Odmocniny

Doplňte slovo: Je-li \(a\ge0\), pak \(\sqrt{a}\) označuje  nezáporné reálné číslo, jehož druhá mocnina je \(a\).Hlavní odmocnina je vždy nezáporná.

Rozhodněte, zda je správné tvrzení:\(\sqrt{49}=\pm7\)Tvrzení není správné: \(\sqrt{49}=7\). Znaménko \(\pm\) patří k řešení rovnice \(x^2=49\), nikoli k zápisu odmocniny.

Rozhodněte, zda pro každé reálné číslo \(a\) platí:\(\sqrt{a^2}=a\)Tvrzení není správné. Platí \(\sqrt{a^2}=|a|\). Například pro \(a=-2\) je levá strana \(2\), ale pravá strana \(-2\).

Doplňte výraz:\(\sqrt{(x-3)^2}=\) \(|x-3|\)Obecně platí \(\sqrt{u^2}=|u|\) pro každé reálné \(u\).

Určete všechna reálná čísla \(x\), pro která má výraz\(\sqrt{5-2x}\)smysl.Pod odmocninou musí být nezáporné číslo: \(5-2x\ge0\). Odtud \(x\le\dfrac{5}{2}\).

Rozhodněte, zda pro všechna \(a,b\ge0\) platí:\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)Ano, tvrzení platí. Pro nezáporná \(a\) a \(b\) jsou obě strany nezáporné a po umocnění na druhou dostaneme \(ab\).

Rozhodněte, zda pro všechna \(a,b\ge0\) platí:\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)Tvrzení neplatí. Například pro \(a=b=1\) je \(\sqrt{a+b}=\sqrt2\), zatímco \(\sqrt a+\sqrt b=2\).

Pro \(a,b\ge0\) rozhodněte, zda z rovnosti\(\sqrt{a}=\sqrt{b}\)nutně plyne \(a=b\).Ano, plyne. Obě strany rovnosti lze umocnit na druhou: \((\sqrt a)^2=(\sqrt b)^2\), tedy \(a=b\).

Je-li \(0<a<1\), rozhodněte, který z výrazů je větší:\(\sqrt{a}\qquad\text{nebo}\qquad a\)Větší je \(\sqrt a\). Z \(0<a<1\) plyne \(0<\sqrt a<1\). Číslo mezi \(0\) a \(1\) se po umocnění zmenší, proto \((\sqrt a)^2<\sqrt a\), tedy \(a<\sqrt a\).

Určete všechna reálná čísla \(x\), pro která platí:\(\sqrt{x}=x\)Musí platit \(x\ge0\). Po umocnění dostaneme \(x^2=x\), tedy \(x^2-x=0\) a po vytknutí \(x(x-1)=0\). Řešení jsou \(x=0\) a \(x=1\).