Opakované násobení
Mocniny jsou zkráceným zápisem opakujícího se násobení.
\[
\begin{array}{l}
8 \cdot 8 \cdot 8 = 8^3 = 512 \\[4pt]
7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^4 = 2401 \\[4pt]
(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b) = (a+b)^3 \\[4pt]
x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x
\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x = x^{17}
\end{array}
\]
Zvlášť u posledního příkladu vidíme výhodnost mocninného zápisu.
Číslu nahoře se říká mocnitel (exponent) základ mocniny
\[
(b-7)^{3x+16}
\]
Mocnina se tedy skládá z těchto částí:
Pravidla počítání s mocninami
\[
3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5} = 3^7 = 2187
\]
Snadno to ukážeme:
\[
\begin{array}{l}
3^2 = \textcolor{#d60000}{3 \cdot 3} \\[5pt]
3^5 = \textcolor{#0070c9}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} \\[5pt]
3^2 \cdot 3^5
=
\textcolor{#d60000}{3 \cdot 3}
\cdot
\textcolor{#0070c9}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}
=
3^7
\end{array}
\]
Obecně tedy můžeme napsat:
\[
\boldsymbol{a^p \cdot a^q = a^{p+q}}
\]
Další příklady:
\[
\begin{array}{l}
u^6 \cdot u^{3-t}
= u^{6+3-t}
= u^{9-t}
\\[6pt]
s^{2l+7} \cdot s^{12-3l}
= s^{2l+7+12-3l}
= s^{-l+19}
= s^{19-l}
\\[6pt]
\left(e^{p-2} \cdot f^3\right)\left(e f^{-1}\right)
= e^{p-2+1}f^{3-1}
= e^{p-1}f^2
\end{array}
\]
Dále platí:
\[
\left(3^5\right)^2 = 3^{5 \cdot 2} = 3^{10} = 59049
\]
Opět to snadno ukážeme:
\[
\begin{array}{l}
3^5
=
\textcolor{#0070c9}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}
\\[6pt]
\left(
\textcolor{#0070c9}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}
\right)^2
=
\textcolor{#0070c9}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}
\cdot
\textcolor{#0070c9}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}
=
3^{10}
\end{array}
\]
Obecně to zapíšeme:
\[
\boldsymbol{(a^p)^q = a^{p \cdot q}}
\]
Další příklady:
\[
\begin{array}{l}
\left(3^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{5}{2}}
= 3^{\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}}
= 3^1
= 3
\\[6pt]
\left(x^2\right)^{11}
= x^{22}
\end{array}
\]
Také platí:
\[
\frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27
\]
Protože:
\[
\frac{3^5}{3^2}
=
\frac{
\textcolor{#d60000}{3 \cdot 3}
\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3
}{
\textcolor{#d60000}{3 \cdot 3}
}
=
3 \cdot 3 \cdot 3
=
3^3
\]
Obecně můžeme napsat:
\[
\boldsymbol{\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}}
\]
Jde se o speciální případ násobení. Dělení je vlastně násobení převráceným číslem. Jistě můžeme
napsat:
\[
\frac{3^5}{3^2}
=
3^5 \mathbin{:} 3^2
=
3^5 \cdot \frac{1}{3^2}
\]
A zlomku se zbavíme tak, že \(3^2\) ze jmenovatele přesuneme do čitatele a změníme znaménko exponentu.
\[
3^5 \cdot \frac{1}{3^2}
=
3^5 \cdot 3^{-2}
=
3^{5+(-2)}
=
3^{5-2}
=
3^3
\]
Čísla můžeme přehazovat z čitatele do jmenovatele a naopak, pokud jim vždy změníme znaménko jejich
exponentu.
i
Pokud bychom chtěli být terminologicky přesní, tak „přehazování“ není matematiká úprava, ale je to spíš
mnemotechnická pomůcka. Správně jsme zlomek \(\frac{1}{3^2}\) rozšířili (vynásobili čitatele a jmenovatele)
číslem \(3^{-2}\).
\[
\frac{1}{3^2} \cdot \frac{3^{-2}}{3^{-2}}
=
\frac{3^{-2}}{3^2 \cdot 3^{-2}}
=
\frac{3^{-2}}{3^0}
=
\frac{3^{-2}}{1}
=
3^{-2}
\]
Např.:
\[
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{5^{-2}\cdot 3}{2^{-7}}
=
\frac{3\cdot 2^7}{5^2}
\\[8pt]
\displaystyle
(2+y)^{-4}
=
\frac{1}{(2+y)^4}
\end{array}
\]
Další pravidlo:
\[
(3 \cdot 2)^3 = 3^3 \cdot 2^3 = 27 \cdot 8 = 216
\]
Zkusíme, zda to „sedí“:
\[
(3 \cdot 2)^3 = 6^3 = 216
\]
A vidíme, že ano.
Obecně napsáno:
\[
\boldsymbol{(a \cdot b)^p = a^p \cdot b^p}
\]
A jelikož dělení je vlastně násobení převráceným číslem, můžeme psát:
\[
\boldsymbol{\left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p}}
\]
Příklady:
\[
\begin{array}{l}
(5b^2et^7)^3
= 5^3 b^{2\cdot 3} e^3 t^{7\cdot 3}
= 125b^6e^3t^{21}
\\[8pt]
(3k^2l)^3(kl^5m^7)^{11}
= 3^3k^6l^3 \cdot k^{11}l^{55}m^{77}
= 27k^{6+11}l^{3+55}m^{77}
= 27k^{17}l^{58}m^{77}
\\[10pt]
\left(\dfrac{3a}{b}\right)^3
= \dfrac{3^3a^3}{b^3}
= \dfrac{27a^3}{b^3}
\\[12pt]
\left(\dfrac{1}{j}\right)^{-3}
= \dfrac{1^{-3}}{j^{-3}}
= \dfrac{j^3}{1^3}
= \dfrac{j^3}{1}
= j^3
\end{array}
\]
Nula jako exponent
Proč je nenulové číslo na nultou rovno jedné? Chceme zachovat pravidla pro mocniny:
\[
\begin{aligned}
5^0 &= 5^{1-1}=5^1\cdot5^{-1} ={} \\
&= \frac{5^1}{5^1}=\frac{5}{5}=1.
\end{aligned}
\]
Proto definujeme \(a^0=1\) pro \(a\ne0\). U nuly tento postup nefunguje:
potřebovali bychom \(0^{-1}=\frac{1}{0}\) a podíl \(\frac{0^1}{0^1}=\frac{0}{0}\).
Dělení nulou není definováno, takže tím hodnotu \(0^0\) nezískáme.
Ve školním počítání necháváme \(0^0\) nedefinované.
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{a^0 = 1}\quad (a\ne0)
\\[18pt]
5^0 = 1
\\[6pt]
\left(\dfrac{1}{3}\right)^0 = 1
\\[12pt]
18356^0 = 1
\\[6pt]
\pi^0 = 1
\\[18pt]
0^0 \text{ – není definováno}
\\[6pt]
\infty^0 \text{ – není definováno}
\end{array}
\]
Mocniny o základu 10
Např.:
\[
\begin{array}{l}
1\,000 = 10^3 \\[5pt]
100\,000 = 10^5 \\[5pt]
1\,000\,000 = 10^6 \\[5pt]
1\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000 = 10^{27} \\[5pt]
5\,000 = 5 \cdot 1\,000 = 5 \cdot 10^3
\end{array}
\]
Je to vždy 10 na tolikátou, kolik je za prvním číslem (jedničkou) nul. Milion má šest nul – tedy \(10^6\).
Zápis pomocí exponentu je přehlednější a u velkých čísel rychlejší. Pohodlněji se s ním také počítá.
Př.:
Přibližná hmotnost Země zapsaná pomocí nul:
\[
5\,970\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\ \mathrm{kg}
\]
Přibližná hmotnost Země zapsaná pomocí exponentu:
\[
5{,}97 \cdot 1\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\ \mathrm{kg}
=
\boldsymbol{5{,}97 \cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}}
\]
Případně:
\[
597 \cdot 10\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\ \mathrm{kg}
=
\boldsymbol{597 \cdot 10^{22}\ \mathrm{kg}}
\]
To byla všechno velká čísla. Pomocí mocnin desíti lze zapisovat i čísla malá
\[
\begin{array}{l}
0{,}001 = 10^{-3} \\[6pt]
0{,}000\,001 = 10^{-6}
\end{array}
\]
Je to vždy 10 na mínus tolikátou, kolik je míst za desetinnou čárkou.
Snadno to dokážeme, protože:
\[
0{,}001
=
\frac{1}{1000}
=
\frac{1}{10^3}
=
1 \cdot 10^{-3}
=
10^{-3}
\]
Fakt se to hodí
Vypočítejte, jak velkou sílou se navzájem přitahují Země s Měsícem.
Dosadíme příslušné hodnoty do Newtonova gravitačního zákona .
\[
F_g = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}
\]
\(G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{m^3 \cdot kg^{-1} \cdot s^{-2}}\) — gravitační konstanta
Kdybychom to zadávali pomocí nul, byť do kalkulačky, tak by to nebylo ani trochu příjemné.
S mocninami to je o poznání příjemnější, ale než to začneme dávat do kalkulačky, pokud vůbec, tak si to ještě
upravíme a zjednodušíme.
\[
\begin{aligned}
F_g
&=
6{,}67 \cdot 10^{-11}
\cdot
\frac{
5{,}97 \cdot 10^{24}
\cdot
7{,}35 \cdot 10^{22}
}{
\left(3{,}844 \cdot 10^8\right)^2
}
\ \mathrm{N}
\\[10pt]
F_g
&=
\frac{
6{,}67 \cdot 5{,}97 \cdot 7{,}35
}{
3{,}844^2
}
\cdot
10^{-11+24+22-16}
\ \mathrm{N}
\\[10pt]
F_g
&\approx
19{,}81 \cdot 10^{19}
\ \mathrm{N}
\\[8pt]
F_g
&\approx
1{,}981 \cdot 10^{20}
\ \mathrm{N}
\\[8pt]
\boldsymbol{F_g}
&\boldsymbol{\approx 2 \cdot 10^{20}\ \mathrm{N}}
\end{aligned}
\]
(Od)mocnina
Odmocninu můžeme zapsat jako mocninu se zlomkem v exponentu:
jmenovatel říká, kolikátou odmocninu bereme, čitatel určuje mocninu.
\[
\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}
\]
Tento přepis platí pro \(a>0\), celé číslo \(m\) a přirozené číslo \(n\ge2\).
Pro \(a=0\) jej můžeme použít, jen když \(m>0\).
\[
\begin{aligned}
\sqrt{9}&=9^{\frac12}=3,\\[6pt]
\sqrt[3]{8^2}&=8^{\frac23}=2^2=4.
\end{aligned}
\]
V reálných číslech smí být pod sudou odmocninou jen nezáporné číslo;
lichá odmocnina existuje i ze záporného čísla, například \(\sqrt[3]{-8}=-2\).
Pro záporný základ platí přepis také při lichém \(n\). U sudého \(n\) ho automaticky
použít nesmíme (viz příklad níže).
Pravidla pro \(p\) a \(q\)
Odvodili jsme si následující pravidla.
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{a^p \cdot a^q = a^{p+q}}
\\[10pt]
\boldsymbol{\left(a^p\right)^q = a^{p \cdot q}}
\\[12pt]
\boldsymbol{\dfrac{a^p}{a^q} = a^{p-q}}
\\[15pt]
\boldsymbol{(a \cdot b)^p = a^p \cdot b^p}
\\[12pt]
\boldsymbol{\left(\dfrac{a}{b}\right)^p = \dfrac{a^p}{b^p}}
\\[12pt]
\boldsymbol{\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}}
\end{array}
\]
Platí pro exponenty \(p\) a \(q\) nějaká omezení, nebo to mohou být libovolná čísla?
Záleží na základech. Pro \(a>0\) a \(b>0\) mohou být \(p\) a \(q\)
libovolná reálná čísla a prvních pět pravidel platí. Pravidlo s odmocninou má podmínky uvedené výše.
Pro celé exponenty mohou být základy i záporné.
Nula smí mít jen kladný exponent a žádný dělitel nesmí být nula :
v \(\frac{a^p}{a^q}\) tedy musí být \(a\ne0\), v \(\frac{a}{b}\) musí být \(b\ne0\).
Každý výraz na obou stranách pravidla musí být definovaný.
U záporného základu lze ve školním reálném oboru použít zlomkový exponent,
jen když má zlomek v základním tvaru lichý jmenovatel .
Ani pak nelze všechna pravidla slepě přenášet. Například:
\[
\begin{aligned}
\left((-2)^2\right)^{\frac12}&=\sqrt{4}=2,\\[6pt]
(-2)^{2\cdot\frac12}&=(-2)^1=-2.
\end{aligned}
\]
Obě strany existují, ale nejsou stejné. Proto při práci s odmocninami a zlomkovými exponenty
nejdřív kontrolujeme základ a podmínky, teprve potom upravujeme.
Po stisknutí tlačítka se objeví tiskový dialog. V políčku pro tiskárnu vyberte Uložit jako PDF , případně můžete kapitolu rovnou vytisknout.
PDF
Vygenerovat kapitolu v PDF
