Kvadratické rovnice

Řešte v \(\mathbb{R}\):

  1. \(x^2 - 8x = 0\)
  2. \(3x^2 + 15x = 0\)
  3. \(4x^2 - 100 = 0\)
  4. \(7x^2 + 28 = 0\)
  5. \((x - 6)(x + 2) = 0\)
  6. \((3x + 4)(2x - 5) = 0\)
  7. \(x^2 + 3x - 28 = 0\)
  8. \(2x^2 - 7x - 15 = 0\)
  9. \(6x^2 - 7x - 3 = 0\)
  10. \(16x^2 - 24x + 9 = 0\)
  11. \(5x^2 + 4x + 7 = 0\)
  12. \((x + 3)^2 = 13\)
  13. \(3(x - 2)^2 - 12 = 0\)
  14. \((4x - 1)^2 - (x + 5)^2 = 0\)
  15. \((x - 2)(x + 6) = 3x + 2\)

* – těžší nebo pracnější úloha

Zobrazit řešení 1. sady ›

Řešte v \(\mathbb{R}\):

  1. \(2x^2 - 11x + 5 = 0\)
  2. \(3x^2 + 2x - 8 = 0\)
  3. \(5x^2 - 20x + 17 = 0\)
  4. \(4x^2 + 4x + 1 = 0\)
  5. \(9x^2 - 6x + 5 = 0\)
  6. \(0{,}5x^2 - 3x + 1{,}5 = 0\)
  7. \(\dfrac{3}{4}x^2 - \dfrac{11}{4}x + 2 = 0\)
  8. \(12x^2 + 7x - 10 = 0\)
  9. \(2x^2 - 4x - 1 = 0\)
  10. \(x^2 + 2\sqrt{2}x + 1 = 0\)
  11. \(2x^2 + (3 - 2\sqrt{2})x - 3\sqrt{2} = 0\)
  12. Určete všechny reálné hodnoty parametru \(k\), pro něž má rovnice právě jedno reálné řešení:\(x^2 - 2(k + 1)x + k^2 - 2 = 0\)

* – těžší nebo pracnější úloha

Zobrazit řešení 2. sady ›

Řešte v \(\mathbb{R}\):

  1. \(\sqrt{x + 5} = x - 1\)
  2. \(\sqrt{2x + 3} = 5 - x\)
  3. \(\sqrt{3x - 2} = x + 2\)
  4. \(\sqrt{x + 1} = 4 - x\)
  5. \(\sqrt{2x + 3} = \sqrt{5 - x}\)
  6. \(\sqrt{x + 7} - 1 = \dfrac{x}{2}\)
  7. \(\sqrt{x^2 + 3x + 7} = x + 1\)
  8. \(\sqrt{2x^2 - 3x + 5} = x + 1\)
  9. \(\sqrt{x + 5} = \dfrac{x}{2}\)
  10. \(\sqrt{x^2 - 3x + 4} = 2x - 2\)
  11. \(\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 1} = 3\)
  12. \(\sqrt{x + 4} + 2 = \sqrt{3x - 2}\)

* – těžší nebo pracnější úloha

Zobrazit řešení 3. sady ›

  1. Obdélníková plocha pro školní venkovní učebnu má obsah 330 m2. Delší strana je o 7 m delší než kratší strana. Určete rozměry plochy.

    Označíme kratší stranu \(x\) metrů. Delší strana pak měří \(x + 7\) metrů.

    Obsah obdélníku je součin délek jeho stran:

    \[x(x + 7) = 330\]\[x^2 + 7x - 330 = 0\]

    Trojčlen rozložíme na součin:

    \[(x - 15)(x + 22) = 0\]\[x_1 = 15,\qquad x_2 = -22\]

    Záporná hodnota nemůže vyjadřovat délku strany, proto platí \(x = 15\).

    Rozměry plochy jsou 15 m a 22 m.

  2. V malém amfiteátru jsou sedadla uspořádána do obdélníku. Počet sedadel v jedné řadě je o 5 větší než počet řad a celkem je zde 234 sedadel. Kolik je řad a kolik sedadel je v každé řadě?

    Označíme \(x\) počet řad; v jedné řadě je potom \(x+5\) sedadel.

    \[x(x + 5) = 234\]
    \[x^2+5x-234=0\]\[(x-13)(x+18)=0\]\[x=13\quad\text{nebo}\quad x=-18\]

    Kořen \(x=-18\) nevyhovuje, protože počet řad nemůže být záporný.

    \[\boxed{13\text{ řad a }18\text{ sedadel v řadě}}\]

    Amfiteátr má 13 řad a v každé řadě je 18 sedadel.

  3. Roční předplatné vzdělávací aplikace stálo původně 2 000 Kč. Cena byla dvakrát po sobě snížena vždy o stejné procento z právě platné ceny a nakonec činila 1 445 Kč. O kolik procent byla cena při každém zlevnění snížena?

    Po každém zlevnění zůstane podíl původní ceny \(1-\frac{p}{100}\).

    \[2\,000\left(1 - \frac{p}{100}\right)^2 = 1\,445\]
    \[\left(1 - \frac{p}{100}\right)^2 = 0{,}7225 = 0{,}85^2\]

    Zlomek původní ceny, který po zlevnění zůstává, nemůže být záporný. Vezmeme proto kladnou odmocninu.

    \[1-\frac{p}{100}=0{,}85\]
    \[\frac{p}{100}=0{,}15\]
    \[\boxed{p=15\,\%}\]

    Při každém zlevnění se cena snížila o 15 %.

  4. Kurýr na elektrokole projede trasu dlouhou 48 km stálou rychlostí. Kdyby jel o 4 km h−1 rychleji, přijel by o jednu hodinu dříve. Určete jeho původní rychlost.

    Původní rychlost označíme \(v\) a vyjádříme ji v \(\mathrm{km\,h^{-1}}\). Proto platí \(v\gt0\).

    \[\frac{48}{v + 4} = \frac{48}{v} - 1\]
    \[v^2+4v-192=0\]\[(v-12)(v+16)=0\]\[v=12\quad\text{nebo}\quad v=-16\]

    Kořen \(v=-16\) nevyhovuje, protože rychlost musí být kladná.

    \[\boxed{v = 12\,\mathrm{km\,h^{-1}}}\]

    Původní rychlost kurýra byla 12 km h−1.

  5. Balík má podobu kvádru s výškou 3 cm. Hrany jeho obdélníkové podstavy se liší o 2 cm a objem balíku je 360 cm³. Určete rozměry podstavy.

    Kratší hranu podstavy označíme \(x\) cm; delší hrana potom měří \(x+2\) cm.

    \[3x(x + 2) = 360\]
    \[x^2+2x-120=0\]\[(x-10)(x+12)=0\]\[x=10\quad\text{nebo}\quad x=-12\]

    Kořen \(x=-12\) nevyhovuje, protože délka hrany nemůže být záporná.

    \[\boxed{10\,\mathrm{cm}\text{ a }12\,\mathrm{cm}}\]

    Rozměry podstavy jsou 10 cm a 12 cm.

  6. Informační displej má tvar obdélníku. Jeho úhlopříčka měří 17 dm a delší strana je o 7 dm delší než kratší. Určete délky jeho stran.

    Kratší stranu označíme \(x\) dm, delší strana tedy měří \(x+7\) dm. Použijeme Pythagorovu větu.

    \[x^2 + (x + 7)^2 = 17^2\]
    \[x^2+7x-120=0\]\[(x-8)(x+15)=0\]\[x=8\quad\text{nebo}\quad x=-15\]

    Kořen \(x=-15\) nevyhovuje, protože délka strany nemůže být záporná.

    \[\boxed{8\,\mathrm{dm}\text{ a }15\,\mathrm{dm}}\]

    Délky stran displeje jsou 8 dm a 15 dm.

  7. Ve fyzikální laboratoři byla kulička vyhozena svisle vzhůru počáteční rychlostí \(20\,\mathrm{m\,s^{-1}}\). Její výška nad místem odhodu je dána vztahem \(h = 20t - 5t^2\), kde \(h\) je v metrech a \(t\) v sekundách. V kterých okamžicích byla kulička ve výšce 15 m?

    Dosadíme požadovanou výšku \(h=15\,\mathrm{m}\).

    \[20t - 5t^2 = 15\Longleftrightarrow t^2 - 4t + 3 = 0\]
    \[(t - 1)(t - 3) = 0\]
    \[\boxed{t_1 = 1\,\mathrm{s},\quad t_2 = 3\,\mathrm{s}}\]

    Kulička byla ve výšce 15 m po 1 s a po 3 s.

  8. Kurýrní služba měla rozvézt 360 stejných zásilek. Kdyby měla o 3 stejně vytížené kurýrní týmy více, připadlo by na každý tým o 10 zásilek méně. Kolik týmů měla služba původně?

    Původní počet týmů označíme \(x\). Protože jde o počet týmů, hledáme kladné celé číslo.

    \[\frac{360}{x} - \frac{360}{x + 3} = 10\]
    \[x^2+3x-108=0\]\[(x-9)(x+12)=0\]\[x=9\quad\text{nebo}\quad x=-12\]

    Kořen \(x=-12\) nevyhovuje, protože počet týmů musí být kladný.

    \[\boxed{9\text{ týmů}}\]

    Služba měla původně 9 týmů.

  9. Dva počítače zpracovávají stejný objem videa stálou rychlostí. Společně by práci dokončily za 6 hodin. Rychlejší počítač by tutéž práci sám dokončil o 5 hodin dříve než pomalejší. Za jak dlouho by práci dokončil každý počítač samostatně?

    Dobu práce pomalejšího počítače označíme \(x\) hodin. Rychlejší počítač potřebuje \(x-5\) hodin. Oba časy musí být kladné, proto \(x\gt5\).

    \[\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 5} = \frac{1}{6}\]
    \[x^2-17x+30=0\]\[(x-2)(x-15)=0\]\[x=2\quad\text{nebo}\quad x=15\]

    Kořen \(x=2\) nevyhovuje: rychlejší počítač by pak měl záporný čas \(x-5=-3\) hodiny.

    \[\boxed{15\text{ h a }10\text{ h}}\]

    Pomalejší počítač by práci dokončil za 15 h, rychlejší za 10 h.

  10. V nádobě je 10 litrů čistého ovocného koncentrátu. Odebere se z ní \(x\) litrů kapaliny a nádoba se doplní vodou do původního objemu. Směs se důkladně promíchá, opět se odebere stejných \(x\) litrů směsi a nádoba se znovu doplní vodou. Kolik litrů se odebíralo při každém kroku, jestliže výsledná směs obsahuje 36 % koncentrátu?

    Po každém kroku zůstane v nádobě podíl koncentrátu \(1-\frac{x}{10}\).

    Protože lze odebrat nejvýše celý objem nádoby, platí \(0\leq x\leq10\). Výraz \(1-\frac{x}{10}\) je tedy nezáporný a vezmeme kladnou odmocninu.

    \[\left(1 - \frac{x}{10}\right)^2 = 0{,}36 = 0{,}6^2\]
    \[1-\frac{x}{10}=0{,}6\]
    \[\frac{x}{10}=0{,}4\]
    \[\boxed{x=4\,\mathrm{l}}\]

    Při každém kroku se odebraly 4 l kapaliny.

  11. Dva topné odpory jsou zapojeny sériově a jejich výsledný odpor je 500 Ω. Při paralelním zapojení těchto odporů je výsledný odpor 120 Ω. Určete odpory obou součástek. Platí: \(\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\)

    Při sériovém zapojení platí \(R_1+R_2=500\,\Omega\). Z paralelního zapojení určíme součin obou odporů.

    \[R_1 + R_2 = 500\,\Omega,\quad R_1R_2 = 60\,000\,\Omega^2\]
    \[R^2-500R+60\,000=0\]\[(R-200)(R-300)=0\]

    Kořeny rovnice jsou hodnoty obou odporů.

    \[\boxed{R_1 = 200\,\Omega,\quad R_2 = 300\,\Omega}\]

    Odpory součástek jsou 200 Ω a 300 Ω.

  12. Při pokusu s dutým zrcadlem je součet vzdálenosti předmětu od zrcadla a vzdálenosti jeho skutečného obrazu od zrcadla 80 cm. Ohnisková vzdálenost zrcadla je 15 cm. Určete obě vzdálenosti. Použijte rovnici: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f}\)

    Vzdálenosti \(a\) a \(b\) mají součet \(80\,\mathrm{cm}\).

    \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{15}\Longrightarrow ab = 1\,200\]
    \[z^2-80z+1\,200=0\]\[(z-20)(z-60)=0\]

    Pomocná proměnná \(z\) označuje jednu z obou vzdáleností; kořeny rovnice proto udávají hledané hodnoty \(a\) a \(b\).

    \[\boxed{a = 20\,\mathrm{cm},\quad b = 60\,\mathrm{cm}}\]

    Předmět a jeho skutečný obraz jsou od zrcadla vzdáleny 20 cm a 60 cm.

* – těžší nebo pracnější úloha

V jaké výšce nad povrchem Země je hodnota gravitačního zrychlení poloviční proti hodnotě gravitačního zrychlení na povrchu Země?

Nápověda:

\(G\dfrac{M_Z}{R_Z^2} = 2G\dfrac{M_Z}{(R_Z + h)^2}\)

  • \(G\) … gravitační konstanta
  • \(M_Z\) … hmotnost Země
  • \(R_Z\) … střední poloměr Země (\(6\,371\,\mathrm{km}\))
  • \(h\) … výška nad povrchem Země (tu hledáme)

Ve výšce \(h\) má být tíhové zrychlení poloviční než na povrchu. Ekvivalentně tedy platí, že hodnota na povrchu je dvojnásobkem hodnoty ve výšce \(h\).

\[ G\dfrac{M_Z}{R_Z^2} = 2G\dfrac{M_Z}{(R_Z + h)^2} \]

Rovnici vydělíme nenulovým součinem \(GM_Z\):

\[ \dfrac{1}{R_Z^2} = \dfrac{2}{(R_Z + h)^2} \]

Upravíme na základní tvar kvadratické rovnice \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[ \dfrac{1}{R_Z^2} = \dfrac{2}{R_Z^2 + 2R_Zh + h^2} \] \[ R_Z^2 + 2R_Zh + h^2 = 2R_Z^2 \] \[ h^2 + 2R_Zh - R_Z^2 = 0 \]

V rovnici \(h^2+2R_Zh-R_Z^2=0\) jsou koeficienty \(a\mathrel{\widehat{=}}1\), \(b\mathrel{\widehat{=}}2R_Z\) a \(c\mathrel{\widehat{=}}-R_Z^2\). Dosadíme je do vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:

\[ h_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ h_{1,2} = \dfrac{-2R_Z \pm \sqrt{4R_Z^2 + 4R_Z^2}}{2} = \dfrac{-2R_Z \pm \sqrt{2 \cdot 4R_Z^2}}{2} \] \[ h_{1,2} = \dfrac{-2R_Z \pm 2R_Z\sqrt{2}}{2} = -R_Z \pm R_Z\sqrt{2} \] \[ h_1 = -R_Z + R_Z\sqrt{2} = R_Z\sqrt{2} - R_Z = R_Z(\sqrt{2} - 1) \] \[ h_2 = -R_Z - R_Z\sqrt{2} = R_Z(-1 - \sqrt{2}) \]

Druhý kořen \(h_2=R_Z(-1-\sqrt{2})\) je záporný. Hledaná výška nad povrchem Země však musí splňovat \(h\geq0\), proto tento kořen vyloučíme. Fyzikálně smysluplný je pouze kořen \(h_1=R_Z(\sqrt{2}-1)\).

Dosadíme hodnotu:

\[ R_Z(\sqrt{2} - 1) \approx 6\,371\cdot 0{,}4142\,\mathrm{km} \approx 2\,639\,\mathrm{km} \]

Poloviční hodnota gravitačního zrychlení proti hodnotě gravitačního zrychlení na povrchu Země je ve výšce přibližně 2 639 kilometrů.