Kvadratické rovnice

Určete počet reálných kořenů rovnice:\(2x^2-3x+5=0\)\(D=(-3)^2-4\cdot2\cdot5=9-40=-31<0\), proto rovnice nemá žádný reálný kořen.

Vyřešit

Kolik společných bodů má parabola\(y=x^2-4x+3\)s osou \(x\)? Odpověď zdůvodněte pomocí diskriminantu příslušné rovnice.Průsečíky určuje rovnice \(x^2-4x+3=0\). \(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=4>0\), má tedy dva různé reálné kořeny \(x_1=1\), \(x_2=3\). Parabola má s osou \(x\) dva společné body: \((1,0)\) a \((3,0)\).

Vyřešit

Kvadratická rovnice tvaru \(x^2+bx+c=0\) má kořeny \(2\) a \(-5\). Určete koeficient \(b\).Podle Vietových vztahů platí \(x_1+x_2=-b\). Tedy \(2+(-5)=-b\), a proto \(b=3\).

Vyřešit

Rozhodněte dosazením, zda je číslo \(3\) kořenem rovnice:\(2x^2-5x-3=0\)Po dosazení \(x=3\) dostaneme \(2\cdot3^2-5\cdot3-3=18-15-3=0\). Číslo \(3\) je kořenem rovnice.

Vyřešit

Která z následujících rovnic je již přímo zapsána jako úplný čtverec?a) \(x^2-6x+9=0\)✓
b) \(x^2-6x+5=0\)
c) \(2x^2+3x-1=0\)Platí a): \(x^2-6x+9=(x-3)^2\).

Vyřešit

Žák při řešení rovnice\(2x^2-3x-2=0\)zapsal:\(x_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)}}{2}\)Opravte chybnou část tohoto zápisu.Chybný je jmenovatel: musí být \(2a=2\cdot2=4\). Správně je \(x_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)}}{4}=\dfrac{3\pm5}{4}\).

Vyřešit

Určete všechna reálná čísla \(m\), pro která má rovnice právě jeden reálný kořen:\(x^2+(m-2)x+1=0\)Právě jeden reálný kořen nastane, když \(D=0\). \((m-2)^2-4\cdot1\cdot1=0\), tedy \((m-2)^2=4\). Odtud \(m-2=\pm2\), proto \(m=0\) nebo \(m=4\).

Vyřešit