Zlomky a procenta I

Zlomková čára, sčítání, odčítání, násobení a dělení zlomků. Krácení zlomků, složené zlomky. Znak procent, procenta.

Co je zlomek

Zlomkem často vyjadřujeme část celku. Zápis \(\frac{3}{4}\) říká, že jsme celek rozdělili na čtyři stejné části a tři z nich bereme.

\[ \frac{\textcolor{#d60000}{3}}{\textcolor{#0070c9}{4}} \]

Číslo nahoře se jmenuje čitatel. Říká, kolik dílků bereme. Číslo dole je jmenovatel. Říká, na kolik stejně velkých dílků jsme celek rozdělili. Proto se například \(\frac{3}{4}\) čte „tři čtvrtiny“.

Nejdříve však musí být jasné, co považujeme za celek. Tři čtvrtiny malé pizzy a tři čtvrtiny velké pizzy jsou stejný podíl, ale jiné množství.

Na obrázku jsou dva kruhy rozdělené na osm stejných dílků. Jeden fialový dílek tvoří \(\frac{1}{8}\) kruhu. Dva zelené dílky tvoří \(\frac{2}{8}\), tedy po zkrácení \(\frac{1}{4}\).

Dva kruhy rozdělené na osminy: v prvním je vybarvena jedna osmina, ve druhém dvě osminy neboli jedna čtvrtina.

Zlomková čára znamená dělení.

\[ \frac{3}{4} = 3 \mathbin{:} 4 = 0{,}75 \]

Zlomková čára zároveň určuje, co přesně dělíme: celý výraz nad čárou dělíme celým výrazem pod ní. Je to stejné, jako bychom oba výrazy uzavřeli do závorek:

\[ \frac{2+4}{3+1} = (2+4)\mathbin{:}(3+1) = 6\mathbin{:}4 = \frac{3}{2} \]

Výraz proto nepočítáme postupně jako \(2+4\mathbin{:}3+1\). Nejprve vypočítáme celý čitatel a celý jmenovatel. Teprve potom jejich výsledky vydělíme.

Jmenovatel nesmí být nula, protože nulou dělit nelze. Platí tedy \(\frac{0}{5}=0\), ale zápis \(\frac{5}{0}\) nemá hodnotu.

Rozšiřování a krácení

Hodnotu zlomku nezměníme, když jeho čitatele i jmenovatele vynásobíme stejným nenulovým číslem. Tomu říkáme rozšiřování zlomku.

\[ \frac{2}{3} = \frac{2\cdot\textcolor{#d60000}{4}}{3\cdot\textcolor{#d60000}{4}} = \frac{8}{12} \]

Ve skutečnosti jsme zlomek \(\frac{2}{3}\) vynásobili zlomkem \(\frac{4}{4}\). Protože \(\frac{4}{4}=1\), hodnota původního zlomku se nezměnila.

Opačný postup je krácení zlomku. Čitatele i jmenovatele vydělíme stejným společným dělitelem.

\[ \frac{18}{24} = \frac{18\mathbin{:}\textcolor{#0070c9}{6}}{24\mathbin{:}\textcolor{#0070c9}{6}} = \frac{3}{4} \]

Zlomek \(\frac{3}{4}\) už zkrátit nelze. Říkáme, že je v základním tvaru.

Krátit smíme pouze společné činitele celého čitatele a jmenovatele. Čísla uvnitř součtu nebo rozdílu samostatně krátit nesmíme:

\[ \frac{\textcolor{#d60000}{3}\cdot 5}{\textcolor{#d60000}{3}\cdot 7} = \frac{5}{7}, \qquad \frac{3+5}{3+7} = \frac{8}{10} \ne \frac{5}{7} \]

Porovnávání zlomků

Mají-li zlomky stejný jmenovatel, porovnáváme čitatele: pět sedmin je více než tři sedminy. Mají-li různé jmenovatele, nejprve je převedeme na společného jmenovatele. Tím získáme stejně velké dílky, které už můžeme porovnat.

\[ \textcolor{#d60000}{\frac{5}{6}} = \frac{15}{18}, \qquad \textcolor{#0070c9}{\frac{7}{9}} = \frac{14}{18}, \qquad \frac{5}{6} > \frac{7}{9} \]

Po rozšíření porovnáváme patnáct osmnáctin se čtrnácti osmnáctinami. První zlomek je tedy větší.

Sčítání a odčítání zlomků

Se stejnými jmenovateli sčítáme nebo odčítáme pouze čitatele. Velikost dílků se nemění.

\[ \frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}, \qquad \frac{6}{11}-\frac{1}{11}=\frac{5}{11} \]

U různých jmenovatelů jsou dílky různě velké. Nejdříve proto oba zlomky převedeme na společného jmenovatele. Nejjednodušší výpočet obvykle získáme pomocí nejmenšího společného násobku obou jmenovatelů.

\[ \frac{1}{3}+\frac{1}{4} = \frac{\textcolor{#d60000}{4}}{12} + \frac{\textcolor{#0070c9}{3}}{12} = \frac{7}{12} \]

Jednu třetinu jsme rozšířili čtyřmi a jednu čtvrtinu třemi. Teprve když máme stejně velké dvanáctiny, můžeme je sečíst.

\[ \frac{5}{6}-\frac{1}{4} = \frac{10}{12}-\frac{3}{12} = \frac{7}{12} \]

Jmenovatele mezi sebou nesčítáme. Zápis \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{2}{7}\) je chybný: třetiny a čtvrtiny nejsou stejně velké díly.

Násobení zlomků

Při násobení vynásobíme čitatele mezi sebou a jmenovatele mezi sebou. Společného jmenovatele zde nehledáme.

\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{7} = \frac{2\cdot5}{3\cdot7} = \frac{10}{21} \]

Před násobením můžeme krátit. Barevně jsou označeny dvojice, které mají společného dělitele:

\[ \frac{\textcolor{#d60000}{3}}{\textcolor{#0070c9}{7}} \cdot \frac{\textcolor{#0070c9}{14}}{\textcolor{#d60000}{9}} = \frac{1}{1}\cdot\frac{2}{3} = \frac{2}{3} \]

Trojku a devítku jsme vydělili třemi. Čtrnáctku a sedmičku jsme vydělili sedmi. Krátit můžeme i napříč, protože po vynásobení budou všechna horní čísla v čitateli a všechna dolní čísla ve jmenovateli.

Dělení zlomků

Dělení převedeme na násobení. První zlomek ponecháme a převrátíme pouze druhý zlomek – ten, kterým dělíme.

\[ \frac{3}{5}\mathbin{:}\frac{9}{10} = \frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9} = \frac{2}{3} \]

Dělit číslem je totéž jako násobit jeho převrácenou hodnotou. Proto dělení zlomkem \(\frac{9}{10}\) nahradíme násobením zlomkem \(\frac{10}{9}\).

Převrací se jen dělitel, nikdy oba zlomky. Dělitel navíc nesmí být nula.

Co znamenají procenta

Slovo procento znamená „ze sta“. Zápis \(x\,\%\) proto znamená \(\frac{x}{100}\):

\[ 1\,\%=\frac{1}{100}=0{,}01, \qquad 100\,\%=\frac{100}{100}=1 \]
Kruh rozdělený na osm stejných dílků, z nichž dva zelené představují jednu čtvrtinu neboli 25 procent.
Je-li celý kruh \(100\,\%\), dva z osmi dílků tvoří \(\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=25\,\%\) (\(25\,\%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}\)).

U procent musíme vždy vědět, co je celý základ, tedy \(100\,\%\). Je-li celkem jeden kruh, tvoří tento kruh \(100\,\%\). Jsou-li celkem dva stejné kruhy, jeden z nich tvoří \(50\,\%\).

Počet procent může být i větší než sto. Například \(125\,\%=1{,}25\), tedy jeden celý celek a ještě jeho čtvrtina.

Procento, procentní bod

Ve třídě chodilo na obědy \(20\,\%\) žáků, teď chodí \(30\,\%\). Rozdíl \(30-20=10\) znamená nárůst o 10 procentních bodů.

O kolik procent vzrostl původní podíl? Přírůstek 10 porovnáme s původními 20: \(\frac{10}{20}=0{,}5=50\,\%\). Podíl tedy vzrostl o 50 %.

Procentní body jsou rozdíl dvou procentních údajů. Procenta změny říkají, jak velká je změna vzhledem k původní hodnotě.

Zlomek, desetinné číslo a procenta

Stejnou hodnotu můžeme zapsat zlomkem, desetinným číslem i procenty:

\[ 25\,\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0{,}25 \]
\[ \frac{3}{5} = \frac{60}{100} = 0{,}6 = 60\,\% \]

Při převodu zlomku na procenta zjišťujeme, kolik setin daný zlomek představuje. Pokud jej lze rozšířit na jmenovatele 100, přečteme procenta přímo z čitatele. Jinak vydělíme čitatele jmenovatelem, desetinný výsledek vynásobíme stem a doplníme znak \(\%\).

Procento i zlomek jsou samy o sobě čísla. Samotných \(25\,\%\) je vždy číslo \(0{,}25\), tedy \(\frac{1}{4}\). Výsledek 25 nebo 50 dostaneme až tehdy, když tuto část vezmeme z určitého základu.

Konkrétní velikost části určí až otázka „z čeho?“:

\[ \begin{aligned} 25\,\%\text{ ze }100 &= 0{,}25\cdot100 = 25, \\[6pt] \frac{1}{4}\text{ ze }100 &= 25, \\[9pt] 25\,\%\text{ z }200 &= 0{,}25\cdot200 = 50, \\[6pt] \frac{1}{4}\text{ z }200 &= 50. \end{aligned} \]

V běžné řeči procenta většinou spojujeme s nějakým základem, například \(25\,\%\) z 200. Zlomek naopak často zapisujeme samostatně, například \(\frac{1}{4}=0{,}25\). Matematicky však \(25\,\%\) a \(\frac{1}{4}\) znamenají totéž. Teprve údaj „z čeho“ určí skutečnou velikost dané části.

Odmocniny z procent

Znak \(\%\) je součástí zápisu čísla. Než začneme odmocňovat, přepíšeme proto procenta jako zlomek se jmenovatelem 100. Protože zde máme kladné zlomky, můžeme potom odmocnit čitatele a jmenovatele zvlášť.

Příklad 1: Vypočítej \(\sqrt{25\,\%}\).

\[ \begin{aligned} \sqrt{25\,\%} &=\sqrt{\frac{25}{100}} ={} \\[5pt] &=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}} ={} \\[5pt] &=\frac{5}{10} ={} \\[5pt] &=0{,}5 ={} \\[5pt] &=50\,\%. \end{aligned} \]

Pod odmocninou není samotné číslo 25, ale celá hodnota \(25\,\%=\frac{25}{100}\). Výsledek proto není \(5\,\%\), ale \(50\,\%\).

Příklad 2: Vypočítej \(\sqrt{16\,\%}\).

\[ \begin{aligned} \sqrt{16\,\%} &=\sqrt{\frac{16}{100}} ={} \\[5pt] &=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{100}} ={} \\[5pt] &=\frac{4}{10} ={} \\[5pt] &=0{,}4 ={} \\[5pt] &=40\,\%. \end{aligned} \]

Porovnání: Které číslo je větší: \(\sqrt{49\,\%}\), nebo \(7\,\%\)?

Nejprve vypočítáme odmocninu. Potom obě čísla převedeme do stejného tvaru, aby se dala snadno porovnat.

\[ \begin{aligned} \sqrt{49\,\%} &=\sqrt{\frac{49}{100}} ={} \\[5pt] &=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}} ={} \\[5pt] &=\frac{7}{10} ={} \\[5pt] &=0{,}7 ={} \\[5pt] &=70\,\%, \end{aligned} \]
\[ 7\,\%=\frac{7}{100}=0{,}07 \]

Číslo \(0{,}7\) je větší než \(0{,}07\). Platí tedy:

\[ \boxed{\sqrt{49\,\%}>7\,\%} \]

Odmocnina ze \(49\,\%\) je \(70\,\%\), nikoli \(7\,\%\). Sedmdesát procent je desetkrát tolik co sedm procent.

Tři základní výpočty s procenty

V procentních úlohách obvykle hledáme jednu ze tří věcí: část, procentní podíl, nebo celý základ. Nejdříve si proto ujasníme, kterou z nich neznáme.

Hledáme část: Kolik je \(15\,\%\) z 240?

\[ \frac{15}{100}\cdot240 = 0{,}15\cdot240 = 36 \]

Hledáme procentní podíl: Kolik procent z 240 tvoří 36?

\[ \frac{36}{240}\cdot100\,\% = 15\,\% \]

Hledáme celek: Patnáct procent z jakého čísla je 36?

\[ 0{,}15\cdot x=36, \qquad x=\frac{36}{0{,}15}=240 \]

Dvě užitečná rozlišení

Zmenšit o \(40\,\%\) znamená odebrat \(40\,\%\) původní hodnoty, takže zbude \(60\,\%\). Zmenšit na \(40\,\%\) znamená ponechat pouze \(40\,\%\) původní hodnoty.

Někdy je výpočet jednodušší, když procenta a základ prohodíme:

\[ \begin{aligned} 25\,\%\text{ z }80 &= \frac{25}{100}\cdot80 = 20, \\[8pt] 80\,\%\text{ z }25 &= \frac{80}{100}\cdot25 = 20. \end{aligned} \]

Funguje to proto, že při násobení lze prohodit pořadí činitelů. Obecně tedy \(p\,\%\text{ z }a=a\,\%\text{ z }p\). Obě otázky se slovně liší, ale výpočet dává stejné číslo.

Smíšeným číslům, složeným zlomkům a podrobným slovním úlohám se věnuje druhý díl kapitoly.

Po stisknutí tlačítka se objeví tiskový dialog. V políčku pro tiskárnu vyberte Uložit jako PDF, případně můžete kapitolu rovnou vytisknout.

Prosím, ohodnoťte tuto kapitolu

Ohodnoťte prosím kapitolu podle toho, jak dobře byla vysvětlená.
Pomáhá nám to tvořit stále lepší a lepší obsah. Děkujeme.

Zatím nehodnoceno.