Společné řešení: roviny na Fermatově kvartické čtyřvarietě
- Nový společný výpočet skutečně proběhl: vygeneroval 960 různých rovin a jejich úplnou celočíselnou průnikovou matici. Samostatný program přímo vyřešil všech 461 280 dvojic lineárních soustav nad \(\mathbb Q(\zeta_8)\).
- Výsledek: hodnost matice nad \(\mathbb Q\) je 142. Konkrétní hlavní minor řádu 142 má přesný determinant \(2^{128}\ne0\), nově ověřený dvěma odlišnými přesnými algoritmy.
- Důsledek: nezávislá horní mez je \(h^{2,2}=1+141=142\). Uvedených 142 tříd rovin tvoří bázi všech racionálních Hodgeových tříd v \(H^4(X,\mathbb Q)\) této konkrétní variety.
Jde o reprodukované ověření známého racionálního výsledku. Celočíselná generovanost a obecná Hodgeova domněnka tím prokázány nejsou.
1. Varieta a všech 960 rovin
Pracujeme s
\[X=\{F=x_0^4+\cdots+x_5^4=0\}\subset\mathbb P^5_{\mathbb C}.\]
Je to hladká projektivní čtyřvarieta: současné nulování parciálních derivací \(4x_i^3\) by vynutilo nulový vektor, který není projektivním bodem. Položme \(z=\zeta_8\). Přesné těleso koeficientů je
\[K=\mathbb Q[z]/(z^4+1),\qquad z^4=-1,\]
s bází \((1,z,z^2,z^3)\); kořeny \(u^4=-1\) jsou \(z,z^3,z^5,z^7\).
Šest souřadnic rozdělíme do tří neuspořádaných dvojic. Rekurze vždy vezme nejmenší zbývající index \(a\) a spojí jej postupně se všemi většími zbývajícími indexy \(b\). Tím vznikne \(5\cdot3\cdot1=15\) rozdělení. Pro každé procházíme lexikograficky \((e_1,e_2,e_3)\in\{1,3,5,7\}^3\), poslední exponent nejrychleji. Veřejné indexy začínají jedničkou. Příslušná rovina má rovnice
\[x_{a_k}=z^{e_k}x_{b_k},\qquad k=1,2,3.\]
Rovnice jsou nezávislé, takže určují vektorový prostor dimenze 3 a projektivní rovinu. Dosazením dostáváme \(F|_P=\sum_k((z^{e_k})^4+1)t_k^4=0\). Program ověřil tyto koeficienty přesně pro všech \(15\cdot4^3=960\) rovin.
Tři řádky každé soustavy jsou již v redukovaném řádkovém tvaru: vedoucí jedničky jsou v rostoucích sloupcích \(a_k<b_k\), žádná souřadnice nepatří dvěma dvojicím. Program nad \(K\) zkontroloval jejich skutečné redukované tvary a zjistil 960 různých matic. Jednoznačnost redukovaného tvaru proto dokazuje geometrickou odlišnost rovin. Úplné rovnice a číslování jsou v roviny.tsv, strukturované trojice a pořadí rozdělení v roviny.json.
2. Průniky: geometrie a přesné řešení soustav
Spojení rovnic dvou rovin dává šest lineárních rovnic v šesti souřadnicích. Je-li dimenze jejich vektorového jádra \(v\), projektivní průnik má dimenzi \(m=v-1\); při \(v=0\) je prázdný a používáme konvenci \(m=-1\).
Průniková čísla uvnitř \(X\)
- Disjunktní roviny mají průnikové číslo 0.
- Při společném bodě se jejich dvourozměrné tečné prostory doplňují na čtyřrozměrný tečný prostor \(X\). Průnik je příčný a má násobnost 1.
- Při společné přímce \(L\) jde o čistý průnik. Přebytečný svazek \(E=T_X|_L/(T_P|_L+T_Q|_L)\) má hodnost 1 a
\[\deg c_1(E)=2-3-3+2=-2,\]
protože \(c_1(T_X)=2h\), \(c_1(T_{\mathbb P^2})=3h\) a \(c_1(T_L)=2h\). Přebytečná průniková formule dává \(P\cdot Q=-2\).
- Pro vlastní průnik máme normálovou posloupnost
\[0\longrightarrow N_{P/X}\longrightarrow\mathcal O_P(1)^3
\longrightarrow\mathcal O_P(4)\longrightarrow0.\]
Pravá šipka je surjektivní díky hladkosti. Proto
\[c(N_{P/X})=\frac{(1+h)^3}{1+4h}=1-h+7h^2,
\qquad P^2=\int_Pc_2(N_{P/X})=7.\]
Výsledkem jsou čísla \(0,1,-2,7\), ve shodě s obecným vzorcem
\[P\cdot Q=\frac{1-(-3)^{m+1}}4.\]
Toto je specializace vzorce (6) v §3.1 Aljovin–Movasati–Villaflor Loyola, v2.
Provedené výpočetní kontroly
Generátor počítá dimenzi jádra pomocí grafu rovnic. V souvislé komponentě jsou všechny souřadnice mocninami \(z\) krát jednu souřadnici. Jsou-li poměry podél všech cyklů konzistentní, vznikne jeden volný parametr; rozpor vynutí nulování celé komponenty. Exponenty modulo 8 zde přesně popisují kořeny jednotky v \(K\), nejde o aproximaci ani o řešení rovnic nad konečným tělesem.
Tato optimalizace byla v novém běhu ověřena několika způsoby:
- Přímá Gaussova eliminace nad \(K\) vyřešila všech 960 dvojic \((P_1,P_j)\) po dosazení parametrizace první roviny. Soustavy a báze jader jsou v primy-postup.json.
- Každá dvojice byla převedena na tento tvar automorfismem \(X\). V tomto převodu číslujeme tři dvojice pomocí \(k=0,1,2\). Pro rovnici první roviny \(x_a=z^e x_b\) použijeme \(y_{2k}=z^{1-e}x_a\), \(y_{2k+1}=x_b\). Násobitel má čtvrtou mocninu 1, takže zachovává \(F\). Grafový výsledek byl porovnán s odpovídajícím přímým řešením pro všech 461 280 dvojic včetně diagonály. Proběhlo navíc 1216 eliminací bez normalizace: celá diagonála a 256 dvojic s pevným semenem.
- Samostatný program řešitele 3 nově přímo sestavil a eliminoval všech 461 280 původních soustav \(6\times6\) bez této normalizace. Prvky ukládá jako čtveřice celých koeficientů modulo \(z^4+1\). Nenulové násobení řádku a přesné krácení jeho celočíselného obsahu zachovává hodnost nad \(K\). Kontroly přetečení prošly; největší kontrolovaný celočíselný mezivýsledek byl 2. Program porovnal obě poloviny uložené matice a znovu vyloučil geometrické duplicity.
Převod pro třetí kontrolu mění pouze veřejný index \(i\) na interní \(i-1\). Zpětné načtení exportu ověřilo shodu všech 960 rovnic i pořadí; doloženo v prevod-indexu.json. Surový protokol přímé kontroly používá interní nulové indexy.
Reprezentanty lze vyřešit i ručně. Roviny \(P_1,P_2,P_6,P_{22}\) mají dvojice \((01)(23)(45)\) a exponenty \((1,1,1),(1,1,3),(1,3,3),(3,3,3)\). Jejich společná řešení s \(P_1\) jsou postupně
\[(zs,s,zt,t,zu,u),\allowbreak\quad(zs,s,zt,t,0,0),\allowbreak\quad(zs,s,0,0,0,0),\allowbreak\quad0.\]
Odečtení dvou rovnic s různými exponenty totiž vynutí nulu v příslušné dvojici souřadnic. Tím jsou pokryty všechny čtyři typy. Úplná matice.csv má rozměr \(960\times960\), je symetrická a všechny diagonální hodnoty jsou 7.
3. Konkrétní báze, minor a dolní mez hodnosti
Úplná modulární eliminace matice nad \(\mathbb F_{1000003}\) našla 142 pivotů. Prvočíselnost modulu byla ověřena; algoritmus neměl předem nastavenou cílovou hodnost. Pivotní sloupce dávají následující jedničkové indexy množiny \(I\):
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 17, 18, 19, 21, 22, 23,
25, 26, 27, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 65, 66, 67, 69,
70, 71, 81, 82, 83, 85, 86, 87, 97, 98, 99, 101, 102, 103, 129, 130,
131, 133, 145, 146, 147, 149, 161, 162, 163, 165, 193, 194, 195, 197, 198, 199,
201, 202, 203, 209, 210, 211, 213, 214, 215, 217, 218, 219, 257, 258, 259, 261,
262, 263, 273, 274, 275, 277, 278, 279, 321, 322, 323, 325, 337, 338, 339, 341,
385, 386, 387, 389, 390, 391, 393, 394, 395, 401, 402, 403, 449, 450, 451, 453,
454, 455, 465, 466, 513, 514, 515, 517, 577, 578, 579, 581, 582, 585, 586, 593,
641, 642, 645, 646, 705, 709, 769, 770, 771, 773, 774, 785, 833, 834
Příslušné rovnice obsahují baze.tsv a baze.json. V témže pořadí jsme vyjmuli řádky i sloupce a vytvořili hlavní minor \(B=M_{I,I}\), uložený v minor.csv. Certifikát obsahuje oba seznamy indexů, přesný determinant, Bareissovy pivoty a kontrolní otisky.
Bareissova eliminace nad celými čísly, s kontrolou bezezbytkovosti všech dělení, dala
\[\det B=2^{128}.\]
Další kontroly daly \(3026\pmod{1000003}\) a \(1\pmod{65537}\). Samostatný ověřovač nově načetl uložená data, ověřil vyjmutí minoru a znovu spočítal celý determinant nad \(\mathbb Q\) pomocí symetrické eliminace se zlomky. Vyšlo stejné číslo; skutečný výstup je v overeni-determinantu.txt.
Nenulový minor dokazuje \(\operatorname{rank}_{\mathbb Q}M\ge142\). Současně dokazuje nezávislost tříd \([P_i]\), \(i\in I\), i nad \(\mathbb C\): případná relace by po spárování s týmiž třídami dala invertibilní homogenní soustavu \(Bq=0\). Modulární hodnost sama poskytuje jen dolní mez; odpovídající horní mez nyní odvodíme nezávisle.
4. Jacobiho okruh a horní mez
Jacobiho okruh je
\[R=\mathbb C[x_0,\ldots,x_5]/(x_0^3,\ldots,x_5^3).\]
Griffithsův reziduální popis pro hladkou hypersurfu dimenze \(n\) a stupně \(d\) identifikuje příslušný primitivní Hodgeův stupeň \(H^{n-q,q}_{\rm prim}\) s homogenní částí \(R_{(q+1)d-n-2}\). Pro \(n=4,d=4,q=2\) dostáváme \(R_6\). Předpoklady jsou splněny; použitá formulace je v §2 před vzorcem (5) Duque Franco–Villaflor Loyola, v2. Netvrdíme přitom, že jednotlivá monomiální rezidua jsou racionálními Bettiho třídami.
Monomiální bázi \(R\) tvoří exponenty od 0 do 2. Program přesně vynásobil šest faktorů a získal
\[\text{Koeficienty }\allowbreak (1+t+t^2)^6\colon\allowbreak
(1,\allowbreak 6,\allowbreak 21,\allowbreak 50,\allowbreak 90,\allowbreak 126,\allowbreak 141,\allowbreak 126,\allowbreak 90,\allowbreak 50,\allowbreak 21,\allowbreak 6,\allowbreak 1).\]
Koeficient u \(t^6\) ověřil také výčtem všech \(3^6\) možností a inkluzí–exkluzí:
\[\binom{11}{5}-6\binom85+15\binom55=462-336+15=141.\]
Ve společném běhu přibyla kombinatorická kontrola navržená a provedená řešitelem 2 při recenzi: při šesti exponentech se součtem 6 musí být počet nul stejný jako počet dvojek. Je-li tento počet \(k\), zbývá \(6-2k\) jedniček. Proto
\[\dim R_6=\sum_{k=0}^3\frac{6!}{k!^2(6-2k)!}
=1+30+90+20=141.\]
Nově provedenou kontrolu a všech 141 exponentových vektorů obsahuje hodge-doplnek.json.
Slabá Lefschetzova věta dává \(H^2(X,\mathbb C)=\mathbb C h\), kde \(h=c_1(\mathcal O_X(1))\). Lefschetzův rozklad ve stupni 4 pak dává
\[H^{2,2}(X)=H^{2,2}_{\rm prim}(X)\oplus\mathbb C h^2,
\qquad h^{2,2}=141+1=142.\]
Třída \(h^2\) je průnik se dvěma hyperrovinami; je nenulová, protože \(\int_Xh^4=\deg X=4\). Konkrétně první dvě rovnice \(x_0=zx_1\), \(x_2=zx_3\) ponechají rovnici \(x_4^4+x_5^4=0\), která se rozloží na čtyři různé lineární faktory. Jako cyklus proto
\[h^2=[P_1]+[P_2]+[P_3]+[P_4].\]
Matice skutečně ověřila, že tento součet má s každou z 960 rovin průnik 1 a sám se sebou průnik 4.
5. Proč jde o všechny racionální Hodgeovy třídy
Třídy komplexních algebraických rovin jsou celočíselné kohomologické třídy typu \((2,2)\); nevyžaduje se, aby roviny měly rovnice nad \(\mathbb Q\). Průniková matice se tedy faktorizuje přes podprostor \(H^{2,2}(X)\) dimenze 142. Její racionální a komplexní hodnost se shodují, takže
\[142\le\operatorname{rank}_{\mathbb Q}M\le142.\]
Vybraných 142 tříd je komplexně nezávislých, a proto tvoří komplexní bázi \(H^{2,2}(X)\). Zbývá výslovně ověřit racionálnost koeficientů, jak zdůraznil řešitel 2. Pro
\[\alpha\in\operatorname{Hdg}^2(X)
:=H^4(X,\mathbb Q)\cap H^{2,2}(X)\]
napišme \(\alpha=\sum_{i\in I}q_i[P_i]\) nejprve s komplexními \(q_i\). Spárováním s bází dostaneme
\[Bq=(\alpha\cdot P_i)_{i\in I}.\]
Matice \(B\) i pravá strana jsou racionální a \(B\) je invertibilní. Odtud \(q\in\mathbb Q^{142}\), a tedy
\[\boxed{\operatorname{Hdg}^2(X)=\bigoplus_{i\in I}\mathbb Q[P_i].}\]
Obecně se dimenze racionálních Hodgeových tříd nemusí rovnat komplexnímu \(h^{2,2}\). Zde rovnost vyplynula z konkrétního nenulového minoru a nezávislé horní meze.
6. Zdroje, původ výsledku a skutečný společný běh
Konstrukce rovin, průniková teorie, Griffithsův popis a Lefschetzovy věty jsou známou matematikou. Tabulka 1 prvního článku uvádí pro \((n,d)=(4,4)\) hodnost 142; naše eliminace ji nepoužívá jako pravidlo zastavení. Věta 1 společně s podmínkou (3) pokrývá i silnější celočíselný výsledek pro stupeň 4. Náš výpočet jej nedokazuje a nepotřebuje. Přesná místa, původní URL verzí v2 a otisky pracovních kopií uvádí zdroje.md. Úplné cizí články nejsou součástí veřejného balíčku; výpočet na jejich souborech nezávisí.
Tři řešitelé nejprve samostatně vytvořili a uzavřeli své vlastní implementace, data a důkazy. Teprve potom proběhly vzájemné recenze a skutečná vypořádání. Společná verze nyní používá generátor a samostatný racionální ověřovač řešitele 1, přímý ověřovač všech dvojic řešitele 3 a výše popsané matematické upřesnění řešitele 2. Nový spouštěč chrání neprázdný cíl a kontroluje převod číslování. Původ tří převzatých souborů a shodu jejich otisků dokládá puvod-kodu.json.
Tento společný běh skutečně proběhl 16. září 2026, 08:33:04–08:33:17 UTC, přibližně za 13,39 s. Použil CPython 3.14.2 a GNU C++ 13.3.0, bez externích knihoven Pythonu. Datum a nastavení původních tří agentů podle záznamu orchestrace: gpt-6-astra, reasoning_effort=xhigh. Samostatnost znamenala oddělené počáteční kontexty a vlastní adresáře na sdíleném filesystemu; nešlo o oddělené bezpečnostní sandboxy. Programy totožnost modelu samy nezjišťují.
Společný protokol obsahuje skutečné příkazy, výstupy a návratové kódy. Všechny čtyři spuštěné podprocesy skončily kódem 0. Strojový záznam a verze oddělují tento nový běh od původních tří. Samostatný test ochrany odmítl neprázdný cíl a ponechal kontrolní soubor nezměněný; viz výpis.
Žádná požadovaná výpočetní kontrola nezůstala neprovedena. Použité obecné geometrické věty nejsou formálně dokázány počítačem. Společný matematický výpočet je tím dokončen. Přijímací kontroly konkrétního balíku se dokládají samostatně; údaj pending ve strojovém záznamu zachycuje pouze stav v okamžiku generování. Pravdivý přehled dosavadních recenzí a odpovědí je v zaznam-vzajemne-kontroly.md.
7. Reprodukce a další krok
Samostatný balík obsahuje návod, spouštěč, všechna data, certifikáty a manifest. Pro nový úplný běh z jeho kořene:
python3 -B kod/spustit.py --out nove-vysledky
Cíl musí být nový nebo prázdný. Výpočet funguje bez síťového připojení a bez původních pracovních adresářů.
Další konkrétní matematický krok: spočítat souřadnice všech 960 tříd v této racionální bázi a pomocí Smithova normálního tvaru určit index mřížky generované vybranými 142 rovinami v mřížce generované všemi rovinami. To odliší racionální bázi od celočíselné; saturaci v celé Hodgeově mřížce by ještě bylo potřeba prokázat zvlášť. Deformace ani režim B zde nebyly prováděny.
