Mocniny

Proveďte za předpokladu, že uvedené výrazy mají smysl:

1. \(\left[\left(\dfrac{u}{v}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{v}{u}\right)^3 \cdot \dfrac{u^2}{v^2} \cdot \left(-\dfrac{3u}{v}\right)\right]^2\)
2. \(\dfrac{\left(\dfrac{x}{y}\right)^3 - 1}{\left(\dfrac{1}{y}\right)^3} + (-x)^3\)
3. \(\dfrac{(p^3)^2 \cdot (q^2)^3}{(p^2)^3 \cdot q^4} \cdot \left(\dfrac{q}{p^2}\right)^2\)
4. \(\left(\dfrac{3x}{4b}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{8b}{x}\right)^2\)
5. \(\left[\left(\dfrac{m}{n}\right)^2 - \dfrac{m}{n}\right] \mathbin{:} \left(\dfrac{m}{n}\right)^2\)
6. \(\left[\left(\dfrac{p}{q}\right)^2 + \left(\dfrac{q}{p}\right)^2 + 2\right] \cdot \left(\dfrac{pq}{3}\right)^2\)
7. \(\dfrac{4}{5}\left(-\dfrac{c^2}{2y}\right)^2 \cdot \dfrac{5y^2}{(c^2)^3}\)
8. \(3\left[\left(-\dfrac{a}{b}\right)^2 \cdot \dfrac{b}{a}\right]^3 \mathbin{:} \left(\dfrac{b}{a}\right)^2\)
9. \(\left(\dfrac{m^2}{n^3}\right)^3 \mathbin{:} \left(-\dfrac{m}{n}\right)^6\)
10. \(\dfrac{\left(\dfrac{r}{s}\right)^2 - 1}{\left(\dfrac{1}{s}\right)^2}\)

Zobrazit řešení 6. sady ›

Zjednodušte následující výrazy za předpokladu, že všechny uvedené výrazy mají smysl. Písmena \(n, m, k, p, q\) označují přirozená čísla:

1. \(\dfrac{\left(r + s\right)^{2n+1}\left(r - s\right)^{n+3}}{\left(r^2 - s^2\right)^n}\)
2. \(\dfrac{5x^{n+4}}{x^3y^{n+1}} - \dfrac{2x^{n+1}y^2}{y^{n+3}}\)
3. \(\dfrac{a^{5p+3q}b^{3p+2q}}{a^{2p+q}b^{p+q}} \mathbin{:} \dfrac{a^{2p+q}b^{p+2q}}{a^{p+q}b^{2q}}\)
4. \(\left(\dfrac{r^{m+3}s^3}{r^2s^{m+1}}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{s}{r}\right)^{2m+1}\)
5. \(\dfrac{\left(u^2 - 4v^2\right)^{k+2}}{\left(u - 2v\right)^k\left(u + 2v\right)^{k+1}} \cdot \dfrac{u + 2v}{u - 2v}\)
6. \(\dfrac{\left(c^3d^2\right)^n \cdot c^{2n+2}}{\left(cd\right)^n \cdot \left(c^2d\right)^{n+1}}\)
7. \(\left[\dfrac{\left(e^2 - f^2\right)^m}{\left(g - h\right)^n}\right] \cdot \dfrac{\left(g - h\right)^{2n+3}}{\left(e + f\right)^m} \cdot \left(\dfrac{e - f}{g - h}\right)^n\)

* – těžší nebo pracnější úloha

Zobrazit řešení 7. sady ›

V úlohách b)–q) předpokládejte, že uvedené výrazy mají smysl.

1. Určete množinu všech reálných čísel \(x\), pro něž má výraz:\(x^{-\sqrt{2}}\)
2. Zjednodušte na jedinou mocninu o základu \(a\):\(\dfrac{a^{3-\sqrt{5}} \cdot a^{2\sqrt{5}-1}}{a^{\sqrt{5}+2}}\)
3. Upravte výraz:\(\dfrac{\left(u^{\sqrt{2}}\right)^3}{u^{2\sqrt{2}-1}}\)
4. Zapište výraz jako mocninu o základu \(2\):\(\dfrac{8^{\sqrt{3}} \cdot 4^{2-\sqrt{3}}}{2^3}\)
5. Doplňte exponent \(p\), aby platila rovnost:\(\left(\dfrac{m}{n}\right)^{\sqrt{7}+2} \cdot \left(\dfrac{n}{m}\right)^{\sqrt{7}-1} = \left(\dfrac{m}{n}\right)^p\)
6. Upravte na součin mocnin \(x\) a \(y\):\(\dfrac{x^{1+\sqrt{2}} \cdot y^{3-\sqrt{2}}}{x^{2-\sqrt{2}} \cdot y^{\sqrt{2}}}\)
7. Odstraňte vnější závorku a výsledek upravte:\(\left(\dfrac{r^{\sqrt{3}+1}}{s^{2-\sqrt{3}}}\right)^{\sqrt{3}}\)
8. Určete přesnou hodnotu výrazu bez použití kalkulačky:\(\left(4^{\sin 30^\circ} \cdot 8^{\cos 60^\circ}\right)^{\tan 45^\circ}\)
9. Určete exponent \(q\), pro který platí:\(\dfrac{z^{3+\sqrt{2}}}{z^q} = z^{1-\sqrt{2}}\)
10. Zapište výraz jako jedinou mocninu o základu \(ab\):\(a^{\sqrt{3}+1} \cdot b^{\sqrt{3}+1} \cdot \left(ab\right)^{2-\sqrt{3}}\)
11. Rozhodněte výpočtem, zda má výraz hodnotu \(1\):\(25^{\frac{1}{2}-\sqrt{2}} \cdot 5^{2\sqrt{2}-1}\)
12. Upravte výraz tak, aby se v něm nevyskytoval záporný exponent:\(\dfrac{c^{\sqrt{2}-3} \cdot d^{\sqrt{2}+1}}{c^{1-\sqrt{2}} \cdot d^{2\sqrt{2}-2}}\)
13. Najděte reálné číslo \(k\), pro které platí:\(\left(16^{\sqrt{3}-1} \cdot 2^k\right)^{\frac{1}{2}} = 8^{\sqrt{3}}\)
14. Vyřešte v oboru reálných čísel rovnici:\(\left(\dfrac{9^{x-\sqrt{2}}}{3^{1-x}}\right)^{\sqrt{3}} = 27^{\sqrt{3}}\)
15. Upravte na součin mocnin \(a\) a \(b\):\(\left(\dfrac{a^{\sqrt{2}+1} \cdot b^{2-\sqrt{2}}}{a^{2-\sqrt{2}} \cdot b^{\sqrt{2}-1}}\right)^{\sqrt{2}+1} \cdot \dfrac{b}{a}\)
16. Zjednodušte na zlomek:\(\left(\dfrac{a^{1+\sqrt{2}}}{b^{\sqrt{2}-1}}\right)^{\sqrt{2}-1} \cdot \left(\dfrac{b}{a}\right)^2\)
17. Vyřešte v oboru reálných čísel rovnici:\(\left(\dfrac{8^{x-1}}{2^{x+\sqrt{2}}}\right)^{\sqrt{2}} = 4^{3-\sqrt{2}}\)

* – těžší nebo pracnější úloha

Zobrazit řešení 8. sady ›

Proveďte. Předpokládejte, že všechny proměnné jsou kladná reálná čísla. U příkladu g) navíc platí \(r > s > 0\):

1. \(\dfrac{2^{x+\sqrt{3}} \cdot 5^{2x-1}}{2^{x-\sqrt{3}} \cdot 5^{x+\sqrt{3}-1}}\)
2. \(\left(\dfrac{e^{x-\sqrt{3}}}{e^{x+\sqrt{3}}}\right)^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot e^{\frac{9}{2}-\sqrt{3}}\)
3. \(\left(\dfrac{x^{e+\pi} \cdot y^{2e-\pi}}{x^{e-\pi} \cdot y^{2e+\pi}}\right)^{\frac{1}{2\pi}}\)
4. \(\left(\dfrac{3^{2x+\sqrt{2}} \cdot 2^{x-1}}{3^{x-\sqrt{2}} \cdot 2^{2x+1}}\right)^{\sqrt{2}}\)
5. \(\left(\dfrac{a^{\sqrt{5}} \cdot b^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{2}} \cdot b^{\sqrt{5}}}\right)^{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\)
6. \(\left[\dfrac{(mn)^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(m^{\sin 30^\circ}\right)^4}{n^{\cos 60^\circ} \cdot n^{\sin 30^\circ}}\right]^{\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
7. \(\dfrac{(r+s)^{e+\pi} \cdot (r-s)^{\pi-e}}{(r^2-s^2)^\pi}\)

* – těžší nebo pracnější úloha

Zobrazit řešení 9. sady ›