Zlomky a procenta II

Úlohy na zlomky a procenta

Smíšená čísla

Zápis \(2\frac{3}{5}\) nazýváme smíšené číslo (někdy také smíšený zlomek). Znamená dvě celé jednotky a tři pětiny další jednotky:

\[ 2\frac{3}{5} = 2+\frac{3}{5} \]
Dva celé vybarvené kruhy a tři vybarvené pětiny třetího kruhu znázorňují smíšené číslo dvě a tři pětiny.
Dva celé kruhy a tři pětiny dalšího kruhu: \(2+\frac{3}{5}=2\frac{3}{5}\).

Číslo 2 a zlomek \(\frac{3}{5}\) se zde nenásobí. Znaménko plus se pouze nepíše.

Při převodu na nepravý zlomek nejprve zjistíme, kolik pětin tvoří dvě celé jednotky. Každá jednotka má pět pětin, dvě jednotky tedy deset pětin. Přidáme ještě tři pětiny:

\[ 2\frac{3}{5} = \frac{\textcolor{#d60000}{2\cdot5} +\textcolor{#0070c9}{3}}{5} = \frac{10+3}{5} = \frac{13}{5} \]

Červeně je výpočet \(2\cdot5=10\): dvě celé jednotky jsou deset pětin. Modře jsou původní tři pětiny. Jmenovatel 5 se nemění.

Při převodu zpět vydělíme čitatele jmenovatelem. Výsledek dělení určí počet celých jednotek. Zbytek zapíšeme nad původní jmenovatel:

\[ 17\mathbin{:}4=4\text{ se zbytkem }1, \qquad \frac{17}{4}=4\frac{1}{4} \]

Kontrola: \(4\cdot4+1=17\). Při počítání se smíšenými čísly bývá nejbezpečnější nejprve je převést na nepravé zlomky. Například při sčítání postupujeme takto:

\[ \begin{aligned} 1\frac{2}{3}+2\frac{3}{4} &= \frac{5}{3}+\frac{11}{4} ={} \\[7pt] &= \frac{20}{12}+\frac{33}{12} ={} \\[7pt] &= \frac{53}{12} = 4\frac{5}{12} \end{aligned} \]

Složené zlomky

Ve složeném zlomku najdeme další zlomky nad hlavní zlomkovou čárou, pod ní nebo na obou místech. Hlavní čára odděluje celý horní výraz od celého dolního a znamená jejich dělení.

\[ \frac{\dfrac{3}{7}}{\dfrac{14}{9}} = \frac{3}{7}\mathbin{:}\frac{14}{9} = \frac{3}{7}\cdot\frac{9}{14} = \frac{27}{98} \]

V tomto jednoduchém příkladu můžeme použít barevnou zkratku: červená čísla 3 a 9 vynásobíme do čitatele, modrá čísla 7 a 14 do jmenovatele.

\[ \frac{ \dfrac{\textcolor{#d60000}{3}}{\textcolor{#0070c9}{7}} }{ \dfrac{\textcolor{#0070c9}{14}}{\textcolor{#d60000}{9}} } = \frac{ \textcolor{#d60000}{3\cdot9} }{ \textcolor{#0070c9}{7\cdot14} } = \frac{27}{98} \]

Pamatovat si stačí jediný postup: hlavní zlomkovou čáru nahradíme dělením a dělitel převrátíme. Barevná zkratka funguje přímo jen tehdy, když jsou nahoře i dole jednotlivé zlomky. Pokud je nad nebo pod hlavní čárou součet či rozdíl, musíme nejprve vypočítat celý daný výraz.

V následujícím příkladu nejprve spočítáme zvlášť výraz nad hlavní zlomkovou čárou a výraz pod ní:

\[ \frac{ \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6} }{ \dfrac{5}{4}-\dfrac{1}{2} } \]

První postup: zvlášť upravíme celý čitatel a celý jmenovatel.

\[ \frac{2}{3}+\frac{1}{6} = \frac{4}{6}+\frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]
\[ \frac{5}{4}-\frac{1}{2} = \frac{5}{4}-\frac{2}{4} = \frac{3}{4} \]

Nyní zůstalo dělení dvou obyčejných zlomků:

\[ \frac{\dfrac{5}{6}}{\dfrac{3}{4}} = \frac{5}{6}\mathbin{:}\frac{3}{4} = \frac{5}{6}\cdot\frac{4}{3} = \frac{20}{18} = \frac{10}{9} \]

Druhý postup: složený zlomek rozšíříme číslem 12. Toto číslo je dělitelné čísly 3, 6, 4 i 2, takže po vynásobení zmizí všechny malé jmenovatele. Hodnota se nezmění, protože celý čitatel i celý jmenovatel násobíme stejným nenulovým číslem.

\[ \frac{ 12\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}\right) }{ 12\left(\dfrac{5}{4}-\dfrac{1}{2}\right) } = \frac{8+2}{15-6} = \frac{10}{9} \]

Druhý postup je kratší, první však bývá zpočátku přehlednější. Pod žádnou zlomkovou čárou nesmí být nula.

Úlohy na zlomky

1. Zásoba krmiva
Ve skladu bylo 250 kg krmiva. V prvním týdnu se spotřebovaly \(\frac{3}{10}\) celé zásoby. Ve druhém týdnu se spotřebovaly \(\frac{2}{7}\) z množství, které po prvním týdnu zbylo. Kolik kilogramů se spotřebovalo v jednotlivých týdnech a kolik krmiva zůstalo?

Krok 1: Zjistíme, z čeho počítáme první zlomek.
Tři desetiny se počítají z původní zásoby 250 kg:

\[ \frac{3}{10}\cdot250 = 3\cdot(250\mathbin{:}10) = 3\cdot25 = 75 \]

V prvním týdnu se spotřebovalo 75 kg.

Krok 2: Spočítáme, kolik krmiva zbylo.

\[ 250-75=175 \]

Po prvním týdnu tedy zbývalo 175 kg.

Krok 3: Druhý zlomek počítáme ze zbytku.
Po prvním týdnu zůstalo 175 kg. Právě z tohoto množství, nikoli z původních 250 kg, nyní počítáme dvě sedminy:

\[ \frac{2}{7}\cdot175 = 2\cdot(175\mathbin{:}7) = 2\cdot25 = 50 \]

Ve druhém týdnu se spotřebovalo 50 kg.

Krok 4: Spočítáme konečný zbytek.

\[ 175-50=125 \]

Kontrola: oba spotřebované díly a zbytek se musí sečíst na původních 250 kg.

\[ 75+50+125=250 \]

První týden se spotřebovalo 75 kg, druhý týden 50 kg a zůstalo 125 kg krmiva.

2. Bedny jablek
Pěstitel odvezl \(\frac{2}{9}\) všech beden jablek do moštárny. Potom dodal \(\frac{3}{7}\) ze zbývajících beden do prodejny. Nakonec mu zůstalo 120 beden. Kolik beden měl původně a kolik jich odvezl na každé místo?

Původní počet neznáme. Víme jen, že na konci zůstalo 120 beden. Nejprve proto zjistíme, jakou část původního počtu těchto 120 beden představuje.

Krok 1: Určíme, jaká část zůstala po prvním odvozu.

\[ 1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9} \]

Po odvozu do moštárny zůstalo sedm devítin původního množství.

Krok 2: Určíme, jaká část zůstala po druhém odvozu.
Do prodejny šly tři sedminy zbytku. Ze zbytku tedy zůstaly čtyři sedminy:

\[ 1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7} \]

Po prvním odvozu zůstalo \(\frac{7}{9}\) původního počtu. Z tohoto zbytku pak zůstaly \(\frac{4}{7}\), proto počítáme \(\frac{4}{7}\) ze \(\frac{7}{9}\):

\[ \frac{4}{7}\cdot\frac{7}{9} = \frac{4}{9} \]

Konečných 120 beden tedy představuje \(\frac{4}{9}\) původního počtu.

Krok 3: Z části dopočítáme celek.
Čtyři stejné devítiny představují 120 beden. Jedna devítina tedy představuje \(120\mathbin{:}4=30\) beden:

\[ \frac{1}{9}\text{ celku}=120\mathbin{:}4=30 \]

Celý původní počet tvoří devět devítin:

\[ 9\cdot30=270 \]

Krok 4: Z původních 270 beden spočítáme oba odvozy.

\[ \text{moštárna:}\quad \frac{2}{9}\cdot270=60 \]
\[ \text{po prvním odvozu:}\quad 270-60=210 \]
\[ \text{prodejna:}\quad \frac{3}{7}\cdot210=90 \]

Kontrola:

\[ 60+90+120=270 \]

Původně bylo 270 beden. Do moštárny jich pěstitel odvezl 60, do prodejny 90 a 120 beden mu zůstalo.

Procento, procentní bod

Podíl prodaných vstupenek vzrostl z \(40\,\%\) na \(50\,\%\). To je o \(50-40=10\) procentních bodů.

Vzhledem k původním 40 je však přírůstek 10 jedna čtvrtina: \(\frac{10}{40}=0{,}25=25\,\%\). Podíl tedy vzrostl o 25 %.

Procentní body získáme odečtením procentních údajů. Procenta změny počítáme z původní hodnoty.

Úlohy na procenta

1. Vstupenky na festival
Do předprodeje bylo uvolněno 640 vstupenek na festival. Během prvního týdne se prodalo \(65\,\%\) všech vstupenek. Kolik vstupenek se prodalo a kolik jich zůstalo?

Krok 1: Najdeme jedno procento.
Celých 640 vstupenek představuje \(100\,\%\), takže jedno procento získáme dělením stem:

\[ 640\mathbin{:}100=6{,}4 \]

Číslo 6,4 zde není skutečný počet prodaných vstupenek, ale pouze pomocná hodnota jednoho procenta. Po vynásobení číslem 65 dostaneme celých 416 vstupenek.

Krok 2: Hodnotu jednoho procenta vynásobíme číslem 65.

\[ 65\cdot6{,}4=416 \]

Stejný výpočet lze zapsat kratším způsobem:

\[ 65\,\%\text{ z }640 = 0{,}65\cdot640 = 416 \]

Krok 3: Dopočítáme neprodané vstupenky.

\[ 640-416=224 \]

Kontrola: Neprodané vstupenky tvoří \(100\,\%-65\,\%=35\,\%\).

\[ 0{,}35\cdot640=224 \]

Prodalo se 416 vstupenek a 224 jich zůstalo.

2. Voda v nádrži
Po odčerpání \(15\,\%\) vody z nádrže v ní zůstalo 1 530 litrů. Potom se odčerpalo ještě \(10\,\%\) z množství, které v nádrži právě bylo. Kolik litrů obsahovala nádrž původně, kolik vody zůstalo nakonec a kolik procent původního množství se odčerpalo celkem?

Krok 1: Zjistíme, kolik procent vody po prvním odčerpání zůstalo.

\[ 100\,\%-15\,\%=85\,\% \]

Zbylých 1 530 litrů tedy představuje \(85\,\%\) původního množství.

Krok 2: Z 85 % dopočítáme původních 100 %.
Jestliže \(85\,\%\) odpovídá 1 530 litrům, jedno procento je:

\[ 1\,530\mathbin{:}85=18\ \text{litrů} \]

Původních \(100\,\%\) tedy bylo:

\[ 100\cdot18=1\,800\ \text{litrů} \]

Nádrž původně obsahovala 1 800 litrů.

Krok 3: Dalších 10 % počítáme z množství, které po prvním odčerpání zůstalo.
Základem už není původních 1 800 litrů, ale zbývajících 1 530 litrů.

\[ 0{,}10\cdot1\,530=153 \]

Podruhé se odčerpalo 153 litrů. V nádrži nakonec zůstalo:

\[ 1\,530-153=1\,377 \]

Krok 4: Zjistíme, kolik procent vody se odčerpalo celkem.
Nejprve spočítáme odčerpané litry:

\[ 1\,800-1\,377=423\ \text{litrů} \]

Nyní zjistíme, kolik procent z původních 1 800 litrů tvoří odčerpaných 423 litrů:

\[ \frac{423}{1\,800}\cdot100\,\% = 23{,}5\,\% \]

Ještě si ověříme, proč nelze jednoduše sečíst \(15\,\%\) a \(10\,\%\). Po prvním odčerpání zůstalo \(85\,\%\) původního množství a po druhém \(90\,\%\) z tohoto zbytku:

\[ 0{,}85\cdot0{,}90 = 0{,}765 = 76{,}5\,\% \]

Zůstalo \(76{,}5\,\%\), takže se celkem odčerpalo \(100\,\%-76{,}5\,\%=23{,}5\,\%\). Procenta \(15\,\%\) a \(10\,\%\) jsme nesčetli, protože se počítala z různých základů.

Nádrž původně obsahovala 1 800 litrů, nakonec v ní zůstalo 1 377 litrů a celkem se odčerpalo 23,5 % původního množství.

Další příklady najdete ve sbírce úloh ke zlomkům a procentům.

Po stisknutí tlačítka se objeví tiskový dialog. V políčku pro tiskárnu vyberte Uložit jako PDF, případně můžete kapitolu rovnou vytisknout.

Prosím, ohodnoťte tuto kapitolu

Ohodnoťte prosím kapitolu podle toho, jak dobře byla vysvětlená.
Pomáhá nám to tvořit stále lepší a lepší obsah. Děkujeme.

Zatím nehodnoceno.