Kvadratické nerovnice
Řešte v oboru reálných čísel:
- \(x^2-5x+6 \gt0\)
- \(x^2+3x-10 \leq0\)
- \(-x^2+4x+5 \geq0\)
- \(2x^2-8x+6 \lt0\)
- \(3x^2+x-2 \geq0\)
- \(-2x^2-x+3 \lt0\)
- \(4x^2-12x+9 \gt0\)
- \(x^2+2x+5 \leq0\)
- \(-x^2+6x-9 \leq0\)
- \(5x^2-20x+15 \geq0\)
- \(6x^2+x-2 \lt0\)
- \(-3x^2+12x-9 \gt0\)
- \(2x^2+4x+7 \gt0\)
- \(-4x^2-4x-1 \geq0\)
- \(x^2-7x+10 \leq0\)
* – těžší nebo pracnější úloha
Řešte v oboru reálných čísel:
- \((x-4)(x+1) \lt2x-3\)
- \((2x-1)(x+3) \geq(x+1)^2\)
- \((x+2)^2-3(x-1) \leq2x+7\)
- \((3x-2)^2 \gt2(4x^2-3x+1)\)
- \((x-3)(x+4) \leq(2x-1)(x-2)\)
- \(2(x+1)(x-3) \gt(x-2)^2-5\)
- \(3(x-2)^2+4 \geq2(x+1)^2\)
- \((x+5)(x-1)+2x \lt3(x^2-1)\)
- \(4x(x-1)-(x+2)^2 \leq3x-7\)
- \((2x+3)^2-5(x-1) \geq3x^2+8\)
- \((x-2)(x+6) \gt2(x^2-1)-x\)
- \(5(x-1)^2-2(x+4) \leq3x^2-3\)
- \(2(x+3)^2-(x-4)^2 \gt8x+10\)
- \((x-1)^2+(x+2)^2 \lt3(x^2-x)+9\)
- \(\dfrac{1}{2}(x+4)^2-(x-1)^2 \geq3-x\)
* – těžší nebo pracnější úloha
Proveďte:
\(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\) a \(\mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\ldots\}\)
- Určete všechna \(n\in\mathbb{N}\), pro která platí:\(n^2-7n+10 \leq0\)
- Určete všechna \(z\in\mathbb{Z}\), pro která platí:\(z^2+z-12 \gt0\)
- Určete všechna \(n\in\mathbb{N}\), pro která platí:\(2n^2-10n+12 \lt0\)
- Určete všechna \(m\in\mathbb{Z}\), pro která platí:\(-m^2+5m+6 \geq0\)
- Určete všechna \(n\in\mathbb{N}\), pro která platí:\(n^2-4n-5 \lt0\)
- Určete všechna \(z\in\mathbb{Z}\), pro která platí:\(3z^2-z-2 \leq0\)
- Určete všechna \(k\in\mathbb{N}_0\), pro která platí:\(k^2-9k+14 \geq0\)
- Určete všechna prvočísla \(p\), pro která platí:\(p^2-11p+28 \lt0\)
- Určete všechna \(q\in\mathbb{Z}\), pro která platí:\(2q^2+q-3 \gt0\)
- Určete všechna \(r\in\mathbb{N}\), pro která platí:\(-2r^2+8r-6 \lt0\)
- Určete všechny kladné dělitele čísla \(60\), pro které platí:\(d^2-9d+14 \leq0\)
- Určete všechna \(t\in\mathbb{Z}\), pro která platí:\(t^2-6t+9 \gt0\)
- Určete všechna \(n\in\mathbb{N}\), pro která platí:\(4n^2-12n+9 \leq0\)
- Určete všechna \(n\in\mathbb{N}\), pro která platí:\(n^2+2n-15 \geq0\)
- Určete všechna \(x\in\mathbb{Z}\), pro která platí:\(-3x^2-6x+9 \leq0\)
* – těžší nebo pracnější úloha
Obdélníkový záhon má šířku \(x\) metrů a délku o 6 metrů větší. Jeho plocha má být alespoň 160 m², ale nejvýše 315 m². Určete všechny možné hodnoty \(x\).
Označme \(x\) šířku záhonu vyjádřenou v metrech. Délka je \(x+6\) metrů a platí \(x\gt0\).
\[160\,\mathrm{m^2}\leq x(x+6)\,\mathrm{m^2}\leq315\,\mathrm{m^2}\]\[x^2+6x-160\geq0\quad\Rightarrow\quad(x+16)(x-10)\geq0\quad\Rightarrow\quad x\geq10\]\[x^2+6x-315\leq0\quad\Rightarrow\quad(x+21)(x-15)\leq0\quad\Rightarrow\quad x\leq15\]Obě podmínky musejí platit současně.
Šířka záhonu může být \(\boxed{10\leq x\leq15}\) metrů.
Ze čtvercového kartonu o straně 20 cm se po všech čtyřech stranách odstřihne okraj stejné šířky \(x\) cm. Zbývající čtverec má mít obsah alespoň 196 cm². Určete možné hodnoty \(x\), víte-li, že \(0\lt x\lt10\).
Po odstřižení je strana zbývajícího čtverce \(20-2x\) cm.
\[(20-2x)^2\,\mathrm{cm^2}\geq196\,\mathrm{cm^2}\]\[x^2-20x+51\geq0\quad\Rightarrow\quad(x-3)(x-17)\geq0\]\[x\leq3\ \text{nebo}\ x\geq17\]Druhá možnost nevyhovuje podmínce \(0\lt x\lt10\).
Šířka odstřiženého okraje může být \(\boxed{0\lt x\leq3}\) cm.
U benefiční akce se očekávaný počet návštěvníků odhaduje vztahem \(100-\dfrac{p}{10}\), kde \(p\) je cena vstupenky v korunách. Model platí pro \(150\leq p\leq850\). Pro které ceny vstupenky budou tržby alespoň 16 000 Kč?
Označme \(p\) cenu vstupenky vyjádřenou v korunách. Tržbu tvoří cena jedné vstupenky krát počet návštěvníků.
\[p\,\text{Kč}\cdot\left(100-\dfrac{p}{10}\right)\geq16\,000\,\text{Kč}\]\[-p^2+1\,000p\geq160\,000\]\[p^2-1\,000p+160\,000\leq0\]\[(p-200)(p-800)\leq0\]Interval \(\langle200;800\rangle\) leží celý v oboru platnosti daného modelu.
Vstupenka může stát \(\boxed{200\leq p\leq800}\) Kč.
Brzdná dráha automobilu je pro daný typ povrchu přibližně dána vztahem \(d(v)=0{,}01v^2+0{,}4v\), kde \(d\) je v metrech a \(v\) rychlost v km h−1. Jaká může být nejvyšší rychlost, má-li být brzdná dráha nejvýše 45 m?
Potřebujeme, aby brzdná dráha splňovala \(d(v)\leq45\,\mathrm{m}\). V dalších řádcích pracujeme s číselnými hodnotami ve zvolených jednotkách.
\[0{,}01v^2+0{,}4v\leq45\]\[v^2+40v-4\,500\leq0\]\[(v+90)(v-50)\leq0\]\[-90\leq v\leq50\]Rychlost nemůže být záporná.
Nejvyšší možná rychlost je \(\boxed{50\,\mathrm{km\,h^{-1}}}\)
Obdélníkový výběh přiléhá jednou stranou k již hotové zdi. Na zbývající tři strany je k dispozici 40 m pletiva. Označme \(x\) délku každé ze dvou stran kolmých ke zdi. Jaké hodnoty \(x\) jsou možné, má-li mít výběh obsah alespoň 192 m²?
Třetí oplocená strana má délku \(40-2x\) metrů. Musí být kladná, tedy \(0\lt x\lt20\).
\[x(40-2x)\,\mathrm{m^2}\geq192\,\mathrm{m^2}\]\[-2x^2+40x-192\geq0\]\[(x-8)(x-12)\leq0\]Výsledek zároveň splňuje rozměrovou podmínku.
Délka každé kolmé strany může být \(\boxed{8\leq x\leq12}\) metrů.
Výška míče vyhozeného vzhůru je popsána funkcí \(h(t)=-5t^2+20t+1\), kde \(h\) je výška v metrech a \(t\) čas v sekundách. V jakém časovém intervalu po odhodu je míč alespoň 16 m nad zemí?
Podmínka zadaná slovní úlohou je \(h(t)\geq16\,\mathrm{m}\). V dalších řádcích pracujeme s číselnými hodnotami ve zvolených jednotkách.
\[-5t^2+20t+1\geq16\]\[t^2-4t+3\leq0\]\[(t-1)(t-3)\leq0\]Čas po odhodu je nezáporný, což daný interval splňuje.
Míč je alespoň 16 m nad zemí v čase \(\boxed{1\leq t\leq3}\) sekund po odhodu.
Obdélníkový pokoj má šířku \(x\) metrů a délku o 5 metrů větší. Jeho plocha nesmí přesáhnout 84 m². Určete všechny možné kladné hodnoty \(x\).
Délka pokoje je \(x+5\) metrů a šířka musí být kladná.
\[x(x+5)\,\mathrm{m^2}\leq84\,\mathrm{m^2}\]\[x^2+5x-84\leq0\]\[(x+12)(x-7)\leq0\]\[-12\leq x\leq7\]Ze získaného intervalu ponecháme jen kladné rozměry.
Šířka pokoje může být \(\boxed{0\lt x\leq7}\) metrů.
* – těžší nebo pracnější úloha