Zlomky a procenta

Určete číslo \(c\), aby pro každé reálné číslo \(a\) platilo:\(\dfrac{a}{2}\cdot c=\dfrac{a}{4}\)Správně je \(c=\dfrac{1}{2}\), protože \(\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{a}{4}\).

Určete číslo \(c\), aby platilo:\(\dfrac35\cdot c=\dfrac3{20}\)Správně je \(c=\dfrac{1}{4}\), protože \(\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{20}\).

Doplňte čitatele:\(\dfrac{\square}{12}=\dfrac{5}{3}\)Doplňte \(20\), neboť \(\dfrac{20}{12}=\dfrac{5}{3}\).

Doplňte jmenovatele:\(\dfrac{7}{9}=\dfrac{35}{\square}\)Doplňte \(45\), neboť \(\dfrac{7}{9}=\dfrac{35}{45}\).

Pro \(b\ne0\) rozhodněte, zda se hodnota zlomku \(\dfrac ab\) změní, vynásobíme-li čitatele i jmenovatele číslem \(-2\).Hodnota se nezmění: \(\dfrac{-2a}{-2b}=\dfrac{a}{b}\).

Pro \(x\ne0\) rozhodněte, zda lze ve zlomku \(\dfrac{x+4}{x}\) krátit číslem \(x\).Nelze. Číslo \(x\) není činitelem čitatele \(x+4\); krátit lze jen společné činitele.

Určete všechna reálná čísla \(x\), pro která nemá výraz\(\dfrac5{2x+6}\)smysl.Výraz nemá smysl pro \(x=-3\), protože tehdy je jmenovatel roven nule.

Doplňte čitatele tak, aby pro \(x\ne0,\,2\) platila rovnost:\(\dfrac{\square}{x(x-2)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x-2}\)Doplňte \(-2\): \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x-2-x}{x(x-2)}=\dfrac{-2}{x(x-2)}\).

Opravte pravou stranu rovnosti tak, aby pro \(x\ne2\) platilo, a zapište ji v nejjednodušším tvaru:\(\dfrac{x^2-4}{x-2}=x-2\)Správná pravá strana je \(x+2\), protože \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).

Doplňte čitatele tak, aby pro \(x\ne2\) platila rovnost:\(\dfrac{x}{x-2}=1+\dfrac{\square}{x-2}\)Doplňte \(2\). Platí \(1=\dfrac{x-2}{x-2}\), tedy \(\dfrac{x}{x-2}=1+\dfrac{2}{x-2}\).

Upravte na jediný zlomek výraz odpovídající větě: „Od zlomku \(\dfrac23\) odečteme jeho převrácenou hodnotu.“Převrácená hodnota je \(\dfrac{3}{2}\), proto \(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{4-9}{6}=-\dfrac{5}{6}\).

Pro \(b>0\) a \(d>0\) rozhodněte, zda platí ekvivalence:\(\dfrac ab<\dfrac cd\quad\Longleftrightarrow\quad ad<bc\)Ano, ekvivalence platí. Protože \(bd>0\), lze nerovnost vynásobit kladným číslem \(bd\) bez změny jejího směru.

Pro \(x\ne0,\,3\) zjednodušte výraz a výsledek zapište jako jediný zlomek:\(\dfrac{x^2-9}{x^2-3x}\)Po rozkladu a zkrácení dostaneme \(\dfrac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}=\dfrac{x+3}{x}\); původně musí platit \(x\ne0,\,3\).

Určete všechna reálná čísla \(m\), pro která rovnice\(\dfrac{x-1}{x-2}=m\)nemá řešení v oboru reálných čísel.Pouze \(m=1\). Pro \(m=1\) vyjde \(x-1=x-2\), což je spor; pro \(m\ne1\) má rovnice řešení \(x=\dfrac{1-2m}{1-m}\).

Upravte na jediný zlomek výraz odpovídající větě: „Třetinu zlomku \(\dfrac{x}{2}\) zvětšíme o \(\dfrac12\).“Třetina zlomku je \(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{6}\). Po přičtení \(\dfrac{1}{2}\) dostaneme \(\dfrac{x+3}{6}\).

Je-li původní cena \(p>0\), doplňte číslo, kterým je třeba ji vynásobit, aby vznikla cena po slevě \(15\,\%\):\(p\cdot\square\)Doplňte \(0{,}85\) (také \(\dfrac{17}{20}\)), protože po slevě \(15\%\) zůstává \(85\%\) původní ceny.

Je-li původní cena zboží \(p\) Kč a obchod poskytne jednu slevu \(20\,\%\), rozhodněte, z jaké ceny se sleva určí.Sleva se určí z původní ceny \(p\). Cena po jedné slevě \(20\%\) je \(0{,}8p\).

Rozhodněte, zda se cena po zdražení o \(20\,\%\) a následné slevě \(20\,\%\) vrátí na původní hodnotu.Ne. Po zdražení a následné slevě je cena \(1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96\) původní ceny, tedy o \(4\%\) nižší.

Rozhodněte, která nabídka znamená nižší konečnou cenu: jednorázová sleva \(30\,\%\), nebo dvě postupné slevy \(10\,\%\) a \(20\,\%\).Nižší cenu dá jednorázová sleva \(30\%\): zůstane \(70\%\) původní ceny. Po slevách \(10\%\) a \(20\%\) zůstane \(0{,}9\cdot0{,}8=0{,}72\), tedy \(72\%\).

Rozhodněte, zda mají stejnou hodnotu výrazy:\(25\,\%\text{ z }80\qquad\text{a}\qquad80\,\%\text{ z }25\)Ano. Oba výrazy mají hodnotu \(20\): \(25\%\text{ z }80=20\) a \(80\%\text{ z }25=20\).

Podíl žáků, kteří uspěli v testu, vzrostl ze \(40\,\%\) na \(50\,\%\). Určete, o kolik procentních bodů se podíl zvýšil.Podíl se zvýšil o \(50\% - 40\% = 10\) procentních bodů.

Určete, kolikanásobkem původní hodnoty je číslo po zvýšení o \(100\,\%\).Po zvýšení o \(100\%\) je hodnota dvojnásobná: z \(p\) vznikne \(2p\).

V reklamě stojí: „Sleva \(25\,\%\): zaplatíte jen \(25\,\%\) původní ceny.“ Rozhodněte, zda je toto tvrzení správné.Tvrzení není správné. Sleva \(25\%\) znamená, že zákazník zaplatí zbývajících \(75\%\) původní ceny.

Rozhodněte, zda se sazba DPH \(21\,\%\) počítá z ceny bez DPH, nebo z konečné ceny s DPH.Sazba DPH se počítá z ceny bez DPH; DPH se k této základní ceně přičítává.

Ve třídě je \(40\,\%\) chlapců a \(60\,\%\) dívek. Rozhodněte, zda je správné tvrzení: „Dívek je o \(20\,\%\) více než chlapců.“Tvrzení není správné. Dívek je vzhledem k chlapcům \(\dfrac{60-40}{40}=\dfrac{1}{2}=50\%\) více; rozdíl podílů je \(20\) procentních bodů.