Absolutní hodnota

Pro reálné číslo \(x\) výraz \(\lvert x+2\rvert\) vyjadřuje vzdálenost čísla \(x\) od kterého čísla na číselné ose?Protože \(\lvert x+2\rvert=\lvert x-(-2)\rvert\), jde o vzdálenost čísla \(x\) od čísla \(-2\).

Rozhodněte, zda má rovnice v oboru reálných čísel řešení. Odpověď zdůvodněte:\(\lvert x-5\rvert=-2\)Rovnice nemá žádné řešení. Absolutní hodnota je vždy nezáporná, tedy \(\lvert x-5\rvert\geq0\); nemůže se proto rovnat zápornému číslu \(-2\).

Nechť \(a\) je reálné číslo. Určete počet řešení rovnice\(\lvert x-1\rvert=a\)podle toho, zda je \(a<0\), \(a=0\), nebo \(a>0\).Je-li \(a<0\), rovnice nemá žádné řešení, protože absolutní hodnota nemůže být záporná.Je-li \(a=0\), je jediným řešením \(x=1\).Je-li \(a>0\), jsou dvě řešení: \(x=1-a\) a \(x=1+a\).

Žák upravil nerovnost\(\lvert x-3\rvert<5\)na \(x<8\). Opravte jeho výsledek tak, aby šlo o ekvivalentní nerovnost.Výraz \(\lvert x-3\rvert<5\) znamená, že vzdálenost čísla \(x\) od čísla \(3\) je menší než \(5\).Číslo \(x\) proto musí být větší než \(3-5=-2\) a zároveň menší než \(3+5=8\).To znamená: \(x\) leží mezi \(-2\) a \(8\); čísla \(-2\) ani \(8\) do řešení nepatří.Výsledkem je:\(-2<x<8\)

V oboru reálných čísel zapište jako sjednocení intervalů množinu řešení nerovnosti:\(\lvert x-1\rvert>3\)Vzdálenost čísla \(x\) od \(1\) je větší než \(3\), tedy \(x-1<-3\) nebo \(x-1>3\).Odtud \(x<-2\) nebo \(x>4\); řešení je \((-\infty;-2)\cup(4;\infty)\).

Vyberte všechna tvrzení, která platí pro všechna reálná čísla \(a,b\):

• a) \(\lvert ab\rvert=\lvert a\rvert\cdot\lvert b\rvert\)✓
• b) \(\lvert a+b\rvert=\lvert a\rvert+\lvert b\rvert\)
• c) \(\lvert -a\rvert=\lvert a\rvert\)✓

Určete všechna reálná řešení rovnice:\(\lvert x\rvert=x^2\)Pro \(x\geq0\) je \(\lvert x\rvert=x\), tedy \(x=x^2\), neboli \(x(x-1)=0\). Dostaneme \(x=0\) nebo \(x=1\).Pro \(x<0\) je \(\lvert x\rvert=-x\), tedy \(-x=x^2\), neboli \(x(x+1)=0\). Z podmínky \(x<0\) vyhovuje jen \(x=-1\).Všechna řešení jsou \(x\in\{-1,0,1\}\).