Tangens a kotangens I

Tangens a kotangens na jednotkové kružnici

Dvě délky na tečnách ke kružnici

Sinus a kosinus jsou souřadnice bodu na jednotkové kružnici. Tangens a kotangens dostaneme, když poloměr prodloužíme až na tečnu ke kružnici. Tečna je přímka, která se kružnice dotkne v jednom bodě.

Vybarvený pravoúhlý trojúhelník dává poměr odvěsen. Tangens je orientovaná délka na tečně \(x=1\), kotangens na tečně \(y=1\). Nákres je pro ostrý úhel; znaménka v dalších kvadrantech určí souřadnice.
\[ \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\text{protilehlá odvěsna}}{\text{přilehlá odvěsna}},\qquad \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\text{přilehlá odvěsna}}{\text{protilehlá odvěsna}}. \]

Proto \(\tan\alpha\) neexistuje, když \(\cos\alpha=0\), a \(\cot\alpha\) neexistuje, když \(\sin\alpha=0\). Nejde o neochotu kalkulačky: znamenalo by to dělení nulou.

V pravoúhlém trojúhelníku

Pro praktické výpočty zpravidla nepotřebujeme kreslit kružnici. V pravoúhlém trojúhelníku si vůči zvolenému úhlu \(\alpha\) označíme protilehlou a přilehlou odvěsnu. Tangens je jejich poměr; kotangens je převrácený poměr.

Střecha

Vodorovná vzdálenost od okapu ke hřebeni je 8 m a sklon střechy je \(35^{\circ}\). Výšku štítu \(h\) určíme z pravoúhlého trojúhelníku:

Vzhledem k úhlu \(35^{\circ}\) je \(h\) protilehlá odvěsna a 8 m přilehlá odvěsna.
\[ \tan(35^{\circ})=\frac{h}{8}\qquad\Longrightarrow\qquad h=8\tan(35^{\circ})\approx5{,}60\,\mathrm{m}. \]

Štít je přibližně 5,6 m vysoký nad úrovní okapu. V reálné stavbě ovšem ještě rozlišujeme délku krokve a vodorovný půdorysný rozměr.

Kotangens

Je-li výška svahu 3 m a jeho úhel k vodorovné rovině \(30^{\circ}\), vodorovný doběh \(d\) vyjde přímo z kotangentu:

Vzhledem k úhlu \(30^{\circ}\) je \(d\) přilehlá odvěsna a 3 m protilehlá odvěsna.
\[ \cot(30^{\circ})=\frac{d}{3}\qquad\Longrightarrow\qquad d=3\cot(30^{\circ})=3\sqrt{3}\approx5{,}20\,\mathrm{m}. \]

Mezní polohy

V osových polohách se prodloužený poloměr stává rovnoběžným s jednou z tečen. Příslušný poměr by pak dělil nulou, a proto není definován.
Úhel\(\tan\alpha\)\(\cot\alpha\)Proč
\(0^{\circ}\)0nedefinováno\(\sin(0^{\circ})=0\)
\(90^{\circ}\)nedefinováno0\(\cos(90^{\circ})=0\)
\(180^{\circ}\)0nedefinováno\(\sin(180^{\circ})=0\)
\(270^{\circ}\)nedefinováno0\(\cos(270^{\circ})=0\)
\(360^{\circ}\)0nedefinováno\(\sin(360^{\circ})=0\)
Obloukovou míru, grafy tangensu a kotangensu a další úlohy budeme řešit v druhé kapitole. Zde je klíčové porozumět definici, znaménkům a bodům, kde funkce není definovaná.

Po stisknutí tlačítka se objeví tiskový dialog. V políčku pro tiskárnu vyberte Uložit jako PDF, případně můžete kapitolu rovnou vytisknout.

Prosím, ohodnoťte tuto kapitolu

Ohodnoťte prosím kapitolu podle toho, jak dobře byla vysvětlená.
Pomáhá nám to tvořit stále lepší a lepší obsah. Děkujeme.

Zatím nehodnoceno.