Sinus a kosinus I

Jednotková kružnice, souřadnice bodu na kružnici, definice sinu a kosinu

Jednotková kružnice a orientace

Jednotková kružnice je kružnice se středem v počátku \(\left[0;0\right]\) a poloměrem 1. Za kladný směr bereme otáčení proti směru hodinových ručiček; ve směru hodinových ručiček jsou úhly záporné. Úhel začínáme měřit na kladné poloose \(x\).

Bod \(P\) vznikne otočením poloměru o úhel \(\alpha\). Jeho vzdálenost od počátku je vždy 1.

Souřadnice a úhel popisují tentýž bod

V rovině lze bod popsat kartézskými souřadnicemi \(\left[x;y\right]\): kolik doprava a kolik nahoru. Lze jej také popsat polárně: vzdáleností od počátku \(r\) a úhlem \(\alpha\). Přesněji: v rovině říkáme polární souřadnice; sférické souřadnice se používají v prostoru, kde potřebujeme dva úhly a vzdálenost.

\[ x=r\cos\alpha,\qquad y=r\sin\alpha. \]

Na jednotkové kružnici je \(r=1\), takže se zápis zjednoduší na

\[ P=\left[\cos\alpha;\sin\alpha\right]. \]

Kosinus je vodorovná souřadnice bodu a sinus je svislá souřadnice. Nezavádíme zbytečná nová slova: sinus a kosinus jsou stručný, univerzální způsob, jak souřadnice bodu určit z úhlu.

Proč nepíšeme jen \(\left[x;y\right]\)

Souřadnice \(\left[x;y\right]\) řeknou, kde bod právě je. Sinus a kosinus navíc zachytí pravidlo, jak se poloha mění při otáčení. To je užitečné u kolotoče, kliky motoru, rotující kamery, vlnění i u směru síly.

Konkrétní představa

Špička minutové ručičky dlouhé 20 cm svírá s vodorovným směrem úhel \(\alpha\). Její posun od středu je \(\left[20\cos\alpha;20\sin\alpha\right]\). Nemusíme pro každý úhel znovu měřit pravítkem: stejný předpis funguje pro libovolné otočení.

Pravoúhlý trojúhelník

Spustíme-li z bodu \(P\) kolmici na osu \(x\), vznikne pravoúhlý trojúhelník. V obecném pravoúhlém trojúhelníku je

Na jednotkové kružnici je přepona neboli poloměr rovna 1. Vodorovná odvěsna je tedy \(\cos\alpha\) a svislá odvěsna \(\sin\alpha\).

\[ \sin\alpha=\frac{\text{protilehlá odvěsna}}{\text{přepona}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{přilehlá odvěsna}}{\text{přepona}}. \]

Na jednotkové kružnici je přepona právě 1, takže v obou zlomcích dělíme jedničkou. Zůstane jen čitatel: \(\sin\alpha\) je se znaménkem protilehlá (svislá) odvěsna a \(\cos\alpha\) přilehlá (vodorovná) odvěsna. Proto má bod \(P\) souřadnice \(\left[\cos\alpha;\sin\alpha\right]\).

Pět mezních poloh

Na osách se trojúhelník „zploští“, ale souřadnicová definice stále funguje bez výjimky.

Úhel	Bod \(P\)	\(\cos\alpha\)	\(\sin\alpha\)
\(0^{\circ}\)	\(\left[1;0\right]\)	1	0
\(90^{\circ}\)	\(\left[0;1\right]\)	0	1
\(180^{\circ}\)	\(\left[-1;0\right]\)	\(-1\)	0
\(270^{\circ}\)	\(\left[0;-1\right]\)	0	\(-1\)
\(360^{\circ}\)	\(\left[1;0\right]\)	1	0

Po otočení o \(360^{\circ}\) se vrátíme do stejného bodu jako pro \(0^{\circ}\).

V této kapitole používáme stupně a jednotkovou kružnici. Obloukovou míru, sinusoidu a úlohy s grafy zavedeme až v navazující kapitole.

Po stisknutí tlačítka se objeví tiskový dialog. V políčku pro tiskárnu vyberte Uložit jako PDF, případně můžete kapitolu rovnou vytisknout.

Prosím, ohodnoťte tuto kapitolu

Ohodnoťte prosím kapitolu podle toho, jak dobře byla vysvětlená.
Pomáhá nám to tvořit stále lepší a lepší obsah. Děkujeme.

Zatím nehodnoceno.