Zlomky a procenta

1. Na začátku prázdnin začal Tomáš číst knihu. První večer přečetl \(\dfrac{2}{7}\) všech stran knihy. Druhý večer přečetl \(\dfrac{1}{3}\) ze stran, které po prvním večeru zbývaly nepřečtené. Po druhém večeru mu zbývalo přečíst ještě 80 stran. Kolik stran má kniha?

   Označme hledaný počet stran třeba \(p\).

   První večer Tomáš přečetl \(\dfrac{2}{7}\) z celkového počtu stran.

   \[ \dfrac{2}{7}p \]

   Do celku \(\dfrac{7}{7}p\) mu tedy zbývalo:

   \[ \dfrac{5}{7}p \]

   Druhý večer přečetl \(\dfrac{1}{3}\) z tohoto zbytku:

   \[ \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5}{7}p \]

   Po druhém večeru mu zbývalo ještě 80 stran.

   Dohromady:

   \[ \dfrac{2}{7}p + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5}{7}p + 80 = p \]

   Vyřešíme rovnici (vyjádříme \(p\)) dostaneme celkový počet stránek knihy:

   \[ p - \dfrac{2}{7}p - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5}{7}p = 80 \] \[ p - \dfrac{2}{7}p - \dfrac{5}{21}p = 80 \] \[ p\left(1 - \dfrac{2}{7} - \dfrac{5}{21}\right) = 80 \] \[ p\left(\dfrac{21 - 6 - 5}{21}\right) = 80 \] \[ \dfrac{10}{21}p = 80 \] \[ p = \dfrac{80}{\dfrac{10}{21}} \] \[ p = \dfrac{21 \cdot 80}{10} \] \[ p = 168 \]

   Kniha má 168 stran.

2. Zákazník, který je členem zákaznického klubu, kupuje sportovní boty s původní cenou 1 200 Kč. Nejprve je jejich cena snížena o \(\dfrac{1}{4}\) původní ceny. Poté se na takto zlevněnou cenu uplatní členská sleva \(\dfrac{1}{10}\). Kolik korun zákazník za boty zaplatí?

   Cena po první slevě (jednotky Kč, napíšeme až k výsledku):

   \[ 1\,200 - \dfrac{1}{4} \cdot 1\,200 = 900 \]

   Cena po členské slevě:

   \[ 900 - \dfrac{1}{10} \cdot 900 = 810 \]

   Zákazník za boty zaplatí 810 Kč.

3. Na začátku zúčtovacího období měl Tomáš v mobilním tarifu určitý objem dat. Během prvních dvou týdnů vyčerpal \(\dfrac{3}{8}\) celého datového balíčku. Poté během víkendu spotřeboval \(\dfrac{1}{5}\) z množství dat, které mu po prvních dvou týdnech zbývalo. Žádná další data nespotřeboval a po víkendu mu zbývalo 6 GB dat. Jak velký datový balíček měl Tomáš na začátku období?

   Označme počáteční objem dat \(d\).

   V následujících výpočtech pracujeme jen s číselnými hodnotami; jednotku GB dosadíme až do výsledku.

   Po prvních dvou týdnech zbývalo:

   \[ d - \dfrac{3}{8}d = \dfrac{5}{8}d \]

   Po víkendu zbývalo:

   \[ \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{8}d = 6 \] \[ \dfrac{1}{2}d = 6 \] \[ d = 12 \]

   Tomáš měl na začátku období 12 GB dat.

4. Při digitalizaci souboru regionálních novin se během prvního dne nasnímalo \(\dfrac{2}{7}\) všech stran. Druhý den se nasnímalo \(\dfrac{3}{8}\) ze stran, které po prvním dni zbývaly. Po skončení druhého dne bylo ještě potřeba nasnímat o 126 stran méně, než činila polovina původního počtu stran. Kolik stran měl celý soubor novin? Kolik stran se nasnímalo v jednotlivých dnech?

   Označme původní počet stran \(n\).

   V následujících výpočtech pracujeme jen s číselnými hodnotami; počet stran uvedeme až ve výsledku.

   Po prvním dni zbývalo:

   \[ n - \dfrac{2}{7}n = \dfrac{5}{7}n \]

   Druhý den se nasnímalo:

   \[ \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{5}{7}n = \dfrac{15}{56}n \]

   Po druhém dni zbývalo:

   \[ \dfrac{5}{7}n - \dfrac{15}{56}n = \dfrac{25}{56}n \]

   Podle zadání platí:

   \[ \dfrac{25}{56}n = \dfrac{1}{2}n - 126 \] \[ \dfrac{1}{2}n - \dfrac{25}{56}n = 126 \] \[ \dfrac{3}{56}n = 126 \] \[ n = 2\,352 \]

   První den se nasnímalo:

   \[ \dfrac{2}{7} \cdot 2\,352 = 672 \]

   Druhý den se nasnímalo:

   \[ \dfrac{3}{8} \cdot (2\,352 - 672) = 630 \]

   Soubor měl 2 352 stran. První den se nasnímalo 672 stran a druhý den 630 stran.

5. Mistr by dokázal sám opravit jevištní podlahu za 9 osmihodinových směn. Pomocník by tutéž práci sám zvládl za 18 směn. První tři směny pracoval mistr sám, poté se k němu přidal pomocník; oba po celou dobu pracovali stejným tempem. Za kolik dalších směn bude oprava hotová? Kolik hodin bude oprava trvat celkem?

   Označme celou opravu jako \(1\). Mistr za jednu směnu opraví \(\dfrac{1}{9}\) opravy a pomocník \(\dfrac{1}{18}\) opravy.

   V následujících výpočtech pracujeme jen s číselnými hodnotami; počty směn a hodin uvedeme až ve výsledku.

   Za první tři směny mistr opravil:

   \[ 3 \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3} \]

   Zbývalo opravit:

   \[ 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \]

   Společně za jednu směnu opraví:

   \[ \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{6} \]

   Potřebný počet dalších směn je:

   \[ \dfrac{2}{3} : \dfrac{1}{6} = 4 \] \[ 3 + 4 = 7 \] \[ 7 \cdot 8 = 56 \]

   Oprava bude po připojení pomocníka hotová za 4 další směny a bude trvat celkem 56 hodin.

6. Zahradník potřebuje připravit 40 litrů pětiprocentního roztoku tekutého hnojiva pro kapkovou závlahu. Má k dispozici dvanáctiprocentní koncentrát a dvouprocentní již naředěný roztok téhož hnojiva. Kolik litrů každého z nich musí smíchat, aby získal požadovaný roztok?

   Označme \(v\) objem dvanáctiprocentního koncentrátu v litrech. Dvouprocentního roztoku bude (\(40 - v\)) litrů.

   V následujících výpočtech pracujeme jen s číselnými hodnotami; objemy v litrech uvedeme až ve výsledku.

   \[ \dfrac{12}{100}v + \dfrac{2}{100}(40 - v) = \dfrac{5}{100} \cdot 40 \] \[ \dfrac{12}{100}v + \dfrac{80}{100} - \dfrac{2}{100}v = \dfrac{200}{100} \] \[ \dfrac{10}{100}v = \dfrac{120}{100} \] \[ v = 12 \] \[ 40 - 12 = 28 \]

   Zahradník musí smíchat 12 litrů dvanáctiprocentního koncentrátu a 28 litrů dvouprocentního roztoku.

7. Skupina absolvovala třídenní pěší přechod. První den ušla \(\dfrac{2}{5}\) celé trasy. Druhý den ušla \(\dfrac{3}{8}\) z toho, co jí po prvním dni zbývalo. První den přitom urazila o 14 km více než druhý den. Jak dlouhá byla celá trasa a kolik kilometrů skupina ušla v jednotlivých dnech?

   Označme délku celé trasy \(s\).

   V následujících výpočtech pracujeme jen s číselnými hodnotami; vzdálenosti v kilometrech uvedeme až ve výsledku.

   První den skupina ušla:

   \[ \dfrac{2}{5}s \]

   Druhý den skupina ušla:

   \[ \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{3}{5}s = \dfrac{9}{40}s \]

   Rozdíl obou denních vzdáleností byl 14 km:

   \[ \dfrac{2}{5}s - \dfrac{9}{40}s = 14 \] \[ \dfrac{7}{40}s = 14 \] \[ s = 80 \]

   První den skupina ušla:

   \[ \dfrac{2}{5} \cdot 80 = 32 \]

   Druhý den skupina ušla:

   \[ \dfrac{9}{40} \cdot 80 = 18 \]

   Třetí den skupina ušla zbytek trasy:

   \[ 80 - 32 - 18 = 30 \]

   Celá trasa byla dlouhá 80 km. První den skupina ušla 32 km, druhý den 18 km a třetí den 30 km.

8. Skupina studentů si objednala minibus na exkurzi; celková cena včetně řidiče a paliva byla 9 600 Kč. Náklady se měly rozdělit rovným dílem mezi všechny přihlášené. Čtyři studenti však den před odjezdem účast zrušili, takže každý ze zbývajících účastníků musel zaplatit o 400 Kč více než původně. Kolik studentů bylo původně přihlášeno a kolik korun měl každý zaplatit před zrušením účasti?

   Označme \(n\) počet původně přihlášených studentů. Před zrušením účasti připadalo na jednoho studenta \(\dfrac{9\,600}{n}\), po zrušení \(\dfrac{9\,600}{n - 4}\).

   V následujících výpočtech pracujeme jen s číselnými hodnotami; počet studentů a částky v Kč uvedeme až ve výsledku.

   \[ \dfrac{9\,600}{n - 4} = \dfrac{9\,600}{n} + 400 \] \[ 9\,600n = 9\,600(n - 4) + 400n(n - 4) \] \[ 0 = 400n^2 - 1\,600n - 38\,400 \] \[ n^2 - 4n - 96 = 0 \] \[ (n - 12)(n + 8) = 0 \] \[ n = 12 \quad \text{nebo} \quad n = -8 \]

   Záporný počet studentů není možný, proto \(n = 12\).

   Původní platba za jednoho studenta byla:

   \[ \dfrac{9\,600}{12} = 800 \]

   Původně bylo přihlášeno 12 studentů a každý měl před zrušením účasti zaplatit 800 Kč.

1. Původní cena tabletu byla 18 750 Kč. Během akce byla cena nejprve snížena o 16 % a zákazník pak získal ještě dodatečnou slevu 4 % z již zlevněné ceny. Kolik Kč za tablet zaplatil?

   Cena po první slevě:

   \[18\,750 - \dfrac{16}{100} \cdot 18\,750 = 15\,750\]

   Druhá sleva se počítá z již zlevněné ceny:

   \[15\,750 - \dfrac{4}{100} \cdot 15\,750 = 15\,120\]

   Zákazník za tablet zaplatil 15 120 Kč.

2. Laboratorní pracovnice připravuje 12,5% roztok smícháním 450 ml 8% roztoku se 20% roztokem téže látky. Předpokládejte, že se objemy roztoků po smíchání sčítají. Kolik ml 20% roztoku musí použít?

   Označme \(x\) objem dvacetiprocentního roztoku v mililitrech. Množství látky se při smíchání nezmění:

   \[0{,}08 \cdot 450 + 0{,}20x = 0{,}125(450 + x)\]\[36 + 0{,}20x = 56{,}25 + 0{,}125x\]\[0{,}075x = 20{,}25\]\[x = 270\]

   Kontrola: v 720 ml výsledného roztoku je 12,5 % látky, tedy 90 ml; z obou původních roztoků dostaneme \(36 + 54 = 90\).

   Pracovnice musí použít 270 ml dvacetiprocentního roztoku.

3. Kino zvýšilo cenu vstupenek o 12 %. Současně se počet prodaných vstupenek za srovnatelný měsíc snížil o 8 %. O kolik procent se změnila celková tržba ze vstupného?

   Zvolme původní cenu vstupenky i původní počet prodaných vstupenek jako 100 %. Po zdražení je cena 112 % původní ceny a po poklesu prodeje zůstává 92 % původního počtu vstupenek.

   \[1{,}12 \cdot 0{,}92 = 1{,}0304\]\[1{,}0304 = 103{,}04\,\%\]

   Celková tržba ze vstupného se zvýšila o 3,04 %.

4. Obchod nakoupil batoh za 1 350 Kč. Jeho běžnou cenu určil tak, aby i při trvalé slevě 20 % prodal batoh se ziskem 12 % z nákupní ceny. Jakou běžnou cenu batohu stanovil?

   Označme běžnou cenu batohu \(b\). Cena po slevě musí pokrýt nákupní cenu i požadovaný zisk:

   \[1\,350 + \dfrac{12}{100} \cdot 1\,350 = 1\,512\]

   Po slevě 20 % zůstává 80 % běžné ceny:

   \[0{,}80b = 1\,512\]\[b = \dfrac{1\,512}{0{,}80} = 1\,890\]

   Obchod stanovil běžnou cenu batohu 1 890 Kč.

5. Ve skupině 750 studentů uvedlo na začátku školního roku 24 % studentů, že jezdí do školy pravidelně na kole. O rok později to ve stejné skupině uvedlo 30 % studentů. O kolik studentů se jejich počet zvýšil?

   Podíl studentů jezdících na kole se zvýšil o:

   \[30\,\% - 24\,\% = 6\,\%\]

   Šest procent z celé skupiny je:

   \[\dfrac{6}{100} \cdot 750 = 45\]

   Počet studentů jezdících pravidelně na kole se zvýšil o 45 studentů.

6. Základní cena montáže byla navýšena o administrativní příplatek ve výši 12 % ze základní ceny. Konečná cena na faktuře činila 3 920 Kč. Jaká byla základní cena montáže?

   Označme základní cenu montáže \(z\). Konečná cena tvoří 112 % základní ceny:

   \[z + \dfrac{12}{100}z = 3\,920\]\[1{,}12z = 3\,920\]\[z = \dfrac{3\,920}{1{,}12} = 3\,500\]

   Základní cena montáže byla 3 500 Kč.

7. Po dvojím snížení ceny o stejné procento klesla cena fotoaparátu z 10 000 Kč na 6 889 Kč. O kolik procent byla cena při každém snížení zlevněna?

   Označme \(p\) podíl ceny, který po jednom snížení zůstane. Po obou stejných sníženích platí:

   \[10\,000p^2 = 6\,889\]\[p^2 = \dfrac{6\,889}{10\,000} = 0{,}6889\]\[p = 0{,}83\]

   Po každém snížení zůstalo 83 % ceny. Samotná sleva byla:

   \[100\,\% - 83\,\% = 17\,\%\]

   Při každém snížení byla cena zlevněna o 17 %.

8. Na spořicím účtu je uloženo 58 000 Kč. Banka připíše za rok úrok ve výši 3,6 % z uložené částky a z připsaného úroku se ihned odečte 15% daň. Jaký bude zůstatek na účtu po jednom roce, pokud na něj majitel nevloží ani z něj nevybere žádné peníze?

   Úrok před zdaněním je:

   \[0{,}036 \cdot 58\,000 = 2\,088\]

   Daň se počítá z připsaného úroku. Čistý úrok a nový zůstatek jsou:

   \[0{,}15 \cdot 2\,088 = 313{,}20\]\[2\,088 - 313{,}20 = 1\,774{,}80\]\[58\,000 + 1\,774{,}80 = 59\,774{,}80\]

   Po jednom roce bude na účtu 59 774,80 Kč.

9. Při veřejné sbírce se během prvního týdne vybralo 68 % cílové částky. Během druhého týdne bylo vybráno dalších 7 200 Kč, což představovalo právě 15 % částky, která ještě chyběla po prvním týdnu. Jaká byla cílová částka sbírky?

   Označme cílovou částku sbírky \(c\). Po prvním týdnu zbývalo vybrat 32 % cílové částky.

   Částka 7 200 je 15 % z tohoto zbytku:

   \[0{,}15 \cdot 0{,}32c = 7\,200\]\[0{,}048c = 7\,200\]\[c = \dfrac{7\,200}{0{,}048} = 150\,000\]

   Cílová částka sbírky byla 150 000 Kč.

10. Čerstvé ovoce obsahuje 84 % vody a 3,2 kg sušiny. Při sušení se žádná sušina neztratí, obsah vody v usušeném ovoci však klesne na 72 %. Jakou hmotnost bude mít usušené ovoce? Výsledek uveďte na desetiny kilogramu.

    Sušina tvoří doplněk do 100 %. Její hmotnost 3,2 kg se při sušení nezmění. V usušeném ovoci tvoří sušina 28 % hmotnosti.

    Označme hmotnost usušeného ovoce \(h\):

    \[100\,\% - 72\,\% = 28\,\%\]\[0{,}28h = 3{,}2\]\[h = \dfrac{3{,}2}{0{,}28} \approx 11{,}4\]

    Usušené ovoce bude mít hmotnost přibližně 11,4 kg.

11. Firma používá pro jednu zakázku 600 kg materiálu A za 48 Kč kg⁻¹ a 200 kg materiálu B za 96 Kč kg⁻¹. Cena materiálu A vzroste o 12 %, zatímco cena materiálu B klesne o 9 %. O kolik procent se změní celkové náklady na oba materiály?

    Původní náklady na oba materiály jsou:

    \[600 \cdot 48 = 28\,800\]\[200 \cdot 96 = 19\,200\]\[28\,800 + 19\,200 = 48\,000\]

    Po změně cen stojí materiál A 112 % a materiál B 91 % původní ceny:

    \[600 \cdot (48 \cdot 1{,}12) = 32\,256\]\[200 \cdot (96 \cdot 0{,}91) = 17\,472\]\[32\,256 + 17\,472 = 49\,728\]

    Procentní změna celkových nákladů je:

    \[\dfrac{49\,728 - 48\,000}{48\,000} \cdot 100\,\% = 3{,}6\,\%\]

    Celkové náklady na oba materiály se zvýší o 3,6 %.

12. Na začátku roku využívalo online vzdělávací platformu 45 % předplatitelů v měsíčním tarifu a zbývající předplatitelé v ročním tarifu. Během roku vzrostl počet předplatitelů měsíčního tarifu o 20 % a počet předplatitelů ročního tarifu o 8 %. Nikdo předplatné nezrušil. Kolik procent všech předplatitelů bude po těchto změnách využívat měsíční tarif? Výsledek zaokrouhlete na desetiny procenta.

    Označme \(n\) původní počet všech předplatitelů.

    Počet předplatitelů v jednotlivých tarifech po změnách bude:

    \[ 0{,}45n \cdot 1{,}20 = 0{,}54n \] \[ 0{,}55n \cdot 1{,}08 = 0{,}594n \] \[ 0{,}54n + 0{,}594n = 1{,}134n \]

    Podíl měsíčního tarifu po změnách je:

    \[ \dfrac{0{,}54n}{1{,}134n} \cdot 100\,\% = \dfrac{0{,}54}{1{,}134} \cdot 100\,\% \approx 47{,}6\,\% \]

    Měsíční tarif bude po změnách využívat přibližně 47,6 % všech předplatitelů.

* – těžší nebo pracnější úloha