Lineární nerovnice

Řešte v oboru reálných čísel:

  1. \(5x - 7 > 18\)
  2. \(4 - 3x \leq 19\)
  3. \(2(3x - 5) - 4 < 5(x + 1)\)
  4. \(7 - 2(4 - x) \geq 3(x - 2) + 5\)
  5. \(\dfrac{5x - 1}{3} - \dfrac{x + 2}{2} > 4\)
  6. \(3 - \dfrac{2x - 5}{4} \leq \dfrac{x + 1}{6}\)
  7. \(\dfrac{5}{6}(x - 3) + \dfrac{2}{3}(2x + 1) < 7\)
  8. \(0{,}4(5x - 3) - 1{,}5 \geq 0{,}7(x + 2)\)
  9. \(2(x - 1) - \dfrac{3x + 5}{4} \geq \dfrac{x - 2}{2} + 1\)
  10. \(1 - \dfrac{3}{5}(2x - 1) > \dfrac{x + 7}{10}\)
  11. \(3(2 - x) + \dfrac{x - 4}{3} \leq 2 - \dfrac{5x + 1}{6}\)
  12. \(\dfrac{2}{3}(3x - 1) - \dfrac{1}{4}(8x + 4) < -5\)
  13. \(4(2x - 1) - 3(x + 2) \geq 5x - 10\)
  14. \(7 - \dfrac{x - 3}{2} > \dfrac{5 - 3x}{4}\)
  15. \(\dfrac{1}{2}(4x + 3) - (x - 1) \leq \dfrac{3}{4}(x + 2)\)

* – těžší nebo pracnější úloha

Zobrazit řešení 1. sady ›

Proveďte:

\(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\) a \(\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, \ldots\}\)

  1. Určete všechna \(n \in \mathbb{N}\), pro která platí:\(4n - 7 \leq 17\)
  2. Určete všechna \(k \in \mathbb{Z}\), pro která platí:\(-3 < \dfrac{2k + 1}{5} \leq 4\)
  3. Určete všechna \(n \in \mathbb{N}\), pro která platí:\(2(n - 3) + 5 > 3n - 4\)
  4. Určete všechna \(m \in \mathbb{Z}\), pro která platí:\(5 - \dfrac{3m - 2}{4} \geq 2\)
  5. Určete všechna \(p \in \mathbb{N}_0\), pro která platí:\(\dfrac{7p + 1}{3} < 2p + 5\)
  6. Určete všechna \(q \in \mathbb{N}\), pro která platí:\(1 \leq \dfrac{5q - 3}{4} < 7\)
  7. Určete všechna \(r \in \mathbb{Z}\), pro která platí:\(-2 \leq 3 - \dfrac{r}{2} < 4\)
  8. Určete všechna \(s \in \mathbb{N}\), pro která platí:\(0 < \dfrac{2s - 1}{3} \leq 3\)
  9. Určete všechna \(n \in \mathbb{N}\), pro která platí:\(3(n + 1) - 2 \leq 4n + 5 < 6n + 1\)
  10. Určete všechna \(z \in \mathbb{Z}\), pro která platí:\(\dfrac{z - 4}{3} \geq \dfrac{2z + 1}{5}\)
  11. Určete všechna přirozená čísla dělitelná třemi, pro která platí:\(2n + 7 < n + 19\)
  12. Určete všechna \(n \in \mathbb{N}\), pro která platí:\(\dfrac{n + 2}{3} + \dfrac{n - 1}{2} \leq 5\)
  13. Určete všechna \(t \in \mathbb{Z}\), pro která platí:\(-1 < \dfrac{4t - 3}{6} \leq 3\)
  14. Určete všechna záporná celá čísla \(u\), pro která platí:\(4u + 9 > 2(u - 3)\)
  15. Určete všechna \(v \in \mathbb{N}\), pro která platí:\(\dfrac{5}{2} \leq \dfrac{3v + 2}{4} < \dfrac{17}{2}\)

* – těžší nebo pracnější úloha

Zobrazit řešení 2. sady ›

Řešte v oboru reálných čísel:

  1. \(3x - 5 > 7\)\(2x + 4 \leq 16\)
  2. \(5 - 2x \geq -1\)\(3x + 1 > 10\)
  3. \(\dfrac{2x + 1}{3} \leq 5\)\(4 - x < 7\)
  4. \(-3 < 2x + 1 \leq 9\)
  5. \(7x - 2 < 4x + 10\)\(5(x - 1) \geq 2x + 7\)
  6. \(2 - \dfrac{x - 4}{3} > 0\)\(\dfrac{5x + 1}{2} \geq 8\)
  7. \(1 \leq \dfrac{3x - 2}{4} < 5\)
  8. \(4x + 7 \leq 3(x + 3)\)\(\dfrac{2x - 1}{5} > -1\)
  9. \(-5 < \dfrac{1 - 2x}{3} \leq 1\)
  10. \(\dfrac{x + 5}{2} - \dfrac{x - 1}{3} > 1\)\(7 - x \leq 2(x + 1)\)
  11. \(3(x - 2) \leq 2x + 4 < 5x - 2\)
  12. \(0{,}5(x + 6) \geq 2 - x\)\(\dfrac{3x - 1}{4} < \dfrac{x + 5}{2}\)
  13. \(-2 \leq 5 - \dfrac{3x + 1}{2} < 4\)
  14. \(2(1 - x) + 3 < x + 7\)\(\dfrac{4x - 3}{5} \leq x - 1\)
  15. \(\dfrac{x - 2}{4} + \dfrac{1}{2} \geq \dfrac{3x + 1}{8}\)\(3 - \dfrac{x}{2} < 1\)

* – těžší nebo pracnější úloha

Zobrazit řešení 3. sady ›

  1. Půjčovna kol účtuje za první započatou hodinu 180 Kč a za každou další započatou hodinu 65 Kč. Kolik nejvýše dalších započatých hodin lze kolo používat, máme-li k dispozici nejvýše 570 Kč?

    Označme \(x\) počet dalších započatých hodin. První hodina je už zahrnuta v částce 180 Kč.

    \[180\,\text{Kč} + 65\,\text{Kč}\cdot x \leq 570\,\text{Kč}\]\[65\,\text{Kč}\cdot x \leq 390\,\text{Kč}\]\[x \leq 6\]

    Kolo lze používat nejvýše 6 dalších započatých hodin, tedy celkem 7 započatých hodin.

  2. V nádobě je 2,4 kg 18% solného roztoku. Přiléváme k němu \(x\) kg 32% roztoku. Kolik kilogramů silnějšího roztoku musíme přidat alespoň, aby výsledná směs obsahovala nejméně 25 % soli?

    Označme \(x\) hmotnost přilitého roztoku vyjádřenou v kilogramech. V původním roztoku je \(0{,}18 \cdot 2{,}4\,\mathrm{kg} = 0{,}432\,\mathrm{kg}\) soli. Po přilití je hmotnost soli \((0{,}432+0{,}32x)\,\mathrm{kg}\) a hmotnost směsi \((2{,}4+x)\,\mathrm{kg}\).

    \[(0{,}432+0{,}32x)\,\mathrm{kg} \geq 0{,}25(2{,}4+x)\,\mathrm{kg}\]\[(0{,}432+0{,}32x)\,\mathrm{kg} \geq (0{,}6+0{,}25x)\,\mathrm{kg}\]\[0{,}07x\,\mathrm{kg} \geq 0{,}168\,\mathrm{kg}\]\[x \geq 2{,}4\]

    Je třeba přidat alespoň 2,4 kg 32% roztoku.

  3. Školní divadelní představení má kapacitu 120 míst. Vstupenka stojí 160 Kč, pevné náklady činí 5 100 Kč a s každým divákem vzniknou další náklady 45 Kč. Kolik diváků musí přijít alespoň, aby zisk dosáhl nejméně 6 000 Kč? Ověřte, zda to kapacita sálu umožňuje.

    Označme \(x\) počet diváků. Tržba je \(160x\), náklady jsou \(5\,100+45x\) a zisk je jejich rozdíl.

    \[(160-45)\,\text{Kč}\cdot x-5\,100\,\text{Kč}\geq6\,000\,\text{Kč}\]\[115\,\text{Kč}\cdot x - 5\,100\,\text{Kč} \geq 6\,000\,\text{Kč}\]\[115\,\text{Kč}\cdot x \geq 11\,100\,\text{Kč}\]\[x \geq \dfrac{11\,100}{115} \approx 96{,}52\]

    Počet diváků je celé číslo, proto zaokrouhlíme nahoru.

    Je třeba alespoň 97 diváků. Kapacita 120 míst to umožňuje.

  4. Měsíční tarif stojí 169 Kč a zahrnuje prvních 100 minut volání. Každá další započatá minuta stojí 1,80 Kč. Kolik minut lze za měsíc provolat nejvýše, chceme-li zaplatit nanejvýše 349 Kč?

    Označme \(x\) počet minut navíc nad prvních 100 minut.

    \[169\,\text{Kč}+1{,}80\,\text{Kč}\cdot x\leq349\,\text{Kč}\]\[1{,}80\,\text{Kč}\cdot x\leq180\,\text{Kč}\]\[x \leq 100\]

    Tarif zahrnuje prvních 100 minut a můžeme přidat dalších 100 minut.

    Celkem lze provolat nejvýše 200 minut.

  5. Pořadatel koncertu očekává 135 návštěvníků. Pevné náklady jsou 8 200 Kč a na každého návštěvníka připadají další náklady 18 Kč. Jaké musí být nejmenší celé vstupné v korunách, aby zisk byl alespoň 10 000 Kč?

    Označme \(p\) cenu jedné vstupenky vyjádřenou v korunách. Celkové náklady jsou \(8\,200\,\text{Kč} + 18\,\text{Kč}\cdot 135 = 10\,630\,\text{Kč}.\)

    \[135p\,\text{Kč} - 10\,630\,\text{Kč} \geq 10\,000\,\text{Kč}\]\[135p\,\text{Kč} \geq 20\,630\,\text{Kč}\]\[p \geq \dfrac{20\,630}{135} \approx 152{,}81\]

    Vstupné musí být v celých korunách, proto zaokrouhlíme nahoru.

    Nejmenší možné vstupné je 153 Kč.

  6. Třída má na tisk sborníku a jeho vazbu připraveno 1 200 Kč. Příprava tisku stojí 320 Kč, jeden výtisk 8,50 Kč a vazba celého sborníku 180 Kč. Kolik celých výtisků lze objednat nejvýše?

    Označme \(x\) počet výtisků. Příprava a vazba jsou pevné náklady, dohromady \(320+180=500\) Kč.

    \[500\,\text{Kč}+8{,}50\,\text{Kč}\cdot x\leq1\,200\,\text{Kč}\]\[8{,}50\,\text{Kč}\cdot x \leq 700\,\text{Kč}\]\[x \leq \dfrac{700}{8{,}50} \approx 82{,}35\]

    Objednáváme jen celé výtisky, proto nemůžeme vzít 83 kusů.

    Lze objednat nejvýše 82 výtisků.

  7. Test má 30 uzavřených otázek. Za správnou odpověď jsou 4 body, za chybnou odpověď se odečítá 1 bod; všechny otázky musí být zodpovězeny. Kolik správných odpovědí je třeba získat alespoň pro dosažení 70 bodů?

    Označme \(x\) počet správných odpovědí. Chybných odpovědí je potom \(30-x\).

    \[4\,\text{b.}\cdot x - 1\,\text{b.}\cdot(30-x) \geq 70\,\text{b.}\]\[5\,\text{b.}\cdot x - 30\,\text{b.} \geq 70\,\text{b.}\]\[5\,\text{b.}\cdot x \geq 100\,\text{b.}\]\[x \geq 20\]

    Je potřeba alespoň 20 správných odpovědí.

* – těžší nebo pracnější úloha