostoucím \(x\) \(y\) klesá; přímka klesá zleva doprava.
\(a=0\): dostaneme konstantní funkci \(y=b\), vodorovnou přímku.
\(b=0\): dostaneme přímou úměrnost \(y=ax\), jejíž graf prochází počátkem.
Záporné \(b\) posune průsečík s osou \(y\) pod počátek, kladné \(b\) nad počátek.

Jak přečíst \(a\) a \(b\) z grafu

Nejprve si všimneme bodu na ose \(y\). Ten má \(x=0\), takže jeho výška je přímo \(b\). Směrnici neodečítáme „podle úhlu“: vybereme dva body přímky a spočítáme poměr změn

\[ a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\text{kolik nahoru nebo dolů}}{\text{kolik doprava}}. \]

Začneme v \((0;1)\), protože \(b=1\). Když se \(x\) zvětší o 2, \(y\) se zvětší o 1: \(a=\frac{1}{2}\).

Stejný postup, jen krok vede dolů. Proto je \(a=\frac{-1}{2}\). Nejjednodušší přímá úměrnost je \(y=x\): má \(a=1\), \(b=0\) a prochází body \((0;0)\), \((1;1)\).

Lineární rovnice a její spojení s funkcí

Lineární rovnice s neznámou \(x\) má po úpravě tvar

\[ ax+b=0,\qquad a,b\in\mathbb{R},\quad a\ne0. \]

Hledáme takové \(x\), pro které je levá strana rovna nule. Proto platí \(x=-\frac{b}{a}\). Přesně totéž hledáme v grafu funkce \(y=ax+b\): řešení rovnice je \(x\)-ová souřadnice průsečíku přímky s osou \(x\). Podmínka \(a\ne0\) je důležitá: kdyby \(a=0\), neměli bychom rovnici s neznámou, ale jen tvrzení \(b=0\).

Mini příklad

Vyřešme \(2x-6=0\). Přímka \(y=2x-6\) protne osu \(x\) tam, kde \(y=0\).

2x-6=0\quad\Longrightarrow\quad2x=6\quad\Longrightarrow\quad x=3.

Pět předpisů přečtených z grafu

U každého grafu nejprve odečteme \(b\) v bodě s \(x=0\). Potom vybereme druhý mřížový bod a určíme \(a=\frac{\Delta y}{\Delta x}\). Výsledek vždy zapisujeme jako \(y=ax+b\).

1. rostoucí

\(b=2\), za \(+3\) v ose \(x\) přibude \(+1\) v ose \(y\), tedy \(a=\frac{1}{3}\).

2. rostoucí

\(b=-1\), za \(+1\) v ose \(x\) přibudou \(+2\), tedy \(a=2\).

3. rostoucí

\(b=0\), krok \(+1,+1\), tedy \(a=1\).

4. klesající

\(b=3\), krok \(+2,-1\), tedy \(a=-\frac{1}{2}\).

5. klesající

\(b=-2\), při kroku o \(-1\) vzroste \(y\) o \(+3\); ve směru doprava tedy klesá o 3: \(a=-3\).

Jak graf sestrojit podle předpisu

Postup je vždy stejný: \(1\) vyznačíme \(b\) na ose \(y\); \(2\) směrnici zapíšeme jako vhodný krok doprava a nahoru/dolů; \(3\) označíme druhý bod; \(4\) přes oba body vedeme přímku. Zde je pět různých předpisů.

\(y=\frac{2}{3}x-2\)

Vyznač \((0;-2)\).
Jdi o 3 doprava a o 2 nahoru.
Spojením bodů dostaneš přímku.

\(y=-2x+1\)

Vyznač \((0;1)\).
Jdi o 1 doprava a o 2 dolů.
Spojením bodů dostaneš přímku.

\(y=\frac{1}{4}x+3\)

Vyznač \((0;3)\).
Jdi o 4 doprava a o 1 nahoru.
Veď přímku oběma body.

\(y=-\frac{3}{2}x\)

Vyznač počátek: \(b=0\).
Jdi o 2 doprava a o 3 dolů.
Veď přímku oběma body.

\(y=4\)

Vyznač \((0;4)\).
\(a=0\): žádný krok nahoru ani dolů.
Veď vodorovnou přímku.

Dvě slovní úlohy

Spíše na funkci

Kolik stojí cesta?

Taxík si účtuje nástupní sazbu 45 Kč a 18 Kč za každý kilometr. Označme počet kilometrů \(x\) a cenu \(C\). Sestavíme předpis \(C(x)=18x+45\). Číslo \(45\) je cena při \(x=0\), číslo \(18\) je přírůstek za každý další kilometr.

C(7)=18\cdot7+45=171.

Sedmikilometrová cesta stojí 171 Kč. Graf této závislosti je přímka, ale v reálné situaci bereme jen \(x\ge0\).

Spíše na rovnici

Kdy se vyplatí permanentka?

Jednorázový vstup stojí 90 Kč. Permanentka stojí 360 Kč a každá návštěva s ní 30 Kč. Pro stejnou cenu platí \(90x=360+30x\).

90x=360+30x\quad\Longrightarrow\quad60x=360\quad\Longrightarrow\quad x=6.

Při šesti návštěvách stojí obě možnosti stejně; od sedmé návštěvy je permanentka levnější.

Je dobré rozlišovat předpis funkce od jejího použití. Vzorec \(y=ax+b\) je definován pro všechna reálná \(x\), ale slovní úloha může dávat smysl jen pro určité vstupy, například pro nezáporný počet kilometrů.

Po stisknutí tlačítka se objeví tiskový dialog. V políčku pro tiskárnu vyberte Uložit jako PDF, případně můžete kapitolu rovnou vytisknout.