Lineární rovnice

Řešte:

1. \(3x + 5 = 20\)
2. \(7 - 2x = 3x + 17\)
3. \(5(x - 2) = 2x + 15\)
4. \(4(x + 3) - 5 = x + 10\)
5. \(2(3x - 1) = 5x + 8\)
6. \(7 - 3(2x - 1) = 4 - x\)
7. \(4(2y + 3) - 5(y - 1) = 19\)
8. \(6(a - 2) - 2(2a + 1) = 5\)
9. \(3(2t - 5) - 2(t + 4) = 5t - 9\)
10. \(5(1 - 2p) + 4(p + 3) = 11 - p\)
11. \(\dfrac{x + 7}{2} - 3 = \dfrac{3x - 5}{4}\)
12. \(\dfrac{3y - 1}{5} + \dfrac{y + 4}{2} = 6\)
13. \(\dfrac{2a + 3}{4} - \dfrac{a - 1}{3} = 5\)
14. \(\dfrac{5m - 2}{6} + \dfrac{m + 1}{3} = \dfrac{7m + 8}{4}\)
15. \(\dfrac{3z + 5}{2} - \dfrac{2z - 1}{4} = 8\)
16. \(\dfrac{4u - 3}{5} + \dfrac{u + 7}{10} = 2\)
17. \(0{,}4x + 2{,}7 = 1{,}1x - 0{,}8\)
18. \(2{,}5y - 4 = 0{,}5(3y + 8)\)
19. \(1{,}8(a - 2) = 0{,}6(2a + 5)\)
20. \(3{,}2x - 1{,}7 = 2(0{,}8x + 1)\)
21. \(2(x - 3) - 4(1 - x) = 3(x + 2) - 5\)
22. \(5(2y + 1) - 3(3y - 4) = 2(y + 6)\)
23. \(7 - 2(3a - 5) = 4(a - 1) + 9\)
24. \(4(2b - 3) - 3(b + 5) = 2(3b - 1) - 7\)
25. \(3(4c + 1) - 5(c - 2) = 2(2c + 7) + 9\)
26. \(6(d - 1) - 2(2d + 5) = 3(d - 4) + 7\)
27. \(\dfrac{2(x - 1)}{3} + \dfrac{x + 5}{6} = 4\)
28. \(\dfrac{5(2y + 3)}{4} - \dfrac{3(y - 2)}{2} = 8\)
29. \(4(2x - 1) - 3 = 8x - 5\)
30. \(5(2x - 3) - 4(x + 1) = 6x - 19\)

Zobrazit řešení 1. sady ›

V každé rovnici nejprve určete podmínky a potom rovnici vyřešte v \(\mathbb{R}\).

1. \(\dfrac{6}{x + 1} = 3\)
2. \(\dfrac{4}{5 - x} = 2\)
3. \(3 + \dfrac{10}{x - 2} = 5\)
4. \(\dfrac{x + 3}{x - 4} = -1\)
5. \(\dfrac{5 - 2x}{x + 1} = 1\)
6. \(\dfrac{3x + 1}{2 - x} = 4\)
7. \(\dfrac{1}{x - 3} + \dfrac{5}{x - 3} = -2\)
8. \(\dfrac{2}{3x + 6} - \dfrac{1}{x + 2} = -1\)
9. \(\dfrac{x - 1}{x + 2} + \dfrac{5}{x + 2} = 2\)
10. \(\dfrac{2x + 1}{x - 3} - \dfrac{4}{x - 3} = -\dfrac{3}{2}\)
11. \(\dfrac{x + 6}{2x - 1} + \dfrac{5}{4x - 2} = \dfrac{3}{2}\)
12. \(\dfrac{7}{x + 4} - \dfrac{2x + 1}{2x + 8} = \dfrac{1}{3}\)
13. \(\dfrac{x - 2}{x + 1} = 2 - \dfrac{4}{x + 1}\)
14. \(\dfrac{6}{x - 1} + \dfrac{x + 2}{x - 1} = \dfrac{5}{2}\)
15. \(\dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{5}{2 - x} = -1\)
16. \(\dfrac{2x - 5}{x + 4} - \dfrac{1}{x + 4} = \dfrac{3}{2}\)
17. \(\dfrac{x + 2}{(x - 1)(x + 2)} + \dfrac{3}{x - 1} = 2\)
18. \(\dfrac{x^2 - 4}{(x - 2)(x + 3)} = 3\)
19. \(\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{x + 5}{(x - 1)(x + 1)}\)
20. \(\dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 4x + 3} = 2\)
21. \(\dfrac{x + 3}{x - 2} = 2 + \dfrac{1}{x - 2}\)
22. \(\dfrac{x + 1}{x^2 - 1} + \dfrac{2}{x - 1} = 3\)
23. \(2 - \dfrac{x + 2}{x - 3} = \dfrac{5}{x - 3}\)
24. \(\dfrac{\dfrac{x + 1}{x - 2}}{2 - \dfrac{3}{x - 2}} = \dfrac{5}{2}\)
25. \(\dfrac{\dfrac{x}{2} - 1}{\dfrac{x}{3} + 1} = \dfrac{1}{2}\)
26. \(\dfrac{1 + \dfrac{x}{4}}{3 - \dfrac{x}{2}} = \dfrac{2}{3}\)
27. \(\dfrac{\dfrac{x + 2}{3}}{1 - \dfrac{x}{4}} = 5\)
28. \(\dfrac{2 + \dfrac{1}{x + 1}}{1 - \dfrac{2}{x + 1}} = 3\)
29. \(\dfrac{1 + \dfrac{3}{x - 2}}{2 - \dfrac{1}{x - 2}} = \dfrac{5}{3}\)
30. \(\dfrac{\dfrac{x}{2} - 1}{\dfrac{x}{3} + 2} = \dfrac{\dfrac{x}{4} + 3}{\dfrac{x}{6} - 1}\)

Zobrazit řešení 2. sady ›

Řešte slovní úlohy:

1. Školní tým objednal \(12\) stejných funkčních triček. K ceně triček se připočítává jednorázový poplatek \(348\,\text{Kč}\) za přípravu potisku; celá objednávka stojí \(4\,548\,\text{Kč}\). Kolik stojí jedno tričko bez tohoto jednorázového poplatku?

   Školní tým objednal \(12\) stejných triček; celková cena obsahuje i jednorázový poplatek za potisk.

   Označme \(x\) cenu jednoho trička bez poplatku. Cena všech triček je \(12x\).

   \[12x+348=4\,548\]

   \[12x=4\,200\]

   \[x=350\]

   Jedno tričko stojí \(350\,\text{Kč}\).

   Kontrola: \(12\cdot350+348=4\,548\).

2. Petr si předplatil online jazykový kurz na tři měsíce. Jako student získal slevu \(15\,\%\) z běžné měsíční ceny a za celé předplatné zaplatil \(1\,530\,\text{Kč}\). Jaká je běžná měsíční cena kurzu?

   Petr za tři měsíce kurzu platí cenu sníženou o \(15\,\%\).

   Označme \(x\) běžnou měsíční cenu kurzu. Po slevě Petr platí \(85\,\%\), tedy \(0{,}85x\), za jeden měsíc.

   \[3\cdot0{,}85x=1\,530\]

   \[2{,}55x=1\,530\]

   \[x=600\]

   Běžná měsíční cena kurzu je \(600\,\text{Kč}\).

   Kontrola: \(3\cdot0{,}85\cdot600=1\,530\).

3. Obdélníkový informační panel má délku o \(28\,\mathrm{cm}\) větší než šířku. Jeho obvod je \(216\,\mathrm{cm}\). Určete rozměry panelu.

   Délka panelu je o \(28\,\mathrm{cm}\) větší než jeho šířka a obvod je \(216\,\mathrm{cm}\).

   Označme \(x\) šířku panelu v centimetrech. Jeho délka je \(x+28\).

   \[2\bigl(x+(x+28)\bigr)=216\]

   \[2x+28=108\]

   \[x=40\]

   \[x+28=68\]

   Panel má šířku \(40\,\mathrm{cm}\) a délku \(68\,\mathrm{cm}\).

   Kontrola: \(2(40+68)=216\).

4. V trojúhelníku je úhel \(\beta\) o \(20^\circ\) větší než úhel \(\alpha\) a úhel \(\gamma\) má dvojnásobnou velikost úhlu \(\alpha\). Určete velikosti všech tří úhlů.

   Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je \(180^\circ\).

   Označme velikost úhlu \(\alpha\) jako \(x\). Potom \(\beta=x+20^\circ\) a \(\gamma=2x\).

   \[x+(x+20)+2x=180\]

   \[4x+20=180\]

   \[x=40\]

   \(\alpha=40^\circ\), \(\beta=60^\circ\) a \(\gamma=80^\circ\).

   Kontrola: \(40^\circ+60^\circ+80^\circ=180^\circ\).

5. V datovém úložišti bylo zaplněno \(\dfrac{3}{5}\) celkové kapacity. Po smazání \(28\,\mathrm{GB}\) videí bylo zaplněno přesně \(\dfrac{1}{4}\) kapacity. Jakou celkovou kapacitu má úložiště?

   Po smazání \(28\,\mathrm{GB}\) klesne zaplněná část úložiště ze \(\frac{3}{5}\) na \(\frac{1}{4}\) celkové kapacity.

   Označme celkovou kapacitu úložiště \(x\) v gigabytech.

   \[\frac{3}{5}x-28=\frac{1}{4}x\]

   \[\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{4}\right)x=28\]

   \[\frac{7}{20}x=28\]

   \[x=80\]

   Celková kapacita úložiště je \(80\,\mathrm{GB}\).

   Kontrola: \(\frac{3}{5}\cdot80-28=48-28=20=\frac{1}{4}\cdot80\).

6. Půjčovna paddleboardů nabízí dva tarify. V tarifu A se platí \(65\,\text{Kč}\) za každou hodinu. V tarifu B se zaplatí jednorázově \(200\,\text{Kč}\) a dále \(40\,\text{Kč}\) za každou hodinu. Pro jak dlouhou výpůjčku vyjdou oba tarify stejně draho?

   Hledáme dobu výpůjčky, při níž mají oba tarify stejnou cenu.

   Označme \(x\) počet hodin výpůjčky.

   \[65x=200+40x\]

   \[25x=200\]

   \[x=8\]

   Oba tarify vyjdou stejně draho při výpůjčce na \(8\) hodin.

   Kontrola: \(65\cdot8=520\) a \(200+40\cdot8=520\).

7. Na vzdělávací platformě si \(114\) studentů zvolilo právě jeden ze dvou kurzů: základní nebo pokročilý. Počet studentů v pokročilém kurzu je o \(18\) menší než dvojnásobek počtu studentů v základním kurzu. Kolik studentů je v každém kurzu?

   Všech \(114\) studentů si zvolilo jeden ze dvou kurzů.

   Označme \(x\) počet studentů v základním kurzu. V pokročilém kurzu je \(2x-18\) studentů.

   \[x+(2x-18)=114\]

   \[3x=132\]

   \[x=44\]

   \[2x-18=70\]

   V základním kurzu je \(44\) studentů a v pokročilém kurzu \(70\) studentů.

   Kontrola: \(44+70=114\) a \(70=2\cdot44-18\).

8. Dva cyklokurýři se vydali proti sobě po přímé trase dlouhé \(64\,\mathrm{km}\). První vyjel z místa A v \(8{:}00\) průměrnou rychlostí \(16\,\mathrm{km\,h^{-1}}\). Druhý vyjel z místa B v \(8{:}30\) průměrnou rychlostí \(12\,\mathrm{km\,h^{-1}}\). V kolik hodin se setkají a jak daleko od místa A?

   První cyklokurýr jede o půl hodiny déle než druhý.

   Označme \(t\) dobu jízdy druhého cyklokurýra v hodinách. První cyklokurýr jede \(t+\frac{1}{2}\) hodiny. Při setkání je součet jejich ujetých vzdáleností \(64\,\mathrm{km}\).

   \[16\left(t+\frac{1}{2}\right)+12t=64\]

   \[28t+8=64\]

   \[t=2\]

   Druhý vyjel v \(8{:}30\), proto se setkají v \(10{:}30\). První cyklokurýr jede \(2{,}5\) hodiny.

   \[s=16\cdot2{,}5=40\]

   Setkají se v \(10{:}30\), ve vzdálenosti \(40\,\mathrm{km}\) od místa A.

   Kontrola: druhý ujede \(12\cdot2=24\,\mathrm{km}\), tedy \(40+24=64\).

9. Organizátoři akce mají několik stejných boxů na propagační brožury. Kdyby do každého boxu rozdělili po \(9\) brožurách, byly by všechny boxy kromě posledního plné a v posledním by zůstalo jen \(5\) brožur. Kdyby do každého boxu dali po \(8\) brožurách, zůstalo by jim \(7\) brožur bez boxu. Kolik mají boxů a kolik brožur?

   Celkový počet brožur můžeme vyjádřit dvěma způsoby podle velikosti boxu.

   Označme \(x\) počet boxů. Při rozdělení po devíti je v prvních \(x-1\) boxech devět brožur a v posledním pět brožur. Při rozdělení po osmi zůstane sedm brožur mimo boxy.

   \[9(x-1)+5=8x+7\]

   \[9x-4=8x+7\]

   \[x=11\]

   \[8\cdot11+7=95\]

   Organizátoři mají \(11\) boxů a \(95\) brožur.

   Kontrola: \(9\cdot10+5=95\) a \(8\cdot11+7=95\).

10. Cena jízdy carsharingem se skládá z nástupního poplatku \(50\,\text{Kč}\) a částky \(14\,\text{Kč}\) za každý ujetý kilometr. Zákazník použil slevový kód, který zlevnil celou vypočtenou cenu o \(10\,\%\), a zaplatil \(360\,\text{Kč}\). Kolik kilometrů ujel?

    Zaplacených \(360\,\text{Kč}\) tvoří \(90\,\%\) původně vypočtené ceny.

    Označme \(x\) počet ujetých kilometrů. Cena před slevou je \(50+14x\).

    \[0{,}9(50+14x)=360\]

    \[50+14x=400\]

    \[14x=350\]

    \[x=25\]

    Zákazník ujel \(25\,\mathrm{km}\).

    Kontrola: \(0{,}9(50+14\cdot25)=0{,}9\cdot400=360\).

11. Na občerstvovací stanici běžeckého závodu je třeba připravit přesně \(10\,\mathrm{l}\) iontového nápoje s koncentrací sacharidů \(6\,\%\). K dispozici je nápoj s koncentrací \(4\,\%\) a nápoj s koncentrací \(9\,\%\). Kolik litrů každého nápoje je třeba smíchat?

    Smícháme \(4\,\%\) a \(9\,\%\) nápoj tak, aby vzniklo \(10\,\mathrm{l}\) nápoje o koncentraci \(6\,\%\).

    Označme \(x\) počet litrů čtyřprocentního nápoje. Devítiprocentního nápoje je potom \(10-x\) litrů. Zapíšeme množství sacharidů v procentech.

    \[4x+9(10-x)=6\cdot10\]

    \[4x+90-9x=60\]

    \[-5x=-30\]

    \[x=6\]

    \[10-x=4\]

    Je třeba smíchat \(6\,\mathrm{l}\) čtyřprocentního a \(4\,\mathrm{l}\) devítiprocentního nápoje.

    Kontrola: \(0{,}04\cdot6+0{,}09\cdot4=0{,}60\,\mathrm{l}\), což je \(6\,\%\) z \(10\,\mathrm{l}\).

12. Dva vodní taxíky vyrazily proti sobě po přímé trase mezi dvěma moly vzdálenými \(40\,\mathrm{km}\). První vyjel v \(9{:}00\), druhý z opačného mola v \(9{:}25\). Setkaly se v \(10{:}40\). První taxík jel průměrně o \(3\,\mathrm{km\,h^{-1}}\) rychleji než druhý. Určete průměrné rychlosti obou taxíků.

    První taxík jede do setkání \(1\,\mathrm{h}\,40\,\mathrm{min}\), druhý \(1\,\mathrm{h}\,15\,\mathrm{min}\).

    Označme \(x\) průměrnou rychlost druhého taxíku v \(\mathrm{km\,h^{-1}}\). První jede rychlostí \(x+3\). Časy převedeme na hodiny: \(\frac{5}{3}\,\mathrm{h}\) a \(\frac{5}{4}\,\mathrm{h}\).

    \[(x+3)\cdot\frac{5}{3}+x\cdot\frac{5}{4}=40\]

    \[20(x+3)+15x=480\]

    \[35x=420\]

    \[x=12\]

    \[x+3=15\]

    Druhý taxík jel rychlostí \(12\,\mathrm{km\,h^{-1}}\), první rychlostí \(15\,\mathrm{km\,h^{-1}}\).

    Kontrola: \(15\cdot\frac{5}{3}+12\cdot\frac{5}{4}=25+15=40\).

13. Na workshop je připraven pevný počet stolů. Kdyby se účastníci rozdělili po šesti ke každému stolu, poslední skupina by měla jen čtyři členy. Kdyby se rozdělili po pěti, po obsazení všech stolů by dva účastníci zůstali bez místa. Kolik bylo stolů a kolik účastníků workshopu?

    Počet účastníků vyjádříme podle obou způsobů rozdělení ke stolům.

    Označme \(x\) počet stolů. Při rozdělení po šesti jsou u prvních \(x-1\) stolů plné skupiny a u posledního jsou čtyři účastníci. Při rozdělení po pěti zbývají dva účastníci bez místa.

    \[6(x-1)+4=5x+2\]

    \[6x-2=5x+2\]

    \[x=4\]

    \[5\cdot4+2=22\]

    Na workshopu byly připraveny \(4\) stoly a přišlo \(22\) účastníků.

    Kontrola: při šesti ke stolu vzniknou skupiny \(6,6,6,4\); při pěti se usadí \(20\) účastníků a \(2\) zůstanou bez místa.

14. Skupina kamarádů si rezervovala únikovou hru za pevnou celkovou cenu, kterou si měli rozdělit rovným dílem. Původně měl každý zaplatit \(160\,\text{Kč}\). Když se přidali ještě čtyři kamarádi, klesla částka na osobu na \(128\,\text{Kč}\). Kolik kamarádů bylo ve skupině původně a jaká byla celková cena hry?

    Celková cena hry je v obou případech stejná.

    Označme \(x\) původní počet kamarádů. Původní celková cena je \(160x\), po přidání čtyř kamarádů je \(128(x+4)\).

    \[160x=128(x+4)\]

    \[160x=128x+512\]

    \[32x=512\]

    \[x=16\]

    \[160\cdot16=2\,560\]

    Původně bylo ve skupině \(16\) kamarádů a celková cena hry byla \(2\,560\,\text{Kč}\).

    Kontrola: po přidání čtyř kamarádů platí \(2\,560:20=128\).

15. V dílně sestavovali stavebnice pro školní kroužky. První den dokončili \(\dfrac{1}{6}\) celkového počtu stavebnic a navíc \(12\) stavebnic. Druhý den dokončili o \(15\) stavebnic méně než \(\dfrac{1}{4}\) celkového počtu. Třetí den dokončili zbývajících \(213\) stavebnic. Kolik stavebnic sestavili celkem?

    Třetí den dokončili vše, co zbývalo po práci prvního a druhého dne.

    Označme \(x\) celkový počet sestavených stavebnic. První den dokončili \(\frac{1}{6}x+12\), druhý den \(\frac{1}{4}x-15\) a třetí den \(213\) stavebnic.

    \[\left(\frac{1}{6}x+12\right)+\left(\frac{1}{4}x-15\right)+213=x\]

    \[\frac{5}{12}x+210=x\]

    \[\frac{7}{12}x=210\]

    \[x=360\]

    Celkem sestavili \(360\) stavebnic.

    Kontrola: první den \(72\), druhý den \(75\) a třetí den \(213\) stavebnic; \(72+75+213=360\).

16. Výrobce sestavuje sady jednoduchých senzorů pro školní pokusy. Materiál na jeden senzor stojí \(68\,\text{Kč}\) a za vytvoření společného programu pro celou zakázku zaplatí jednorázově \(420\,\text{Kč}\). Průměrná cena jednoho senzoru včetně podílu na programu má být \(80\,\text{Kč}\). Kolik senzorů výrobce sestaví?

    Průměrná cena senzoru zahrnuje materiál i rozpočítanou cenu společného programu.

    Označme \(x\) počet senzorů. Celkové náklady jsou \(68x+420\) korun a zároveň mají být \(80x\) korun.

    \[68x+420=80x\]

    \[420=12x\]

    \[x=35\]

    Výrobce sestaví \(35\) senzorů.

    Kontrola: \(\frac{68\cdot35+420}{35}=80\).

17. Mobilní aplikace má zatím určité množství hodnocení s průměrem \(4{,}2\) hvězdičky. Poté získá \(20\) nových hodnocení, z nichž všechna mají \(5\) hvězdiček. Průměrné hodnocení aplikace se tím zvýší na \(4{,}4\) hvězdičky. Kolik hodnocení měla aplikace původně?

    Průměr určíme jako podíl součtu všech hvězdiček a počtu hodnocení.

    Označme \(x\) původní počet hodnocení. Součet jejich hvězdiček je \(4{,}2x\). Po přidání dvaceti pětihvězdičkových hodnocení je součet \(4{,}2x+20\cdot5\) a počet hodnocení \(x+20\).

    \[4{,}2x+20\cdot5=4{,}4(x+20)\]

    \[4{,}2x+100=4{,}4x+88\]

    \[12=0{,}2x\]

    \[x=60\]

    Aplikace měla původně \(60\) hodnocení.

    Kontrola: \(\frac{4{,}2\cdot60+20\cdot5}{60+20}=4{,}4\).

18. Kavárna připravuje vlastní směs ovesných vloček a mandlí. Kilogram vloček stojí \(70\,\text{Kč}\), kilogram mandlí \(130\,\text{Kč}\). Do směsi přidala \(3\,\mathrm{kg}\) mandlí a výsledná směs má cenu \(85\,\text{Kč}\) za kilogram. Kolik kilogramů vloček použila?

    Cena celé směsi je rovna její hmotnosti násobené cenou za kilogram.

    Označme \(x\) hmotnost vloček v kilogramech. Směs má hmotnost \(x+3\) kilogramy.

    \[70x+130\cdot3=85(x+3)\]

    \[70x+390=85x+255\]

    \[135=15x\]

    \[x=9\]

    Kavárna použila \(9\,\mathrm{kg}\) ovesných vloček.

    Kontrola: \(\frac{70\cdot9+130\cdot3}{9+3}=85\).

19. Do velké nádoby se nalévá voda o teplotě \(20^\circ\mathrm{C}\) a voda o teplotě \(80^\circ\mathrm{C}\). Teplejší vody je přesně \(6\,\mathrm{l}\). Kolik litrů chladnější vody je třeba přidat, aby měla výsledná směs teplotu \(35^\circ\mathrm{C}\)? Předpokládejte, že při míchání nedochází k tepelným ztrátám.

    Při míchání bez tepelných ztrát je výsledná teplota váženým průměrem teplot obou objemů vody.

    Označme \(x\) objem chladnější vody v litrech. Celkový objem směsi je \(x+6\) litrů.

    \[20x+80\cdot6=35(x+6)\]

    \[20x+480=35x+210\]

    \[270=15x\]

    \[x=18\]

    Je třeba přidat \(18\,\mathrm{l}\) chladnější vody.

    Kontrola: \(\frac{20\cdot18+80\cdot6}{18+6}=35\).

20. Student cestoval jednu hodinu regionálním vlakem průměrnou rychlostí \(60\,\mathrm{km\,h^{-1}}\). Potom pokračoval na kole průměrnou rychlostí \(15\,\mathrm{km\,h^{-1}}\). Jeho průměrná rychlost za celou cestu byla \(30\,\mathrm{km\,h^{-1}}\). Jak dlouho jel na kole?

    Vlakem student ujede za jednu hodinu \(60\,\mathrm{km}\).

    Označme \(x\) dobu jízdy na kole v hodinách. Na kole ujede \(15x\) kilometrů. Průměrná rychlost je podíl celkové vzdálenosti a celkového času.

    \[60+15x=30(1+x)\]

    \[60+15x=30+30x\]

    \[30=15x\]

    \[x=2\]

    Na kole jel \(2\) hodiny.

    Kontrola: celkem ujede \(60+15\cdot2=90\,\mathrm{km}\) za \(3\) hodiny, tedy průměrnou rychlostí \(30\,\mathrm{km\,h^{-1}}\).

21. Doručovací dodávka jela první část trasy \(3\) hodiny průměrnou rychlostí \(72\,\mathrm{km\,h^{-1}}\). Poté měla \(20\)-minutovou zastávku na nakládku a ve druhé části trasy pokračovala městem průměrnou rychlostí \(36\,\mathrm{km\,h^{-1}}\). Průměrná rychlost za celou cestu od startu do cíle, včetně zastávky, byla \(60\,\mathrm{km\,h^{-1}}\). Jak dlouho jela dodávka ve druhé části trasy?

    Do celkové doby cesty se započítává i dvacetiminutová zastávka.

    Označme \(x\) dobu druhé části jízdy v hodinách. Zastávka trvá \(\frac{1}{3}\) hodiny. V první části dodávka ujede \(3\cdot72=216\,\mathrm{km}\), ve druhé \(36x\,\mathrm{km}\).

    \[216+36x=60\left(3+\frac{1}{3}+x\right)\]

    \[216+36x=200+60x\]

    \[16=24x\]

    \[x=\frac{2}{3}\]

    Dodávka jela ve druhé části \(\frac{2}{3}\,\mathrm{h}\), tedy \(40\) minut.

    Kontrola: ujela \(216+36\cdot\frac{2}{3}=240\,\mathrm{km}\) za \(3+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=4\) hodiny; \(240:4=60\,\mathrm{km\,h^{-1}}\).

22. V anketě o nejlepší studentský krátký film se udělují body od \(0\) do \(10\) po půlbodech. Před opravou bylo započítáno určité množství hodnocení s průměrem \(7{,}25\) bodu. Později se zjistilo, že byly omylem zahrnuty čtyři testovací hlasy s hodnotami \(3\), \(3{,}5\), \(4\) a \(4{,}5\) bodu. Po jejich vyřazení vzrostl průměr na \(7{,}75\) bodu. Kolik hodnocení bylo započítáno před opravou?

    Po vyřazení čtyř testovacích hlasů se zmenší počet hodnocení i jejich celkový součet.

    Označme \(x\) počet hodnocení před opravou. Jejich součet bodů je \(7{,}25x\). Čtyři chybně započítané hlasy mají dohromady \(3+3{,}5+4+4{,}5=15\) bodů, po opravě tedy zůstane \(x-4\) hodnocení.

    \[7{,}25x-15=7{,}75(x-4)\]

    \[7{,}25x-15=7{,}75x-31\]

    \[16=0{,}5x\]

    \[x=32\]

    Před opravou bylo započítáno \(32\) hodnocení.

    Kontrola: po vyřazení zůstane \(28\) hodnocení se součtem \(7{,}25\cdot32-15=217\) bodů a \(\frac{217}{28}=7{,}75\).

* – těžší nebo pracnější úloha

Řešte rovnici a proveďte diskusi řešení:

V každé úloze je \(p\) reálný parametr a \(x\) reálná neznámá. U zlomkových výrazů nejprve určete podmínky jejich smysluplnosti.

1. \((p - 4)x + 2p = 6x - 8\)
2. \(3(p + 1)(x - 2) = (p + 1)(x + 4)\)
3. \(p(x + 3) - 2(x - 1) = (p - 2)(x + 1) + 4\)
4. \(\dfrac{2x - p}{p - 1} = \dfrac{x + 2}{2}\)
5. \(\dfrac{x + p}{p + 2} - \dfrac{x - 2}{p - 2} = 2\)
6. \(\dfrac{(x - 1)(x + p)}{x + p} = p - 2\)
7. \(\dfrac{x + p}{3} + \dfrac{x - p}{p} = 2\)
8. \((x + 2)(x - p) = x^2 + (2 - 2p)x - 6p\)
9. \(\dfrac{(p - 1)x + 2}{p + 2} = \dfrac{x - p}{2}\)
10. \(\dfrac{x - p}{x + p} = \dfrac{p - 1}{p + 1}\)

* – těžší nebo pracnější úloha

Zobrazit řešení 4. sady ›

Určete parametr podle zadané vlastnosti řešení:

1. Určete všechna reálná čísla \(a\), pro která je číslo \(x = 3\) řešením rovnice
   \[(a - 2)x + 4a = 5x - 1\]
2. Určete všechna reálná čísla \(a\), pro která je číslo \(x = -1\) řešením rovnice
   \[\dfrac{x + 3}{a - 1} = \dfrac{2x - 1}{a + 2}\]
3. Určete všechna celá čísla \(a\), pro něž má rovnice
   \[a(x - 2) = 3x + 6\]
   celočíselné řešení. Ke každému takovému \(a\) napište i odpovídající hodnotu \(x\).
4. Najděte všechny dvojice kladných celých čísel \((a, x)\), které vyhovují rovnici
   \[\dfrac{a(x - 1)}{x + 2} = 5\]
5. Určete všechna reálná čísla \(a\), pro která má rovnice
   \[\dfrac{(a - 2)x + 4}{a + 1} = \dfrac{(a - 2)x + 4}{3}\]
   nekonečně mnoho reálných řešení.
6. Určete všechna reálná čísla \(a\), pro která řešení rovnice
   \[(a - 1)x = 2a + 3\]
   náleží do intervalu \(\langle 1; 3\rangle\).
7. Určete všechna celá čísla \(a\), pro která má rovnice
   \[(a + 4)x = 3a - 2\]
   záporné celočíselné řešení.

* – těžší nebo pracnější úloha

Zobrazit řešení 5. sady ›

1. Laboratoř připravuje \(12\,\mathrm{l}\) roztoku o koncentraci \(35\,\%\). Má k dispozici roztok o koncentraci \(20\,\%\) a roztok o koncentraci \(p\,\%\), kde \(p \in (0; 100\rangle\). Určete, kolik litrů roztoku o koncentraci \(p\,\%\) je třeba použít. Dále určete, pro která \(p\) lze výsledný roztok připravit s použitím kladného množství obou roztoků.

   Laboratoř připravuje \(12\,\mathrm{l}\) roztoku o koncentraci \(35\,\%\) ze \(20\,\%\) roztoku a roztoku o koncentraci \(p\,\%\).

   Označme \(y\) počet litrů roztoku o koncentraci \(p\,\%\). Roztoku o koncentraci \(20\,\%\) je potom \(12-y\) litrů. Zapíšeme množství čisté látky v procentech.

   \[py+20(12-y)=35\cdot12\]

   \[(p-20)y=180\]

   Pro \(p=20\) nelze koncentrace \(35\,\%\) dosáhnout. Pro \(p\ne20\) platí:

   \[y=\frac{180}{p-20}\]

   Abychom použili kladné množství obou roztoků, musí být \(0\lt y\lt 12\). To nastane právě tehdy, když \(p\gt 35\).

   Použijeme \(\dfrac{180}{p-20}\,\mathrm{l}\) roztoku o koncentraci \(p\,\%\). Oba roztoky použijeme v kladném množství právě pro \(p\in(35;100\rangle\).

2. Na filmové promítání přišlo \(240\) návštěvníků. Vstupenka pro dospělého stála \(p\,\text{Kč}\) a studentská vstupenka stála o \(40\,\text{Kč}\) méně. Celková tržba činila \(9\,600\,\text{Kč}\). Určete počet dospělých návštěvníků. Pro která přirozená čísla \(p\) větší než \(40\) se promítání zúčastnil alespoň jeden dospělý i alespoň jeden student?

   Na promítání bylo \(240\) návštěvníků, dospělá vstupenka stála \(p\,\text{Kč}\) a studentská \(p-40\,\text{Kč}\).

   Označme \(x\) počet dospělých návštěvníků. Studentů je \(240-x\).

   \[px+(p-40)(240-x)=9\,600\]

   \[40x=19\,200-240p\]

   \[x=480-6p=6(80-p)\]

   Počet studentů je \(240-x=6(p-40)\). Při přirozeném \(p\gt 40\) jsou obě skupiny zastoupeny právě tehdy, když současně \(480-6p\gt 0\).

   Dospělých je \(480-6p\). Alespoň jeden dospělý i student přijde právě pro \(p\in\{41,42,\ldots,79\}\).

3. Tým měl při plánovaném tempu \(p\) souborů za hodinu digitalizovat archiv za \(12\) hodin. Po prvních třech hodinách však zvýšil tempo na \(p+20\) souborů za hodinu a tím dokončil práci dříve. Určete skutečnou dobu práce a zjistěte, o kolik hodin se práce zkrátila. Předpokládejte \(p\gt 0\).

   Tým měl při tempu \(p\) souborů za hodinu pracovat \(12\) hodin, po třech hodinách však tempo zvýšil na \(p+20\).

   Archiv obsahuje \(12p\) souborů. Za první tři hodiny tým zpracuje \(3p\) souborů, takže zbývá \(9p\) souborů.

   \[T=3+\frac{9p}{p+20}\]

   \[T=\frac{12p+60}{p+20}=12-\frac{180}{p+20}\]

   Rozdíl plánované a skutečné doby je:

   \[12-T=\frac{180}{p+20}\]

   Skutečná doba práce je \(T=3+\dfrac{9p}{p+20}\,\mathrm{h}\). Práce se zkrátila o \(\dfrac{180}{p+20}\,\mathrm{h}\).

4. Délka obdélníkového záhonu je \(p\)-krát větší než jeho šířka a rozdíl délky a šířky je \(8\,\mathrm{m}\). Vyjádřete oba rozměry pomocí parametru \(p\) a určete, pro která reálná čísla \(p\) má úloha geometricky smysluplné řešení.

   Délka záhonu je \(p\)-krát větší než šířka a oba rozměry se liší o \(8\,\mathrm{m}\).

   Označme šířku \(s\) a délku \(d\). Platí \(d=ps\) a \(d-s=8\).

   \[ps-s=8\]

   \[(p-1)s=8\]

   \[s=\frac{8}{p-1},\qquad d=\frac{8p}{p-1}\]

   Rozměry musí být kladné a délka musí být větší než šířka, tedy \(p\gt 1\).

   Geometrický smysl má úloha právě pro \(p\gt 1\). Potom je šířka \(\dfrac{8}{p-1}\,\mathrm{m}\) a délka \(\dfrac{8p}{p-1}\,\mathrm{m}\).

5. První dodávka vyjela ze skladu v \(8{:}00\) rychlostí \(54\,\mathrm{km\,h^{-1}}\). Druhá dodávka vyjela stejným směrem po \(p\) minutách rychlostí \(72\,\mathrm{km\,h^{-1}}\). Určete, za jak dlouho od \(8{:}00\) druhá dodávka první dožene a v jaké vzdálenosti od skladu k tomu dojde. Dále určete, pro která \(p\gt 0\) k dojetí dojde dříve, než první dodávka dorazí do cíle vzdáleného \(81\,\mathrm{km}\).

   První dodávka jede od \(8{:}00\) rychlostí \(54\,\mathrm{km\,h^{-1}}\), druhá vyjede po \(p\) minutách rychlostí \(72\,\mathrm{km\,h^{-1}}\).

   Označme \(t\) dobu od \(8{:}00\) v hodinách. Druhá dodávka jede \(t-\dfrac{p}{60}\) hodin. Při dojetí mají obě stejnou ujetou vzdálenost.

   \[54t=72\left(t-\frac{p}{60}\right)\]

   \[t=\frac{p}{15}\,\mathrm{h}=4p\,\mathrm{min}\]

   \[s=54\cdot\frac{p}{15}=\frac{18p}{5}\,\mathrm{km}\]

   První dodávka dojede do cíle za \(\dfrac{81}{54}=\dfrac{3}{2}\) hodiny. Dojetí musí nastat dříve:

   \[\frac{p}{15}\lt \frac{3}{2}\]

   Druhá dodávka dožene první po \(4p\) minutách od \(8{:}00\), ve vzdálenosti \(\dfrac{18p}{5}\,\mathrm{km}\) od skladu. Před cílem k tomu dojde právě pro \(0\lt p\lt 22{,}5\).

* – těžší nebo pracnější úloha

Řešte za předpokladu, že všechny výrazy v zadání mají smysl:

1. \(\left\{\begin{aligned} 2x - 3y &= 17 \\ 4x + y &= 13 \end{aligned}\right.\)
2. \(\left\{\begin{aligned} 3(x - 2) - 2(y + 1) &= 5 \\ 5(x + y) - 3(x - 1) &= 18 \end{aligned}\right.\)
3. \(\left\{\begin{aligned} \dfrac{2x + y}{3} - \dfrac{x - 2y}{4} &= 5 \\ \dfrac{x + 3y}{7} + \dfrac{2x - y}{2} &= 9 \end{aligned}\right.\)
4. \(\left\{\begin{aligned} 0{,}3x + 0{,}2y &= 1{,}3 \\ 0{,}5x - 0{,}15y &= 4{,}1 \end{aligned}\right.\)
5. \(\left\{\begin{aligned} (x + 3)(y - 2) - (x - 1)(y + 4) &= 0 \\ (x - 2)(y + 1) - (x + 4)(y - 2) &= -15 \end{aligned}\right.\)
6. \(\left\{\begin{aligned} (x - 2)^2 + (y + 4)^2 &= x^2 + y^2 + 16 \\ (x + 3)^2 + (y - 1)^2 &= x^2 + y^2 + 46 \end{aligned}\right.\)
7. \(\left\{\begin{aligned} (2x + y + 2) : (x + 2y + 1) &= 5 : 4 \\ (x + 3y + 1) : (2x - y + 3) &= 3 : 2 \end{aligned}\right.\)
8. \(\left\{\begin{aligned} 3(x + 2y) - 2(2x - y) &= 42 \\ 5(x - y) + 2(3x + y) &= -37 \end{aligned}\right.\)
9. \(\left\{\begin{aligned} \dfrac{3x - 2y}{2} + \dfrac{x + y + 2}{3} &= 6 \\ \dfrac{2x + y + 1}{4} - \dfrac{x - 2y + 8}{3} &= 1 \end{aligned}\right.\)
10. \(\left\{\begin{aligned} (x + 4)(y - 3) - (x - 2)(y + 5) &= -2 \\ (2x - 1)(y + 2) - (2x + 3)(y - 1) &= 3 \end{aligned}\right.\)

* – těžší nebo pracnější úloha

Zobrazit řešení 7. sady ›

Předpokládejte, že všechny zlomky a poměry uvedené v zadání mají smysl. Zaveďte nové neznámé (substituce) a řešte:

1. \(\left\{\begin{aligned} \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} &= 7 \\ \dfrac{2}{x} - \dfrac{6}{y} &= 1 \end{aligned}\right.\)
2. \(\left\{\begin{aligned} \dfrac{3}{x + 1} + \dfrac{2}{y - 2} &= 1 \\ \dfrac{6}{x + 1} - \dfrac{4}{y - 2} &= 6 \end{aligned}\right.\)
3. \(\left\{\begin{aligned} \dfrac{6}{2x - y + 1} + \dfrac{11}{x + 3y - 2} &= 2 \\ \dfrac{12}{2x - y + 1} - \dfrac{11}{x + 3y - 2} &= 1 \end{aligned}\right.\)
4. \(\left\{\begin{aligned} \dfrac{3x + y - 2}{4} - \dfrac{x - y + 4}{7} &= 2 \\ \dfrac{2x - 3y + 2}{5} + \dfrac{x + 2y + 3}{2} &= 7 \end{aligned}\right.\)
5. \(\left\{\begin{aligned} (x + 2)^2 - (y - 3)^2 &= x^2 - y^2 + 15 \\ (x - 3)^2 - (y + 1)^2 &= x^2 - y^2 + 6 \end{aligned}\right.\)

* – těžší nebo pracnější úloha

Zobrazit řešení 8. sady ›

1. Ve veřejné knihovně pořídili 22 powerbank. Menší mají kapacitu \(5\,\mathrm{Ah}\), větší \(10\,\mathrm{Ah}\). Součet kapacit všech pořízených powerbank je \(155\,\mathrm{Ah}\). Kolik bylo menších a kolik větších powerbank?

   Ve veřejné knihovně pořídili 22 powerbank. Menší mají kapacitu \(5\,\mathrm{Ah}\), větší \(10\,\mathrm{Ah}\). Součet kapacit všech pořízených powerbank je \(155\,\mathrm{Ah}\). Kolik bylo menších a kolik větších powerbank?

   Označme \(m\) počet menších a \(v\) počet větších powerbank. Jejich celkový počet je \(22\).

   \[m+v=22\]

   Kapacita menší powerbanky je \(5\,\mathrm{Ah}\), větší \(10\,\mathrm{Ah}\), proto součet kapacit vyjádří druhá rovnice.

   \[5m+10v=155\]

   Druhou rovnici vydělíme \(5\) a odečteme první rovnici.

   \[m+2v=31\]

   \[v=9\]

   \[m=22-9=13\]

   Knihovna pořídila 13 menších a 9 větších powerbank.

   Kontrola: \(13+9=22\) a \(5\cdot13+10\cdot9=155\).

2. Klára ujela na kole celkem \(18\,\mathrm{km}\). Po cyklostezce jela stálou rychlostí \(18\,\mathrm{km\,h^{-1}}\), v městském provozu rychlostí \(12\,\mathrm{km\,h^{-1}}\). Celá cesta trvala 70 minut. Kolik kilometrů ujela po cyklostezce a kolik v městském provozu? Předpokládejte, že nezastavovala.

   Klára ujela na kole celkem \(18\,\mathrm{km}\). Po cyklostezce jela stálou rychlostí \(18\,\mathrm{km\,h^{-1}}\), v městském provozu rychlostí \(12\,\mathrm{km\,h^{-1}}\). Celá cesta trvala 70 minut. Kolik kilometrů ujela po cyklostezce a kolik v městském provozu? Předpokládejte, že nezastavovala.

   Označme \(c\) vzdálenost po cyklostezce a \(m\) vzdálenost v městském provozu v kilometrech.

   \[c+m=18\]

   Čas převedeme na hodiny: \(70\,\mathrm{min}=\frac{7}{6}\,\mathrm{h}\). Pro každou část cesty platí \(t=\frac{s}{v}\).

   \[\frac{c}{18}+\frac{m}{12}=\frac{7}{6}\]

   Druhou rovnici vynásobíme \(36\).

   \[2c+3m=42\]

   \[c=18-m\]

   \[2(18-m)+3m=42\]

   \[m=6\]

   \[c=18-6=12\]

   Po cyklostezce ujela \(12\,\mathrm{km}\), v městském provozu \(6\,\mathrm{km}\).

   Kontrola času: \(\frac{12}{18}+\frac{6}{12}=\frac{7}{6}\,\mathrm{h}=70\,\mathrm{min}\).

3. Školní dílna nakoupila 18 kilogramových cívek filamentu do 3D tiskáren. Cívka PLA stála \(310\,\text{Kč}\), cívka PETG \(250\,\text{Kč}\). Celkem dílna zaplatila \(4\,920\,\text{Kč}\). Kolik cívek každého typu koupila?

   Školní dílna nakoupila 18 kilogramových cívek filamentu do 3D tiskáren. Cívka PLA stála \(310\,\text{Kč}\), cívka PETG \(250\,\text{Kč}\). Celkem dílna zaplatila \(4\,920\,\text{Kč}\). Kolik cívek každého typu koupila?

   Označme \(p\) počet cívek PLA a \(g\) počet cívek PETG.

   \[p+g=18\]

   \[310p+250g=4\,920\]

   Druhou rovnici vydělíme \(10\) a do ní dosadíme \(g=18-p\).

   \[31p+25g=492\]

   \[31p+25(18-p)=492\]

   \[6p=42\]

   \[p=7\]

   \[g=18-7=11\]

   Dílna koupila 7 cívek PLA a 11 cívek PETG.

   Kontrola: \(7+11=18\) a \(310\cdot7+250\cdot11=4\,920\).

4. V elektronickém kroužku měřili proud ve dvou paralelních větvích obvodu. Odpory větví byly \(60\,\Omega\) a \(90\,\Omega\), celkový proud byl \(4{,}5\,\mathrm{A}\). Proudy v jednotlivých větvích jsou nepřímo úměrné jejich odporům. Určete proud v každé větvi.

   V elektronickém kroužku měřili proud ve dvou paralelních větvích obvodu. Odpory větví byly \(60\,\Omega\) a \(90\,\Omega\), celkový proud byl \(4{,}5\,\mathrm{A}\). Proudy v jednotlivých větvích jsou nepřímo úměrné jejich odporům. Určete proud v každé větvi.

   Označme \(i_{60}\) proud ve větvi s odporem \(60\,\Omega\) a \(i_{90}\) proud ve větvi s odporem \(90\,\Omega\), v ampérech.

   \[i_{60}+i_{90}=4{,}5\]

   Při nepřímé úměrnosti jsou proudy v opačném poměru než odpory.

   \[i_{60}:i_{90}=90:60=3:2\]

   \[2i_{60}=3i_{90}\]

   \[i_{60}=\frac{3}{2}i_{90}\]

   \[\frac{3}{2}i_{90}+i_{90}=4{,}5\]

   \[i_{90}=1{,}8\]

   \[i_{60}=2{,}7\]

   Ve větvi s odporem \(60\,\Omega\) teče proud \(2{,}7\,\mathrm{A}\), ve větvi s odporem \(90\,\Omega\) proud \(1{,}8\,\mathrm{A}\).

   Kontrola: \(2{,}7+1{,}8=4{,}5\) a \(2{,}7:1{,}8=3:2\).

5. Aplikace pro párování zařízení vygenerovala dvoumístný testovací kód s nenulovými číslicemi. Součet jeho číslic je 11. Po prohození číslic vznikne číslo o 27 větší než původní kód. Určete původní kód.

   Aplikace pro párování zařízení vygenerovala dvoumístný testovací kód s nenulovými číslicemi. Součet jeho číslic je 11. Po prohození číslic vznikne číslo o 27 větší než původní kód. Určete původní kód.

   Označme \(d\) číslici desítek a \(j\) číslici jednotek. Původní kód je \(10d+j\), po prohození \(10j+d\).

   \[d+j=11\]

   \[10j+d=10d+j+27\]

   Druhou rovnici upravíme.

   \[9j-9d=27\]

   \[j-d=3\]

   \[j=d+3\]

   \[d+(d+3)=11\]

   \[d=4\]

   \[j=7\]

   Původní kód je \(47\).

   Kontrola: \(4+7=11\) a \(74-47=27\).

6. V aplikaci pro procvičování zlomků se má zobrazit původní zlomek. Jestliže se k jeho čitateli přičte 1 a od jmenovatele se odečte 1, vznikne zlomek \(\dfrac{2}{3}\). Jestliže se naopak od čitatele odečtou 2 a ke jmenovateli se přičte 5, vznikne zlomek \(\dfrac{3}{8}\). Určete původní zlomek.

   V aplikaci pro procvičování zlomků se má zobrazit původní zlomek. Jestliže se k jeho čitateli přičte 1 a od jmenovatele se odečte 1, vznikne zlomek \(\dfrac{2}{3}\). Jestliže se naopak od čitatele odečtou 2 a ke jmenovateli se přičte 5, vznikne zlomek \(\dfrac{3}{8}\). Určete původní zlomek.

   Označme \(n\) původní čitatel a \(d\) původní jmenovatel.

   \[\frac{n+1}{d-1}=\frac{2}{3}\]

   \[\frac{n-2}{d+5}=\frac{3}{8}\]

   Rovnosti zlomků upravíme křížovým násobením.

   \[3n+3=2d-2\]

   \[8n-16=3d+15\]

   \[3n-2d=-5\]

   \[8n-3d=31\]

   První rovnici vynásobíme \(3\), druhou \(2\).

   \[9n-6d=-15\]

   \[16n-6d=62\]

   \[7n=77\]

   \[n=11\]

   \[3\cdot11-2d=-5\]

   \[d=19\]

   Původní zlomek je \(\dfrac{11}{19}\).

   Kontrola: \(\frac{11+1}{19-1}=\frac{2}{3}\) a \(\frac{11-2}{19+5}=\frac{3}{8}\).

7. Dvě autonomní sekačky při společné práci posečou \(480\,\mathrm{m^2}\) trávníku za hodinu. Při zkoušce první sekačka pracovala 4 hodiny a druhá 7 hodin; dohromady posekaly \(2\,460\,\mathrm{m^2}\). Jakou plochu poseče za hodinu každá z nich?

   Dvě autonomní sekačky při společné práci posečou \(480\,\mathrm{m^2}\) trávníku za hodinu. Při zkoušce první sekačka pracovala 4 hodiny a druhá 7 hodin; dohromady posekaly \(2\,460\,\mathrm{m^2}\). Jakou plochu poseče za hodinu každá z nich?

   Označme \(a\) hodinový výkon první a \(b\) hodinový výkon druhé sekačky v \(\mathrm{m^2\,h^{-1}}\).

   \[a+b=480\]

   \[4a+7b=2\,460\]

   První rovnici vynásobíme \(4\) a odečteme ji od druhé.

   \[4a+4b=1\,920\]

   \[3b=540\]

   \[b=180\]

   \[a=480-180=300\]

   První sekačka poseče \(300\,\mathrm{m^2}\) za hodinu, druhá \(180\,\mathrm{m^2}\) za hodinu.

   Kontrola: \(300+180=480\) a \(4\cdot300+7\cdot180=2\,460\).

8. Na školním hackathonu bylo objednáno 28 hotových jídel. Zeleninová miska stála \(170\,\text{Kč}\) a teplý wrap \(230\,\text{Kč}\). Za všechny objednávky se zaplatilo \(5\,420\,\text{Kč}\). Kolik bylo objednáno misek a kolik wrapů?

   Na školním hackathonu bylo objednáno 28 hotových jídel. Zeleninová miska stála \(170\,\text{Kč}\) a teplý wrap \(230\,\text{Kč}\). Za všechny objednávky se zaplatilo \(5\,420\,\text{Kč}\). Kolik bylo objednáno misek a kolik wrapů?

   Označme \(m\) počet misek a \(w\) počet wrapů.

   \[m+w=28\]

   \[170m+230w=5\,420\]

   Druhou rovnici vydělíme \(10\) a do ní dosadíme \(m=28-w\).

   \[17m+23w=542\]

   \[17(28-w)+23w=542\]

   \[6w=66\]

   \[w=11\]

   \[m=28-11=17\]

   Bylo objednáno 17 zeleninových misek a 11 wrapů.

   Kontrola: \(17+11=28\) a \(170\cdot17+230\cdot11=5\,420\).

9. Pro hydroponický experiment bylo potřeba připravit 20 litrů živného roztoku o koncentraci \(20\,\%\). K dispozici byly roztoky o koncentraci \(12\,\%\) a \(32\,\%\). Kolik litrů každého roztoku bylo třeba smíchat? Předpokládejte, že objemy se sčítají.

   Pro hydroponický experiment bylo potřeba připravit 20 litrů živného roztoku o koncentraci \(20\,\%\). K dispozici byly roztoky o koncentraci \(12\,\%\) a \(32\,\%\). Kolik litrů každého roztoku bylo třeba smíchat? Předpokládejte, že objemy se sčítají.

   Označme \(x\) objem dvanáctiprocentního a \(y\) objem dvaatřicetiprocentního roztoku v litrech.

   \[x+y=20\]

   Čistá živná složka tvoří \(12\,\%\) z \(x\), \(32\,\%\) z \(y\) a ve výsledku \(20\,\%\) z \(20\,\mathrm{l}\).

   \[0{,}12x+0{,}32y=4\]

   Druhou rovnici vynásobíme \(100\).

   \[12x+32y=400\]

   První rovnici vynásobíme \(12\) a odečteme ji.

   \[12x+12y=240\]

   \[20y=160\]

   \[y=8\]

   \[x=20-8=12\]

   Je třeba smíchat \(12\,\mathrm{l}\) dvanáctiprocentního a \(8\,\mathrm{l}\) dvaatřicetiprocentního roztoku.

   Kontrola: \(12+8=20\) a \(0{,}12\cdot12+0{,}32\cdot8=4\).

10. Dva cloudové servery společně dokončí stejnou úlohu renderování videa za 18 hodin. Při jiném běhu pracovaly oba servery prvních 15 hodin, potom se druhý server odpojil a první server dokončil zbývající část úlohy za \(7{,}5\) hodiny. Za jak dlouho by úlohu dokončil každý server samostatně?

    Dva cloudové servery společně dokončí stejnou úlohu renderování videa za 18 hodin. Při jiném běhu pracovaly oba servery prvních 15 hodin, potom se druhý server odpojil a první server dokončil zbývající část úlohy za \(7{,}5\) hodiny. Za jak dlouho by úlohu dokončil každý server samostatně?

    Celou úlohu označme \(1\). Označme \(a\) hodinovou část práce prvního a \(b\) hodinovou část práce druhého serveru.

    Společně za hodinu vykonají \(\frac{1}{18}\) celé úlohy.

    \[a+b=\frac{1}{18}\]

    Za prvních 15 hodin vykonaly oba servery část \(\frac{15}{18}=\frac{5}{6}\). První server pak sám vykonal zbývající \(\frac{1}{6}\) úlohy za \(7{,}5\) hodiny.

    \[7{,}5a=\frac{1}{6}\]

    \[a=\frac{1}{45}\]

    \[b=\frac{1}{18}-\frac{1}{45}\]

    \[b=\frac{1}{30}\]

    Samostatný čas je převrácená hodnota hodinového výkonu.

    \[\frac{1}{a}=45\]

    \[\frac{1}{b}=30\]

    První server by úlohu dokončil za \(45\,\mathrm{h}\), druhý server za \(30\,\mathrm{h}\).

    Kontrola: \(\frac{1}{45}+\frac{1}{30}=\frac{1}{18}\) a \(15\cdot\frac{1}{18}+7{,}5\cdot\frac{1}{45}=1\).

11. Aktivní plocha displeje prototypu elektronické čtečky má tvar obdélníku. V prvním samostatném návrhu se šířka zvětší o \(2\,\mathrm{cm}\) a výška o \(1\,\mathrm{cm}\); plocha se tím zvětší o \(62\,\mathrm{cm^2}\). Ve druhém samostatném návrhu se šířka zmenší o \(1\,\mathrm{cm}\) a výška zvětší o \(3\,\mathrm{cm}\); plocha se zvětší o \(51\,\mathrm{cm^2}\). Určete původní rozměry displeje.

    Aktivní plocha displeje prototypu elektronické čtečky má tvar obdélníku. V prvním samostatném návrhu se šířka zvětší o \(2\,\mathrm{cm}\) a výška o \(1\,\mathrm{cm}\); plocha se tím zvětší o \(62\,\mathrm{cm^2}\). Ve druhém samostatném návrhu se šířka zmenší o \(1\,\mathrm{cm}\) a výška zvětší o \(3\,\mathrm{cm}\); plocha se zvětší o \(51\,\mathrm{cm^2}\). Určete původní rozměry displeje.

    Označme \(s\) původní šířku a \(v\) původní výšku displeje v centimetrech. Původní plocha je \(sv\).

    V prvním návrhu je přírůstek plochy:

    \[(s+2)(v+1)-sv=62\]

    \[s+2v+2=62\]

    \[s+2v=60\]

    Ve druhém návrhu obdobně:

    \[(s-1)(v+3)-sv=51\]

    \[3s-v-3=51\]

    \[3s-v=54\]

    Z druhé rovnice vyjádříme \(v=3s-54\) a dosadíme do první.

    \[s+2(3s-54)=60\]

    \[7s=168\]

    \[s=24\]

    \[v=3\cdot24-54=18\]

    Původní šířka displeje byla \(24\,\mathrm{cm}\) a výška \(18\,\mathrm{cm}\).

    Kontrola: \(26\cdot19-24\cdot18=62\) a \(23\cdot21-24\cdot18=51\).

12. Malý tým platí za dvě online softwarové služby celkem \(4\,000\,\text{Kč}\) měsíčně. Po změně ceníku se první služba zdražila o \(12\,\%\) a druhá zlevnila o \(8\,\%\); tým pak platí celkem \(4\,170\,\text{Kč}\) měsíčně. Kolik stála každá služba před změnou ceníku?

    Malý tým platí za dvě online softwarové služby celkem \(4\,000\,\text{Kč}\) měsíčně. Po změně ceníku se první služba zdražila o \(12\,\%\) a druhá zlevnila o \(8\,\%\); tým pak platí celkem \(4\,170\,\text{Kč}\) měsíčně. Kolik stála každá služba před změnou ceníku?

    Označme \(x\) původní cenu první a \(y\) původní cenu druhé služby v korunách.

    \[x+y=4\,000\]

    Po změně stojí první služba \(1{,}12x\), druhá \(0{,}92y\).

    \[1{,}12x+0{,}92y=4\,170\]

    První rovnici vynásobíme \(0{,}92\) a odečteme ji od druhé.

    \[0{,}92x+0{,}92y=3\,680\]

    \[0{,}20x=490\]

    \[x=2\,450\]

    \[y=4\,000-2\,450=1\,550\]

    Před změnou stála první služba \(2\,450\,\text{Kč}\) a druhá \(1\,550\,\text{Kč}\) měsíčně.

    Kontrola: \(1{,}12\cdot2\,450+0{,}92\cdot1\,550=4\,170\).

* – těžší nebo pracnější úloha

Řešte za předpokladu, že všechny výrazy v zadání mají smysl:

1. \(\left\{\begin{aligned} a + b &= 18 \\ a + c &= 15 \\ b + c &= 7 \end{aligned}\right.\)
2. \(\left\{\begin{aligned} p - q &= 9 \\ 2q + r &= 1 \\ p + r &= 13 \end{aligned}\right.\)
3. \(\left\{\begin{aligned} 2k + l + m &= 11 \\ k - 3l + 2m &= 20 \\ 3k + 2l - m &= 3 \end{aligned}\right.\)
4. \(\left\{\begin{aligned} u + v + w &= 11 \\ 2u - v + 3w &= 8 \\ 3u + 2v - w &= 37 \end{aligned}\right.\)
5. \(\left\{\begin{aligned} 2(r + s) - t &= 3 \\ 3r - (s - t) &= -4 \\ r + 2s + 3t &= 16 \end{aligned}\right.\)
6. \(\left\{\begin{aligned} \dfrac{a + b}{2} + \dfrac{2c - b}{4} &= 3 \\ \dfrac{3a - c}{3} + b + c &= 8 \\ \dfrac{a + b + c}{7} + \dfrac{a - b - c}{3} &= 4 \end{aligned}\right.\)
7. \(\left\{\begin{aligned} 0{,}2g + 0{,}3h + 0{,}1j &= 0 \\ 0{,}5g - 0{,}2h + 0{,}4j &= 4{,}7 \\ 0{,}3g + 0{,}1h - 0{,}5j &= -2{,}5 \end{aligned}\right.\)
8. \(\left\{\begin{aligned} (p + 3q + r) : (p - q + 1) &= 3 : 8 \\ (2p - q + r) : (p + q - r + 9) &= 2 : 1 \\ (p - 2q + r) : (p + q + r + 6) &= 1 : 1 \end{aligned}\right.\)
9. \(\left\{\begin{aligned} k + 2l - m &= 17 \\ 2k - l + 3m &= -6 \\ 3k + l + m &= 12 \end{aligned}\right.\)
10. \(\left\{\begin{aligned} (m + 3)(n - 2) - (m - 1)(n + 4) &= -30 \\ (n + 2)(p - 1) - (n - 3)(p + 4) &= 40 \\ (p + 1)(m - 2) - (p - 4)(m + 3) &= 5 \end{aligned}\right.\)
11. \(\left\{\begin{aligned} (r + 1)^2 + (s - 2)^2 + t^2 &= r^2 + s^2 + t^2 - 19 \\ r^2 + (s + 2)^2 + (t - 3)^2 &= r^2 + s^2 + t^2 + 47 \\ (r - 4)^2 + s^2 + (t + 1)^2 &= r^2 + s^2 + t^2 - 1 \end{aligned}\right.\)
12. \(\left\{\begin{aligned} \dfrac{k + l + m}{7} + \dfrac{2k + l - m}{5} &= 2 \\ \dfrac{k - 2l + m}{4} + k + l - m &= 3 \\ 3k - 2l + m &= 28 \end{aligned}\right.\)

* – těžší nebo pracnější úloha

Zobrazit řešení 10. sady ›

Předpokládejte, že všechny zlomky a poměry uvedené v zadání mají smysl. Zaveďte nové neznámé (substituce) a řešte:

1. \(\left\{\begin{aligned} \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} &= 4 \\ \dfrac{2}{a} - \dfrac{3}{b} + \dfrac{1}{c} &= 10 \\ \dfrac{3}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{2}{c} &= -1 \end{aligned}\right.\)
2. \(\left\{\begin{aligned} \dfrac{3}{p + 1} + \dfrac{2}{q - 2} + \dfrac{4}{r + 3} &= 1 \\ \dfrac{6}{p + 1} - \dfrac{4}{q - 2} + \dfrac{8}{r + 3} &= 6 \\ \dfrac{9}{p + 1} + \dfrac{6}{q - 2} - \dfrac{4}{r + 3} &= -1 \end{aligned}\right.\)
3. \(\left\{\begin{aligned} \dfrac{6}{a + b + 1} + \dfrac{4}{a - 2b - 5} + \dfrac{3}{a + b - c} &= 4 \\ \dfrac{2}{a + b + 1} - \dfrac{6}{a - 2b - 5} + \dfrac{3}{a + b - c} &= -3 \\ \dfrac{4}{a + b + 1} + \dfrac{2}{a - 2b - 5} - \dfrac{6}{a + b - c} &= 5 \end{aligned}\right.\)

* – těžší nebo pracnější úloha

Zobrazit řešení 11. sady ›

1. V opravárenské dílně třídí 45 USB-C kabelů dlouhých \(1\,\mathrm{m}\), \(2\,\mathrm{m}\) a \(4\,\mathrm{m}\). Celková délka všech kabelů je \(110\,\mathrm{m}\). Kabelů dlouhých \(4\,\mathrm{m}\) je o 4 více než kabelů dlouhých \(1\,\mathrm{m}\). Kolik kabelů každé délky má dílna?

   V opravárenské dílně třídí 45 USB-C kabelů dlouhých \(1\,\mathrm{m}\), \(2\,\mathrm{m}\) a \(4\,\mathrm{m}\). Celková délka všech kabelů je \(110\,\mathrm{m}\). Kabelů dlouhých \(4\,\mathrm{m}\) je o 4 více než kabelů dlouhých \(1\,\mathrm{m}\). Kolik kabelů každé délky má dílna?

   Označme \(x\), \(y\) a \(z\) postupně počty kabelů dlouhých \(1\,\mathrm{m}\), \(2\,\mathrm{m}\) a \(4\,\mathrm{m}\).

   \[x+y+z=45\]

   \[x+2y+4z=110\]

   \[z=x+4\]

   Dosadíme poslední vztah do první rovnice.

   \[x+y+x+4=45\]

   \[y=41-2x\]

   Dosadíme do rovnice pro celkovou délku.

   \[x+2(41-2x)+4(x+4)=110\]

   \[x=12\]

   \[y=41-2\cdot12=17\]

   \[z=12+4=16\]

   Dílna má 12 kabelů dlouhých \(1\,\mathrm{m}\), 17 kabelů dlouhých \(2\,\mathrm{m}\) a 16 kabelů dlouhých \(4\,\mathrm{m}\).

   Kontrola: \(12+17+16=45\), \(12+2\cdot17+4\cdot16=110\) a \(16=12+4\).

2. Skupina si na vzdělávací platformě koupila celkem 28 přístupů: jednodenní za \(49\,\text{Kč}\), studentské měsíční za \(119\,\text{Kč}\) a běžné měsíční za \(169\,\text{Kč}\). Celkem zaplatila \(3\,102\,\text{Kč}\). Studentských měsíčních přístupů bylo o 3 více než běžných měsíčních. Kolik přístupů každého typu skupina koupila?

   Skupina si na vzdělávací platformě koupila celkem 28 přístupů: jednodenní za \(49\,\text{Kč}\), studentské měsíční za \(119\,\text{Kč}\) a běžné měsíční za \(169\,\text{Kč}\). Celkem zaplatila \(3\,102\,\text{Kč}\). Studentských měsíčních přístupů bylo o 3 více než běžných měsíčních. Kolik přístupů každého typu skupina koupila?

   Označme \(d\) počet jednodenních, \(s\) počet studentských měsíčních a \(b\) počet běžných měsíčních přístupů.

   \[d+s+b=28\]

   \[49d+119s+169b=3\,102\]

   \[s=b+3\]

   Dosadíme \(s=b+3\) do první rovnice.

   \[d+2b+3=28\]

   \[d=25-2b\]

   Dosadíme obě vyjádření do rovnice pro cenu.

   \[49(25-2b)+119(b+3)+169b=3\,102\]

   \[190b=1\,520\]

   \[b=8\]

   \[s=8+3=11\]

   \[d=25-2\cdot8=9\]

   Skupina koupila 9 jednodenních, 11 studentských měsíčních a 8 běžných měsíčních přístupů.

   Kontrola: \(9+11+8=28\) a \(49\cdot9+119\cdot11+169\cdot8=3\,102\).

3. Cyklistka ujela celkem \(19\,\mathrm{km}\). Po cyklostezce jela rychlostí \(20\,\mathrm{km\,h^{-1}}\), po městských ulicích rychlostí \(15\,\mathrm{km\,h^{-1}}\) a po dlážděném úseku rychlostí \(12\,\mathrm{km\,h^{-1}}\). Cesta trvala přesně 1 hodinu a 12 minut. Po městských ulicích ujela o \(3\,\mathrm{km}\) více než po dlážděném úseku. Kolik kilometrů ujela na jednotlivých typech trasy? Předpokládejte, že nezastavovala.

   Cyklistka ujela celkem \(19\,\mathrm{km}\). Po cyklostezce jela rychlostí \(20\,\mathrm{km\,h^{-1}}\), po městských ulicích rychlostí \(15\,\mathrm{km\,h^{-1}}\) a po dlážděném úseku rychlostí \(12\,\mathrm{km\,h^{-1}}\). Cesta trvala přesně 1 hodinu a 12 minut. Po městských ulicích ujela o \(3\,\mathrm{km}\) více než po dlážděném úseku. Kolik kilometrů ujela na jednotlivých typech trasy? Předpokládejte, že nezastavovala.

   Označme \(c\) vzdálenost po cyklostezce, \(m\) vzdálenost po městských ulicích a \(d\) vzdálenost po dlážděném úseku v kilometrech.

   \[c+m+d=19\]

   Čas cesty je \(1\,\mathrm{h}+12\,\mathrm{min}=\frac{6}{5}\,\mathrm{h}\). Součet časů jednotlivých úseků je tedy:

   \[\frac{c}{20}+\frac{m}{15}+\frac{d}{12}=\frac{6}{5}\]

   \[m=d+3\]

   Rovnici pro čas vynásobíme \(60\).

   \[3c+4m+5d=72\]

   Z první rovnice po dosazení \(m=d+3\) vyjádříme \(c\).

   \[c+2d+3=19\]

   \[c=16-2d\]

   \[3(16-2d)+4(d+3)+5d=72\]

   \[3d=12\]

   \[d=4\]

   \[m=4+3=7\]

   \[c=16-2\cdot4=8\]

   Po cyklostezce ujela \(8\,\mathrm{km}\), po městských ulicích \(7\,\mathrm{km}\) a po dlážděném úseku \(4\,\mathrm{km}\).

   Kontrola: \(8+7+4=19\) a \(\frac{8}{20}+\frac{7}{15}+\frac{4}{12}=\frac{6}{5}\,\mathrm{h}\).

4. Pro hydroponický experiment bylo třeba připravit \(90\,\mathrm{l}\) živného roztoku. Použily se roztoky o koncentraci \(10\,\%\), \(20\,\%\) a \(30\,\%\). Ve výsledné směsi bylo celkem \(19{,}2\,\mathrm{l}\) čisté živné složky a \(20\%\) roztoku bylo použito o \(12\,\mathrm{l}\) více než \(30\%\) roztoku. Kolik litrů každého roztoku bylo smícháno? Předpokládejte, že objemy se sčítají.

   Pro hydroponický experiment bylo třeba připravit \(90\,\mathrm{l}\) živného roztoku. Použily se roztoky o koncentraci \(10\,\%\), \(20\,\%\) a \(30\,\%\). Ve výsledné směsi bylo celkem \(19{,}2\,\mathrm{l}\) čisté živné složky a \(20\%\) roztoku bylo použito o \(12\,\mathrm{l}\) více než \(30\%\) roztoku. Kolik litrů každého roztoku bylo smícháno? Předpokládejte, že objemy se sčítají.

   Označme \(x\), \(y\) a \(z\) objemy desetiprocentního, dvacetiprocentního a třicetiprocentního roztoku v litrech.

   \[x+y+z=90\]

   \[0{,}1x+0{,}2y+0{,}3z=19{,}2\]

   \[y=z+12\]

   Rovnici pro čistou složku vynásobíme \(10\).

   \[x+2y+3z=192\]

   Dosadíme \(y=z+12\) do rovnice pro celkový objem.

   \[x+2z+12=90\]

   \[x=78-2z\]

   \[(78-2z)+2(z+12)+3z=192\]

   \[3z=90\]

   \[z=30\]

   \[y=30+12=42\]

   \[x=78-2\cdot30=18\]

   Bylo smícháno \(18\,\mathrm{l}\) desetiprocentního, \(42\,\mathrm{l}\) dvacetiprocentního a \(30\,\mathrm{l}\) třicetiprocentního roztoku.

   Kontrola: \(18+42+30=90\) a \(0{,}1\cdot18+0{,}2\cdot42+0{,}3\cdot30=19{,}2\).

5. V malé serverovně pracovalo 17 renderovacích uzlů ve třech režimech: úsporném, běžném a výkonném. Uzly v těchto režimech spotřebovávají \(180\,\mathrm{W}\), \(270\,\mathrm{W}\) a \(420\,\mathrm{W}\). Celkový příkon byl \(4{,}74\,\mathrm{kW}\) a uzlů v běžném režimu bylo o 4 více než uzlů ve výkonném režimu. Kolik uzlů pracovalo v každém režimu?

   V malé serverovně pracovalo 17 renderovacích uzlů ve třech režimech: úsporném, běžném a výkonném. Uzly v těchto režimech spotřebovávají \(180\,\mathrm{W}\), \(270\,\mathrm{W}\) a \(420\,\mathrm{W}\). Celkový příkon byl \(4{,}74\,\mathrm{kW}\) a uzlů v běžném režimu bylo o 4 více než uzlů ve výkonném režimu. Kolik uzlů pracovalo v každém režimu?

   Označme \(u\), \(b\) a \(v\) počty uzlů v úsporném, běžném a výkonném režimu. Celkový příkon převedeme: \(4{,}74\,\mathrm{kW}=4\,740\,\mathrm{W}\).

   \[u+b+v=17\]

   \[180u+270b+420v=4\,740\]

   \[b=v+4\]

   Rovnici pro příkon vydělíme \(30\).

   \[6u+9b+14v=158\]

   Dosadíme \(b=v+4\) do rovnice pro počet uzlů.

   \[u+2v+4=17\]

   \[u=13-2v\]

   \[6(13-2v)+9(v+4)+14v=158\]

   \[11v=44\]

   \[v=4\]

   \[b=4+4=8\]

   \[u=13-2\cdot4=5\]

   V úsporném režimu pracovalo 5 uzlů, v běžném 8 uzlů a ve výkonném 4 uzly.

   Kontrola: \(5+8+4=17\) a \(180\cdot5+270\cdot8+420\cdot4=4\,740\,\mathrm{W}\).

6. Ve virtuální běžecké štafetě organizátoři zaznamenali, že první a druhý běžec uběhli dohromady \(31\,\mathrm{km}\), druhý a třetí dohromady \(36\,\mathrm{km}\) a první a třetí dohromady \(29\,\mathrm{km}\). Kolik kilometrů uběhl každý z běžců?

   Ve virtuální běžecké štafetě organizátoři zaznamenali, že první a druhý běžec uběhli dohromady \(31\,\mathrm{km}\), druhý a třetí dohromady \(36\,\mathrm{km}\) a první a třetí dohromady \(29\,\mathrm{km}\). Kolik kilometrů uběhl každý z běžců?

   Označme \(a\), \(b\) a \(c\) vzdálenosti prvního, druhého a třetího běžce v kilometrech.

   \[a+b=31\]

   \[b+c=36\]

   \[a+c=29\]

   Sečteme první a třetí rovnici a odečteme druhou. Získáme \(2a\).

   \[(a+b)+(a+c)-(b+c)=31+29-36\]

   \[2a=24\]

   \[a=12\]

   \[b=31-12=19\]

   \[c=29-12=17\]

   První běžec uběhl \(12\,\mathrm{km}\), druhý \(19\,\mathrm{km}\) a třetí \(17\,\mathrm{km}\).

   Kontrola: \(12+19=31\), \(19+17=36\) a \(12+17=29\).

7. Při úpravě obrázku jsou původní hodnoty barevných kanálů R, G a B neznámé. Všechna následující porovnání vycházejí vždy z původního nastavení. Po snížení hodnot R a G o 20 jednotek jsou jejich nové hodnoty v poměru \(3 : 4\). Po snížení R o 10 jednotek a B o 20 jednotek jsou nové hodnoty v poměru \(7 : 12\). Po zvýšení G o 20 jednotek a B o 10 jednotek jsou nové hodnoty v poměru \(4 : 5\). Určete původní hodnoty R, G a B.

   Při úpravě obrázku jsou původní hodnoty barevných kanálů R, G a B neznámé. Všechna následující porovnání vycházejí vždy z původního nastavení. Po snížení hodnot R a G o 20 jednotek jsou jejich nové hodnoty v poměru \(3 : 4\). Po snížení R o 10 jednotek a B o 20 jednotek jsou nové hodnoty v poměru \(7 : 12\). Po zvýšení G o 20 jednotek a B o 10 jednotek jsou nové hodnoty v poměru \(4 : 5\). Určete původní hodnoty R, G a B.

   Označme původní hodnoty kanálů \(R\), \(G\) a \(B\) stejnými písmeny. Poměry zapíšeme křížovým násobením.

   \[4(R-20)=3(G-20)\]

   \[12(R-10)=7(B-20)\]

   \[5(G+20)=4(B+10)\]

   \[4R-3G=20\]

   \[12R-7B=-20\]

   \[5G-4B=-60\]

   Z prvních dvou rovnic vyjádříme \(G\) a \(B\) pomocí \(R\).

   \[G=\frac{4R-20}{3}\]

   \[B=\frac{12R+20}{7}\]

   Dosadíme do třetí zjednodušené rovnice a vynásobíme \(21\).

   \[5\left(\frac{4R-20}{3}\right)-4\left(\frac{12R+20}{7}\right)=-60\]

   \[35(4R-20)-12(12R+20)=-1\,260\]

   \[-4R-940=-1\,260\]

   \[R=80\]

   \[G=\frac{4\cdot80-20}{3}=100\]

   \[B=\frac{12\cdot80+20}{7}=140\]

   Původní hodnoty barevných kanálů jsou \(R=80\), \(G=100\) a \(B=140\).

   Kontrola: \(60:80=3:4\), \(70:120=7:12\) a \(120:150=4:5\).

8. Tři autonomní balicí roboty A, B a C pracují stálou rychlostí. V prvním samostatném testu pracovaly \(6\,\mathrm{minut}\), \(4\,\mathrm{minuty}\) a \(2\,\mathrm{minuty}\) a dohromady zabalily 110 zásilek. Ve druhém testu pracovaly \(3\,\mathrm{minuty}\), \(7\,\mathrm{minut}\) a \(4\,\mathrm{minuty}\) a zabalily 105 zásilek. Ve třetím testu pracovaly \(5\,\mathrm{minut}\), \(2\,\mathrm{minuty}\) a \(6\,\mathrm{minut}\) a zabalily 104 zásilek. Kolik zásilek zabalí každý robot za minutu?

   Tři autonomní balicí roboty A, B a C pracují stálou rychlostí. V prvním samostatném testu pracovaly \(6\,\mathrm{minut}\), \(4\,\mathrm{minuty}\) a \(2\,\mathrm{minuty}\) a dohromady zabalily 110 zásilek. Ve druhém testu pracovaly \(3\,\mathrm{minuty}\), \(7\,\mathrm{minut}\) a \(4\,\mathrm{minuty}\) a zabalily 105 zásilek. Ve třetím testu pracovaly \(5\,\mathrm{minut}\), \(2\,\mathrm{minuty}\) a \(6\,\mathrm{minut}\) a zabalily 104 zásilek. Kolik zásilek zabalí každý robot za minutu?

   Označme \(a\), \(b\) a \(c\) počty zásilek, které za minutu zabalí roboty A, B a C.

   \[6a+4b+2c=110\]

   \[3a+7b+4c=105\]

   \[5a+2b+6c=104\]

   První rovnici vydělíme \(2\) a vyjádříme \(c\).

   \[3a+2b+c=55\]

   \[c=55-3a-2b\]

   Dosadíme do druhé a třetí rovnice.

   \[9a+b=115\]

   \[13a+10b=226\]

   \[b=115-9a\]

   \[13a+10(115-9a)=226\]

   \[-77a=-924\]

   \[a=12\]

   \[b=115-9\cdot12=7\]

   \[c=55-3\cdot12-2\cdot7=5\]

   Robot A zabalí 12 zásilek za minutu, robot B 7 zásilek za minutu a robot C 5 zásilek za minutu.

   Kontrola: \(6\cdot12+4\cdot7+2\cdot5=110\), \(3\cdot12+7\cdot7+4\cdot5=105\) a \(5\cdot12+2\cdot7+6\cdot5=104\).

9. Rozvozová aplikace nabízí proteinové smoothie, teplý wrap a ledový čaj. Bez započítání dopravy stály tři objednávky postupně: \(2\) smoothie, \(1\) wrap a \(1\) čaj za \(318\,\text{Kč}\); \(1\) smoothie, \(2\) wrapy a \(2\) čaje za \(399\,\text{Kč}\); \(3\) smoothie, \(1\) wrap a \(3\) čaje za \(487\,\text{Kč}\). Určete cenu jednotlivých položek.

   Rozvozová aplikace nabízí proteinové smoothie, teplý wrap a ledový čaj. Bez započítání dopravy stály tři objednávky postupně: \(2\) smoothie, \(1\) wrap a \(1\) čaj za \(318\,\text{Kč}\); \(1\) smoothie, \(2\) wrapy a \(2\) čaje za \(399\,\text{Kč}\); \(3\) smoothie, \(1\) wrap a \(3\) čaje za \(487\,\text{Kč}\). Určete cenu jednotlivých položek.

   Označme \(s\) cenu smoothie, \(w\) cenu wrapu a \(t\) cenu čaje v korunách.

   \[2s+w+t=318\]

   \[s+2w+2t=399\]

   \[3s+w+3t=487\]

   Z první rovnice vyjádříme \(w\).

   \[w=318-2s-t\]

   Dosadíme do druhé rovnice.

   \[s+2(318-2s-t)+2t=399\]

   \[-3s=-237\]

   \[s=79\]

   \[w=160-t\]

   Dosadíme do třetí rovnice.

   \[3\cdot79+(160-t)+3t=487\]

   \[2t=90\]

   \[t=45\]

   \[w=160-45=115\]

   Smoothie stojí \(79\,\text{Kč}\), wrap \(115\,\text{Kč}\) a čaj \(45\,\text{Kč}\).

   Kontrola: \(2\cdot79+115+45=318\), \(79+2\cdot115+2\cdot45=399\) a \(3\cdot79+115+3\cdot45=487\).

10. Prototyp ochranného pouzdra má tvar kvádru. Ve všech následujících případech se rozměry mění vždy oproti původnímu pouzdru. Zvýší-li se délka o \(1\,\mathrm{cm}\) a šířka o \(2\,\mathrm{cm}\), zatímco výška se nezmění, zvětší se celkový povrch o \(130\,\mathrm{cm^2}\). Zmenší-li se délka o \(2\,\mathrm{cm}\), zvětší šířka o \(1\,\mathrm{cm}\) a výška o \(2\,\mathrm{cm}\), zvětší se povrch o \(90\,\mathrm{cm^2}\). Zvýší-li se délka o \(2\,\mathrm{cm}\), zmenší šířka o \(1\,\mathrm{cm}\) a zvětší výška o \(1\,\mathrm{cm}\), zvětší se povrch o \(80\,\mathrm{cm^2}\). Určete původní rozměry pouzdra.

    Prototyp ochranného pouzdra má tvar kvádru. Ve všech následujících případech se rozměry mění vždy oproti původnímu pouzdru. Zvýší-li se délka o \(1\,\mathrm{cm}\) a šířka o \(2\,\mathrm{cm}\), zatímco výška se nezmění, zvětší se celkový povrch o \(130\,\mathrm{cm^2}\). Zmenší-li se délka o \(2\,\mathrm{cm}\), zvětší šířka o \(1\,\mathrm{cm}\) a výška o \(2\,\mathrm{cm}\), zvětší se povrch o \(90\,\mathrm{cm^2}\). Zvýší-li se délka o \(2\,\mathrm{cm}\), zmenší šířka o \(1\,\mathrm{cm}\) a zvětší výška o \(1\,\mathrm{cm}\), zvětší se povrch o \(80\,\mathrm{cm^2}\). Určete původní rozměry pouzdra.

    Označme \(d\) délku, \(s\) šířku a \(v\) výšku původního pouzdra v centimetrech. Povrch kvádru je \(P=2(ds+dv+sv)\).

    Po dosazení změněných rozměrů do vzorce pro povrch, odečtení původního povrchu a vydělení rozdílu dvěma získáme tři rovnice.

    \[2d+s+3v=63\]

    \[3d-v=49\]

    \[3s+v=41\]

    Z druhé rovnice vyjádříme \(v=3d-49\). Třetí rovnice pak určí \(s\).

    \[3s+3d-49=41\]

    \[s=30-d\]

    Dosadíme obě vyjádření do první rovnice.

    \[2d+(30-d)+3(3d-49)=63\]

    \[10d=180\]

    \[d=18\]

    \[s=30-18=12\]

    \[v=3\cdot18-49=5\]

    Původní rozměry pouzdra byly délka \(18\,\mathrm{cm}\), šířka \(12\,\mathrm{cm}\) a výška \(5\,\mathrm{cm}\).

    Kontrola:

    \[2(19\cdot14+19\cdot5+14\cdot5)-2(18\cdot12+18\cdot5+12\cdot5)=130\]

    \[2(16\cdot13+16\cdot7+13\cdot7)-2(18\cdot12+18\cdot5+12\cdot5)=90\]

    \[2(20\cdot11+20\cdot6+11\cdot6)-2(18\cdot12+18\cdot5+12\cdot5)=80\]
11. Tři nezávislé datové linky A, B a C přenášejí stejný archiv stálou rychlostí. Linky A a B společně přenesou celý archiv za 2 hodiny a 24 minut, linky A a C za 3 hodiny a linky B a C za 4 hodiny. Za jak dlouho by archiv přenesla každá linka samostatně?

    Tři nezávislé datové linky A, B a C přenášejí stejný archiv stálou rychlostí. Linky A a B společně přenesou celý archiv za 2 hodiny a 24 minut, linky A a C za 3 hodiny a linky B a C za 4 hodiny. Za jak dlouho by archiv přenesla každá linka samostatně?

    Celý archiv označme \(1\). Označme \(a\), \(b\) a \(c\) části archivu přenesené za hodinu linkami A, B a C.

    Platí \(2\,\mathrm{h},24\,\mathrm{min}=\frac{12}{5}\,\mathrm{h}\), takže společný výkon linek A a B je \(\frac{5}{12}\) archivu za hodinu.

    \[a+b=\frac{5}{12}\]

    \[a+c=\frac{1}{3}\]

    \[b+c=\frac{1}{4}\]

    Sečteme první dvě rovnice a odečteme třetí. Tím určíme \(a\).

    \[2a=\frac{5}{12}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\]

    \[2a=\frac{1}{2}\]

    \[a=\frac{1}{4}\]

    \[b=\frac{5}{12}-\frac{1}{4}=\frac{1}{6}\]

    \[c=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}\]

    Samostatný čas je převrácená hodnota hodinového výkonu.

    \[\frac{1}{a}=4\]

    \[\frac{1}{b}=6\]

    \[\frac{1}{c}=12\]

    Linka A by archiv přenesla za \(4\,\mathrm{h}\), linka B za \(6\,\mathrm{h}\) a linka C za \(12\,\mathrm{h}\).

    Kontrola: \(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}\), \(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\) a \(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\).

12. Ve hře pro správu vesmírné stanice mají tři energetické moduly A, B a C neznámou počáteční zásobu energie. Každá z následujících vyvažovacích simulací vychází vždy z původních hodnot. Po odečtení 8 bodů z modulu A a 12 bodů z modulu B jsou jejich zásoby v poměru \(3 : 4\). Po přičtení 4 bodů k modulům A a C jsou jejich zásoby v poměru \(3 : 2\). Po odečtení 2 bodů z modulu B a přičtení 10 bodů k modulu C jsou jejich zásoby v poměru \(5 : 3\). Kolik bodů energie bylo původně v jednotlivých modulech?

    Ve hře pro správu vesmírné stanice mají tři energetické moduly A, B a C neznámou počáteční zásobu energie. Každá z následujících vyvažovacích simulací vychází vždy z původních hodnot. Po odečtení 8 bodů z modulu A a 12 bodů z modulu B jsou jejich zásoby v poměru \(3 : 4\). Po přičtení 4 bodů k modulům A a C jsou jejich zásoby v poměru \(3 : 2\). Po odečtení 2 bodů z modulu B a přičtení 10 bodů k modulu C jsou jejich zásoby v poměru \(5 : 3\). Kolik bodů energie bylo původně v jednotlivých modulech?

    Označme původní počty bodů energie v modulech A, B a C písmeny \(A\), \(B\) a \(C\).

    \[4(A-8)=3(B-12)\]

    \[2(A+4)=3(C+4)\]

    \[3(B-2)=5(C+10)\]

    \[4A-3B=-4\]

    \[2A-3C=4\]

    \[3B-5C=56\]

    Z prvních dvou zjednodušených rovnic vyjádříme \(B\) a \(C\) pomocí \(A\).

    \[B=\frac{4A+4}{3}\]

    \[C=\frac{2A-4}{3}\]

    Dosadíme do třetí zjednodušené rovnice.

    \[(4A+4)-5\left(\frac{2A-4}{3}\right)=56\]

    \[2A+32=168\]

    \[A=68\]

    \[B=\frac{4\cdot68+4}{3}=92\]

    \[C=\frac{2\cdot68-4}{3}=44\]

    Původně měl modul A 68 bodů energie, modul B 92 bodů a modul C 44 bodů.

    Kontrola: \(60:80=3:4\), \(72:48=3:2\) a \(90:54=5:3\).

* – těžší nebo pracnější úloha