Vyjadřování neznámé ze vzorce

Ekvivalentní úpravy rovnic, vyjadřování neznámé ze vzorce, kontrola výsledku.

Co znamená vyjádřit neznámou

Vzorec je rovnice, která popisuje vztah mezi několika veličinami. Když máme například

v=\frac{s}{t}

můžeme z něj vyjádřit dráhu \(s\), čas \(t\) nebo rychlost \(v\). Vyjádřit \(t\) znamená upravit rovnici tak, aby \(t\) zůstalo samo na jedné straně a na druhé straně už se nevyskytovalo. Čísla přitom ještě nedosazujeme; výsledkem je nový vzorec.

Trojúhelníček? Raději ne

Ke vztahu mezi dráhou, rychlostí a časem se někdy kreslí pomocný trojúhelníček. Zakryjeme hledané písmeno a podle polohy zbývajících písmen přečteme výsledek. Na první pohled to vypadá pohodlně.

Kočka zvrací na vzorečkový trojúhelník se značkami s, v a t. — Trojúhelníček vztah nevysvětluje. Je to jen další obrázek, ve kterém si musíme zapamatovat rozmístění písmen.

Musíme si však pamatovat nejen samotná písmena, ale také jejich přesné umístění. U složitějších vzorců, například \(s=\frac{1}{2}at^2\), už taková pomůcka nestačí. Máme-li si něco zapamatovat, je užitečnější vědět, co vzorec říká, a znát jedno obecné pravidlo pro úpravu rovnic.

Vztah pro rychlost napovídá už její jednotka. Na tachometru bývá \(\mathrm{km\,h^{-1}}\), tedy kilometry za hodinu. Kilometr je jednotka dráhy a hodina jednotka času:

\text{rychlost} = \frac{\text{dráha}}{\text{čas}} \qquad v=\frac{s}{t}

Rovnici upravujeme, nic v ní nepřeskakuje

Znaménko rovnosti říká, že levá a pravá strana mají stejnou hodnotu. Aby to platilo dál, uděláme s oběma stranami totéž. Podívejme se nejprve na jednoduchou rovnici:

\begin{aligned} &2x+3=11\\[0.8em] &2x+3-\textcolor{#d60000}{3}=11-\textcolor{#d60000}{3}\\[0.8em] &2x=8\\[0.8em] &\frac{2x}{\textcolor{#0070c9}{2}}=\frac{8}{\textcolor{#0070c9}{2}}\\[0.8em] &x=4 \end{aligned}

Nejprve jsme od obou stran odečetli 3. Potom jsme obě strany vydělili dvěma. Stejný postup často zapisujeme stručně pomocí svislé čáry: zápis \(\big|\,{-}3\) znamená „od obou stran odečteme 3“ a zápis \(\big|\,\mathbin{:}2\) znamená „obě strany vydělíme dvěma“.

Když říkáme „trojku převedeme na druhou stranu a změníme znaménko“, jen zkracujeme skutečný postup: od obou stran jsme odečetli 3. Ani násobení se samo „nemění“ na dělení. Chceme-li odstranit násobení určitým výrazem, vydělíme jím obě strany.

K oběma stranám můžeme přičíst nebo od nich odečíst stejný výraz. Obě strany můžeme také vynásobit nebo vydělit stejným nenulovým výrazem. Kdybychom rovnici vynásobili nulou, obě strany by se změnily na nulu a původní vztah bychom ztratili. Nulou dělit nelze. Úpravy, při kterých se řešení nezmění, nazýváme ekvivalentními úpravami.

U fyzikálních vzorců bývá ze situace rovnou jasné, že některá veličina nemůže být nulová: obíhající družice má nenulovou rychlost a pružina oscilátoru kladnou tuhost. Takové podmínky nemusíme opakovat u každého kroku. Opatrní jsme tehdy, když nula skutečně připadá v úvahu nebo když by úprava mohla přidat či ztratit řešení.

Vyjádříme dráhu a čas

Začněme znovu vztahem pro průměrnou rychlost. Protože je \(t\) ve jmenovateli, původní vzorec už vyžaduje nenulový čas; ve fyzikální úloze je uplynulý čas kladný. Nejprve vyjádříme dráhu \(s\). Obě strany vynásobíme \(t\):

\begin{aligned} &v=\frac{s}{t}\qquad\big|\,\cdot t\\[0.8em] &vt=s\\[0.8em] &s=vt \end{aligned}

Rovnost můžeme zapsat i obráceně: z \(vt=s\) tedy dostaneme \(s=vt\). Nyní vyjádříme čas. Nejprve opět vynásobíme obě strany \(t\), potom je vydělíme rychlostí \(v\):

\begin{aligned} &v=\frac{s}{t}\qquad\big|\,\cdot t\\[0.8em] &vt=s\qquad\big|\,\mathbin{:}v\\[0.8em] &t=\frac{s}{v} \end{aligned}

Dělit rychlostí můžeme jen tehdy, když \(v\neq0\). Pokud těleso stojí, vztah pro průměrnou rychlost sám neříká, jak dlouho stálo. Stejnou úpravu si můžeme ověřit na číslech:

3=\frac{6}{2} \qquad 6=3\cdot2 \qquad 2=\frac{6}{3}

Zkouška na konkrétních číslech může odhalit chybu. Ve fyzice pomáhají také jednotky. Pro \(s=vt\) dostaneme:

[s]=[v]\,[t] = \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\cdot\mathrm{h} = \mathrm{km}

Výsledek tedy má jednotku dráhy. Správné jednotky samy o sobě ještě nedokazují, že jsme počítali bez chyby, ale nesprávné jednotky chybu spolehlivě prozradí.

Jak postupovat

Určíme, které písmeno chceme vyjádřit.
Před dělením zkontrolujeme, zda nedělíme nulou. Před umocněním nebo odmocněním promyslíme, zda tím nezměníme řešení.
Je-li to potřeba, odstraníme zlomky vhodnou úpravou obou stran. Závorky roznásobíme nebo společný výraz vytkneme podle toho, co výpočet zjednoduší.
Pokud je hledané písmeno ve více členech, upravíme rovnici tak, aby tyto členy byly na jedné straně, a písmeno vytkneme.
Nakonec hledané písmeno osamostatníme – často tak, že obě strany vydělíme výrazem, kterým je násobeno.
Výsledek zkontrolujeme dosazením, případně také pomocí jednotek.

1. Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu

Při rovnoměrně zrychleném přímočarém pohybu z klidu platí \(s=\frac{1}{2}at^2\). Písmeno \(a\) zde označuje velikost zrychlení. Vyjádříme čas \(t\):

\begin{aligned} &s=\frac{1}{2}at^2\qquad\big|\,\cdot2\\[0.8em] &2s=at^2\qquad\big|\,\mathbin{:}a\\[0.8em] &\frac{2s}{a}=t^2 \end{aligned}

Z rovnice \(t^2=\frac{2s}{a}\) dostaneme při odmocnění obě znaménka:

t=\pm\sqrt{\frac{2s}{a}}

Ve fyzikální úloze však \(t\) označuje uplynulý čas, a ten není záporný. Proto vybereme nezáporné řešení:

\boldsymbol{t=\sqrt{\frac{2s}{a}}}

2. Newtonův gravitační zákon

Velikost gravitační síly můžeme zapsat vztahem \(F_g=G\frac{m_1m_2}{r^2}\). Písmeno \(G\) označuje gravitační konstantu a \(r\) vzdálenost středů těles. Vyjádříme hmotnost \(m_2\):

\begin{aligned} &F_g=G\frac{m_1m_2}{r^2}\qquad\big|\,\cdot r^2\\[0.8em] &F_gr^2=Gm_1m_2\qquad\big|\,\mathbin{:}(Gm_1)\\[0.8em] &\boldsymbol{m_2=\frac{F_gr^2}{Gm_1}} \end{aligned}

Nejprve jsme obě strany vynásobili \(r^2\) a potom je vydělili \(Gm_1\). Nic přes rovnítko samo nepřeskočilo.

3. Oběžná doba družice

Družice se pohybuje po kruhové dráze ve výšce \(h\) nad povrchem tělesa. Poloměr její dráhy je \(R+h\). Při oběžné rychlosti \(v_k\) trvá jeden oběh

T=\frac{2\pi(R+h)}{v_k}

Vyjádříme poloměr \(R\):

\begin{aligned} &T=\frac{2\pi(R+h)}{v_k}\qquad\big|\,\cdot v_k\\[0.8em] &Tv_k=2\pi(R+h)\qquad\big|\,\mathbin{:}(2\pi)\\[0.8em] &\frac{Tv_k}{2\pi}=R+h\qquad\big|\,-h\\[0.8em] &\boldsymbol{R=\frac{Tv_k}{2\pi}-h} \end{aligned}

Závorku jsme neroznásobovali. Nejprve jsme obě strany vydělili \(2\pi\), takže na pravé straně zůstalo \(R+h\). Potom jsme od obou stran odečetli \(h\).

4. Kalorimetrická rovnice

Z kalorimetrické rovnice vyjádříme teplotu \(t_2\):

\[ m_1c_1(t_1-t)=m_2c_2(t-t_2)+C_k(t-t_2) \]

Na pravé straně obsahují oba členy stejnou závorku \((t-t_2)\). Místo roznásobování ji vytkneme:

\[ m_1c_1(t_1-t) = (m_2c_2+C_k)(t-t_2) \]

Obě strany vydělíme výrazem \(m_2c_2+C_k\), který je v této fyzikální situaci kladný. Potom od obou stran odečteme \(t\) a nakonec je vynásobíme \(-1\):

\begin{aligned} &t-t_2=\frac{m_1c_1(t_1-t)}{m_2c_2+C_k}\\[0.8em] &-t_2=\frac{m_1c_1(t_1-t)}{m_2c_2+C_k}-t\\[0.8em] &\boldsymbol{t_2=t-\frac{m_1c_1(t_1-t)}{m_2c_2+C_k}} \end{aligned}

Díky vytknutí je výpočet kratší a přehlednější.

5. Čočková rovnice

V čočkové rovnici je hledaná obrazová vzdálenost \(a'\) ve jmenovateli:

\frac{1}{a}+\frac{1}{a'}=\frac{1}{f}

U čoček mohou mít vzdálenosti podle zvolené znaménkové dohody kladné i záporné hodnoty. Nulové však být nemohou, protože jsou ve jmenovateli. Abychom odstranili zlomky, vynásobíme obě strany součinem \(aa'f\):

\begin{aligned} &\frac{1}{a}+\frac{1}{a'}=\frac{1}{f}\qquad\big|\,\cdot aa'f\\[0.8em] &a'f+af=aa'\qquad\big|\,-a'f\\[0.8em] &af=aa'-a'f\\[0.8em] &af=a'(a-f)\qquad\big|\,\mathbin{:}(a-f)\\[0.8em] &\boldsymbol{a'=\frac{af}{a-f}} \end{aligned}

Na pravé straně jsme \(a'\) vytkli. Poslední dělení vyžaduje \(a\neq f\). Pro \(a=f\) nemá původní rovnice žádné konečné řešení pro \(a'\); v optice tomu odpovídá obraz v nekonečnu.

6. Perioda mechanického oscilátoru

Perioda pružinového oscilátoru je

T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

Vyjádříme hmotnost \(m\). Nejprve vydělíme obě strany \(2\pi\):

\frac{T}{2\pi} = \sqrt{\frac{m}{k}}

Perioda, hmotnost i tuhost pružiny jsou v tomto modelu kladné. Obě strany jsou tedy nezáporné a můžeme je umocnit na druhou. Potom obě strany vynásobíme \(k\):

\begin{aligned} &\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{m}{k}\qquad\big|\,\cdot k\\[0.8em] &\boldsymbol{m=\frac{kT^2}{4\pi^2}} \end{aligned}

Umocnění obou stran na druhou může přidat řešení, které původní rovnici nesplňuje. Tady je však bezpečné, protože perioda i odmocnina jsou nezáporné.

Jak výsledek zkontrolovat

Nejbezpečnější je dosadit odvozený výraz zpět do původní rovnice a ověřit, že na obou stranách vyjde totéž. U fyzikálních vzorců zkontrolujeme také jednotky. U výsledku \(m=\frac{kT^2}{4\pi^2}\) například platí:

\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\cdot\mathrm{s}^2=\frac{\mathrm{kg}\,\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\cdot\frac{1}{\mathrm{m}}\cdot\mathrm{s}^2=\mathrm{kg}

Jednotky souhlasí: vyšel kilogram, tedy jednotka hmotnosti. Je to užitečná kontrola, i když sama ještě nezaručuje správný výsledek. Žádný výraz přes rovnítko zázračně nepřechází. Vždy upravujeme obě strany stejně.

Po stisknutí tlačítka se objeví tiskový dialog. V políčku pro tiskárnu vyberte Uložit jako PDF, případně můžete kapitolu rovnou vytisknout.

Prosím, ohodnoťte tuto kapitolu

Ohodnoťte prosím kapitolu podle toho, jak dobře byla vysvětlená.
Pomáhá nám to tvořit stále lepší a lepší obsah. Děkujeme.

Zatím nehodnoceno.