Typový test k maturitě z matematiky

Otevřené úlohy 1–14 · 25 bodů

1. Úloha 1: Množiny a celá čísla

   1 bod

   Jsou dány intervaly $A=(-6;5\rangle$ a $B=\langle-2;8)$. Zapište všechna celá čísla, která patří do množiny $A\setminus B$.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 1

   Postup řešení

   1. Z intervalu A ponecháme pouze čísla, která neleží v B. Dostaneme $A\setminus B=(-6;-2)$. Oba krajní body jsou vyloučené.
   2. Celá čísla uvnitř tohoto intervalu jsou −5, −4 a −3.

   Výsledek: −5; −4; −3

   Bodování

   • 1 bod: Úplný výčet všech tří čísel, bez dalšího čísla.

2. Úloha 2: Mocniny

   1 bod

   Pro $n\in\mathbb N$ upravte na jedinou mocninu se základem 3:

   $\frac{9^{n+1}\cdot3^{2-n}}{27^n}$
   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 2

   Postup řešení

   1. Převedeme všechny mocniny na základ 3: $9^{n+1}=3^{2n+2}$ a $27^n=3^{3n}$.
   2. Exponent výsledku je $(2n+2)+(2-n)-3n=4-2n$.

   Výsledek: $3^{4-2n}$

   Bodování

   • 1 bod: Správná mocnina, včetně algebraicky rovnocenného zápisu exponentu.

3. Úloha 3: Cena po slevě

   1 bod

   Obchod nakoupil batoh za 1 200 Kč. Zákazník za něj po slevě 12 % z původní prodejní ceny zaplatil 1 584 Kč. O kolik procent byla původní prodejní cena vyšší než nákupní cena?

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 3

   Postup řešení

   1. Částka 1 584 Kč představuje 88 % původní prodejní ceny. Tato cena byla $1584:0{,}88=1800$ Kč.
   2. Rozdíl vůči nákupní ceně je 600 Kč, tedy $600:1200\cdot100\,\%=50\,\%$.

   Výsledek: O 50 %.

   Bodování

   • 1 bod: Správně 50 %. Základem pro porovnání je nákupní cena.

4. Úloha 4: Vyjádření neznámé

   1 bod

   Kladné veličiny a, b, T splňují vztah $T=\frac{2ab}{a+b}$. Vyjádřete z něj veličinu b.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 4

   Postup řešení

   1. Násobíme výrazem $a+b$: $Ta+Tb=2ab$. Členy s b převedeme na jednu stranu: $Ta=b(2a-T)$.
   2. Vydělíme výrazem $2a-T$. Ten je za daných podmínek kladný, protože $2a-T=2a^2/(a+b)>0$.

   Výsledek: $b=\frac{Ta}{2a-T}$

   Bodování

   • 1 bod: Správné vyjádření b. Samostatný rozbor podmínek není požadován.

5. Úloha 5: Úprava lomeného výrazu

   2 body

   Pro $x\in\mathbb R\setminus\{-2;0;2\}$ zjednodušte:

   $\left(\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}\right)\cdot\frac{x^2-4}{4x}$

   Uveďte celý postup řešení.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 5

   Postup řešení

   1. V závorce převedeme zlomky na společného jmenovatele. Čitatel je $(x+2)^2-(x-2)^2=8x$.
   2. Celý výraz tedy upravíme na $\frac{8x}{x^2-4}\cdot\frac{x^2-4}{4x}=2$. Krácení je pro zadané hodnoty x přípustné.

   Výsledek: 2

   Bodování

   • 1 bod: Správné sloučení zlomků v závorce na 8x/(x² − 4).
   • 1 bod: Dokončení úpravy na 2 s uvedeným postupem.

6. Úloha 6: Rovnice s neznámou ve jmenovateli

   2 body

   Vyřešte v oboru reálných čísel:

   $\frac{x+2}{x-3}=\frac{30}{x^2-9}$

   Uveďte celý postup řešení.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 6

   Postup řešení

   1. Podmínky jsou $x\ne3$ a $x\ne-3$. Po vynásobení jmenovatelem $(x-3)(x+3)$ dostaneme $(x+2)(x+3)=30$.
   2. Rovnici upravíme na $x^2+5x-24=(x+8)(x-3)=0$. Kandidáti jsou −8 a 3. Hodnota 3 nesplňuje podmínky; −8 je splňuje a po dosazení dávají obě strany 6/11.

   Výsledek: $x=-8$

   Bodování

   • 1 bod: Správné odstranění jmenovatelů a nalezení obou kandidátů −8 a 3.
   • 1 bod: Zohlednění obou vyloučených hodnot a správná výsledná množina {−8}.

7. Úloha 7: Soustava nerovnic

   2 body

   Vyřešte současně obě nerovnice a výsledek zapište intervalem:

   $\begin{aligned}\frac{3-2x}{4}&\le\frac{x+6}{2}\\5-x&>1\end{aligned}$

   Uveďte celý postup řešení.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 7

   Postup řešení

   1. První nerovnici násobíme kladným číslem 4: $3-2x\le2x+12$, tedy $x\ge-9/4$.
   2. Druhá nerovnice dává $-x>-4$, tedy $x<4$. Hledáme průnik obou množin řešení.

   Výsledek: $x\in\langle-\tfrac94;4)$

   Bodování

   • 1 bod: Správné vyřešení obou jednotlivých nerovnic.
   • 1 bod: Správný průnik s uzavřeným levým a otevřeným pravým krajem.

8. Úloha 8: Čtení grafu

   2 body

   Na obrázku je celý graf funkce f s definičním oborem $\langle-4;5\rangle$.

   1. Zapište množinu všech x, pro která platí $f(x)\ge1$.
   2. V téže soustavě souřadnic sestrojte graf funkce $g(x)=-x+1$ pro $x\in\langle-4;3\rangle$. Rýsujte do vytištěného obrázku nebo do soustavy překreslené na papír.
   8.1

   8.2
   Postup řešení a bodování úlohy 8

   Postup řešení

   1. Prostřední úsečka má předpis $y=-2x+2$. Výšky 1 dosáhne při $x=1/2$. Nad touto výškou nebo na ní leží graf od −4 do 1/2 a ještě v bodě s x = 5.
   2. Pro druhou část vypočteme $g(-4)=5$ a $g(3)=-2$. Krajní body [−4; 5] a [3; −2] spojíme úsečkou. Oba do grafu zahrneme. Pro přehlednost je řešení zakresleno samostatně.

   Výsledek: 8.1 $\langle-4;\tfrac12\rangle\cup\{5\}$; 8.2 úsečka [−4; 5] až [3; −2] (viz nákres).

   Bodování

   • 1 bod: 8.1: Úplná množina včetně samostatného bodu 5 a správných krajů.
   • 1 bod: 8.2: Správně zakreslená úsečka včetně obou krajních bodů. Samotné souřadnice bez nákresu nestačí.

9. Úloha 9: Logaritmy a podmínky

   2 body

   Je dána rovnice:

   $\log_2(x-1)+\log_2(x+2)=2$
   1. Určete množinu všech reálných x, pro která má levá strana smysl.
   2. Vyřešte rovnici v oboru reálných čísel.
   9.1

   9.2
   Postup řešení a bodování úlohy 9

   Postup řešení

   1. Oba argumenty musí být kladné: $x-1>0$ a $x+2>0$. Společně tedy $x>1$.
   2. Sečteme logaritmy: $\log_2((x-1)(x+2))=2$. Proto $(x-1)(x+2)=4$, tedy $(x+3)(x-2)=0$. Z kořenů −3 a 2 vyhovuje podmínkám pouze 2.

   Výsledek: 9.1 $(1;+\infty)$; 9.2 $x=2$.

   Bodování

   • 1 bod: 9.1: Správný obor (1; +∞).
   • 1 bod: 9.2: Úplná výsledná množina {2}, bez nepřípustného kořene.

10. Úloha 10: Goniometrická rovnice

    1 bod

    Zapište všechna řešení rovnice $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$ v intervalu $\langle0;2\pi\rangle$. Výsledky vyjádřete v radiánech.

    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 10

    Postup řešení

    1. Základní ostrý úhel je $\pi/4$. Sinus je záporný ve třetím a čtvrtém kvadrantu.
    2. V uvedeném intervalu proto dostaneme $\pi+\pi/4=5\pi/4$ a $2\pi-\pi/4=7\pi/4$.

    Výsledek: $x\in\{5\pi/4;7\pi/4\}$

    Bodování

    • 1 bod: Obě správná řešení v radiánech a žádné další.

11. Úloha 11: Osa úsečky

    2 body

    V rovině jsou dány body $A[-2;3]$ a $B[4;0]$.

    1. Určete souřadnice středu S úsečky AB.
    2. Napište obecnou rovnici osy úsečky AB.
    11.1

    11.2
    Postup řešení a bodování úlohy 11

    Postup řešení

    1. Souřadnice středu jsou průměry souřadnic konců: $S[1;3/2]$.
    2. Osa úsečky je kolmá k vektoru $B-A=(6;-3)$. Tento vektor lze použít jako její normálový vektor. Dosadíme střed: $6(x-1)-3(y-3/2)=0$, tedy $4x-2y-1=0$.

    Výsledek: 11.1 $S[1;3/2]$; 11.2 $4x-2y-1=0$.

    Bodování

    • 1 bod: 11.1: Obě správné souřadnice středu.
    • 1 bod: 11.2: Správná obecná rovnice; uznává se každý její nenulový násobek.

12. Úloha 12: Postupně kratší pásky

    2 body

    Dekoratér stříhá pásky. První má délku 160 cm a každá další má 80 % délky předchozí. Připraví všechny pásky od první až po poslední, jejíž délka je ještě alespoň 50 cm. Ztráty při stříhání zanedbejte.

    1. Kolik pásek připraví?
    2. Kolik centimetrů materiálu spotřebuje na všechny tyto pásky? Zaokrouhlete na desetiny centimetru.
    12.1

    12.2
    Postup řešení a bodování úlohy 12

    Postup řešení

    1. Délky tvoří geometrickou posloupnost s $a_1=160$ a $q=0{,}8$. Šestá páska měří $160\cdot0{,}8^5=52{,}4288$ cm, sedmá už jen 41,94304 cm. Připraví tedy 6 pásek.
    2. Celková délka je $s_6=160\cdot\frac{1-0{,}8^6}{1-0{,}8}=590{,}2848$ cm, po zaokrouhlení 590,3 cm.

    Výsledek: 12.1 6 pásek; 12.2 590,3 cm.

    Bodování

    • 1 bod: 12.1: Správný počet 6.
    • 1 bod: 12.2: Správný součet zaokrouhlený na 590,3 cm.

13. Úloha 13: Vzdálenost od měřicí přímky

    3 body

    Na rovném pozemku vyznačili měřiči úsečku AB délky 60 m a bod C mimo přímku AB. V trojúhelníku ABC naměřili vnitřní úhel při A o velikosti 48° a při B o velikosti 72°.

    1. Určete velikost vnitřního úhlu při C.
    2. Vypočtěte nejkratší vzdálenost bodu C od přímky AB. Uveďte celý postup a výsledek v metrech zaokrouhlete na desetiny.
    13.1

    13.2
    Postup řešení a bodování úlohy 13

    Postup řešení

    1. Součet vnitřních úhlů je 180°, takže úhel při C je $180^\circ-48^\circ-72^\circ=60^\circ$.
    2. Sinovou větou určíme $AC=60\cdot\sin72^\circ/\sin60^\circ$. Nejkratší vzdálenost je výška $h=AC\cdot\sin48^\circ$.
    3. Dosadíme bez průběžného zaokrouhlování: $h=60\cdot\frac{\sin72^\circ\sin48^\circ}{\sin60^\circ}$ m. Po zaokrouhlení je vzdálenost 49,0 m.

    Výsledek: 13.1 60°; 13.2 49,0 m.

    Bodování

    • 1 bod: 13.1: Správně 60°.
    • 1 bod: 13.2: Správné určení potřebné strany sinovou větou nebo rovnocenný postup.
    • 1 bod: 13.2: Správný výpočet výšky a výsledek 49,0 m. Samotný výsledek bez postupu se v části 13.2 nehodnotí.

14. Úloha 14: Dvě tiskárny štítků

    3 body

    Každá ze dvou tiskáren samostatně vytiskla zakázku o 120 stejných štítcích. Tiskárna B tiskne za hodinu o 10 štítků více než tiskárna A a svou zakázku dokončila o 1 hodinu dříve. Obě tiskárny pracovaly stálým tempem bez přestávek. Pomocí rovnice nebo soustavy rovnic určete hodinový výkon každé tiskárny. V postupu pojmenujte neznámé.

    Uveďte celý postup řešení.

    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 14

    Postup řešení

    1. Označíme x počet štítků, které tiskárna A vytiskne za hodinu; $x>0$. Výkon B je $x+10$. Doby tisku jsou $120/x$ a $120/(x+10)$ hodin.
    2. Rozdíl dob je jedna hodina: $\frac{120}{x}-\frac{120}{x+10}=1$. Po odstranění jmenovatelů dostaneme $x(x+10)=1200$, tedy $(x-30)(x+40)=0$.
    3. Kladný kořen je x = 30. Tiskárna A tiskne 30 štítků za hodinu a B 40 štítků za hodinu. Kontrola: zakázky trvaly 4 hodiny a 3 hodiny.

    Výsledek: A: 30 štítků/h; B: 40 štítků/h.

    Bodování

    • 1 bod: Definice neznámé a správné sestavení rovnice z rozdílu dob (nebo rovnocenné soustavy).
    • 1 bod: Správné vyřešení rovnice a vyloučení záporného výkonu.
    • 1 bod: Správné určení a rozlišení obou výkonů včetně jednotek.

Uzavřené úlohy 15–25 · 25 bodů

15. Úloha 15: Údaje z knihovny

    3 body

    Knihovnice zaznamenala počet knih, které si každý z 20 návštěvníků vypůjčil. Tabulka obsahuje všechny záznamy. Rozhodněte u každého tvrzení, zda je pravdivé (A), nebo nepravdivé (N).

    Výpůjčky 20 návštěvníků

    Počet knih	0	1	2	3	4
    Počet návštěvníků	3	5	6	4	2

    1. Aritmetický průměr počtu vypůjčených knih je 1,85.A ☐   N ☐
    2. Medián počtu vypůjčených knih je 1,5.A ☐   N ☐
    3. Více než polovina návštěvníků si vypůjčila alespoň dvě knihy.A ☐   N ☐
    Postup řešení a bodování úlohy 15

    Postup řešení

    1. Počet knih je $0\cdot3+1\cdot5+2\cdot6+3\cdot4+4\cdot2=37$. Průměr je $37/20=1{,}85$: první tvrzení je pravdivé.
    2. Na 10. i 11. místě seřazeného souboru je hodnota 2, medián je tedy 2. Druhé tvrzení je nepravdivé.
    3. Alespoň dvě knihy má 6 + 4 + 2 = 12 návštěvníků, což je více než polovina z 20. Třetí tvrzení je pravdivé.

    Výsledek: 15.1 A; 15.2 N; 15.3 A.

    Bodování

    • 3 body: Za tři správně posouzená tvrzení 3 body, za právě dvě 1 bod, za jedno nebo žádné 0 bodů. Neoznačené tvrzení ani tvrzení s oběma označenými možnostmi se nepočítá jako správné.

16. Úloha 16: Světelné filtry

    2 body

    Každý stejný filtr propustí 80 % světla, které na něj dopadne. Filtry řadíme za sebe, takže světlo prochází postupně všemi. Jaký nejmenší počet filtrů sníží množství prošlého světla pod polovinu původního množství?

    1. A) 2
    2. B) 3
    3. C) 4
    4. D) 5
    5. E) 6
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 16

    Postup řešení

    1. Po n filtrech projde podíl $0{,}8^n$ původního množství.
    2. Tři filtry propustí $0{,}8^3=0{,}512$, tedy ještě více než polovinu. Čtyři propustí $0{,}8^4=0{,}4096$, což už je méně než polovina.

    Výsledek: C — 4 filtry.

    Bodování

    • 2 body: Jediná vybraná odpověď C. Za jinou, více označených nebo chybějící odpověď 0 bodů.

17. Úloha 17: Nejmenší hodnota funkce

    2 body

    Funkce $f(x)=x^2-6x+k$ je definována na $\mathbb R$. Její nejmenší hodnota je −5. Jaká je hodnota k?

    1. A) −14
    2. B) 4
    3. C) 5
    4. D) 9
    5. E) 14
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 17

    Postup řešení

    1. Doplníme na čtverec: $f(x)=(x-3)^2+k-9$.
    2. Nejmenší hodnota je $k-9$. Z rovnice $k-9=-5$ vychází $k=4$.

    Výsledek: B — k = 4.

    Bodování

    • 2 body: Jediná vybraná odpověď B. Za jinou, více označených nebo chybějící odpověď 0 bodů.

18. Úloha 18: Kolmost vektorů

    2 body

    Jsou dány vektory $\vec u=(2;-3)$ a $\vec v=(-1;4)$. Pro které reálné číslo t je vektor $\vec w=\vec u+t\vec v$ kolmý k vektoru $\vec u$?

    1. A) $-13/14$
    2. B) $-14/13$
    3. C) 0
    4. D) $13/14$
    5. E) $14/13$
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 18

    Postup řešení

    1. Souřadnice w jsou $(2-t;-3+4t)$. Skalární součin kolmých vektorů je nula.
    2. Proto $2(2-t)-3(-3+4t)=13-14t=0$, odkud $t=13/14$.

    Výsledek: D — $t=13/14$.

    Bodování

    • 2 body: Jediná vybraná odpověď D. Za jinou, více označených nebo chybějící odpověď 0 bodů.

19. Úloha 19: Mezikruhová výseč

    2 body

    Vybarvená část obrázku je mezikruhová výseč. Její vnitřní poloměr je 6 cm, vnější poloměr 9 cm a středový úhel 120°. Jaký je obsah vybarvené části?

    1. A) $15\pi\;\mathrm{cm}^2$
    2. B) $9\pi\;\mathrm{cm}^2$
    3. C) $27\pi\;\mathrm{cm}^2$
    4. D) $45\pi\;\mathrm{cm}^2$
    5. E) $5\pi\;\mathrm{cm}^2$
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 19

    Postup řešení

    1. Obsah celého mezikruží je $\pi(9^2-6^2)=45\pi$ cm².
    2. Úhel 120° vymezuje třetinu celého kruhu, takže hledaný obsah je $45\pi/3=15\pi$ cm².

    Výsledek: A — $15\pi$ cm².

    Bodování

    • 2 body: Jediná vybraná odpověď A. Za jinou, více označených nebo chybějící odpověď 0 bodů.

20. Úloha 20: Plachta na přístřešek

    2 body

    Přístřešek má tvar kolmého trojbokého hranolu délky 6 dm. Oba jeho štíty jsou shodné rovnoramenné trojúhelníky se základnou 10 dm a rameny 13 dm. Plachta zakrývá obě šikmé obdélníkové stěny a oba štíty. Podlaha zakrytá není. Jakou plochu plachta zakrývá? Přesahy a švy zanedbejte.

    1. A) 156 dm²
    2. B) 216 dm²
    3. C) 240 dm²
    4. D) 336 dm²
    5. E) 276 dm²
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 20

    Postup řešení

    1. Výška štítu je $\sqrt{13^2-5^2}=12$ dm. Obsah jednoho štítu je $10\cdot12/2=60$ dm².
    2. Dvě šikmé stěny mají dohromady $2\cdot13\cdot6=156$ dm². Celkem tedy $156+2\cdot60=276$ dm². Podlahu nepřičítáme.

    Výsledek: E — 276 dm².

    Bodování

    • 2 body: Jediná vybraná odpověď E. Za jinou, více označených nebo chybějící odpověď 0 bodů.

21. Úloha 21: Provrtaný kvádr

    2 body

    Dřevěným kvádrem o rozměrech 8 cm × 6 cm × 4 cm byl skrz naskrz vyvrtán válcový otvor o průměru 2 cm. Osa otvoru je rovnoběžná s hranou délky 8 cm a prochází středy dvou protějších stěn kvádru. Kolik procent původního objemu bylo odvrtáno? Zaokrouhlete na desetiny procenta.

    1. A) 6,5 %
    2. B) 13,1 %
    3. C) 19,6 %
    4. D) 26,2 %
    5. E) Jiná hodnota.
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 21

    Postup řešení

    1. Původní objem je $8\cdot6\cdot4=192$ cm³. Otvor má poloměr 1 cm a délku 8 cm, takže jeho objem je $8\pi$ cm³.
    2. Odvrtaný podíl je $\frac{8\pi}{192}\cdot100\,\%\doteq13{,}1\,\%$.

    Výsledek: B — 13,1 %.

    Bodování

    • 2 body: Jediná vybraná odpověď B. Za jinou, více označených nebo chybějící odpověď 0 bodů.

22. Úloha 22: Pravidelné spoření

    2 body

    Dana odložila v prvním měsíci 1 200 Kč. Každý následující měsíc odložila o 150 Kč více než v předchozím měsíci. Úroky ani poplatky neuvažujte. Na konci kterého měsíce měla poprvé naspořeno alespoň 18 000 Kč?

    1. A) Na konci 7. měsíce.
    2. B) Na konci 8. měsíce.
    3. C) Na konci 9. měsíce.
    4. D) Na konci 10. měsíce.
    5. E) Na konci 11. měsíce.
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 22

    Postup řešení

    1. Součet prvních n vkladů je $s_n=\frac n2(2400+150(n-1))$.
    2. Pro devět měsíců vyjde $s_9=16200$ Kč a pro deset $s_{10}=18750$ Kč. Vklady jsou kladné, takže cíle poprvé dosáhne v 10. měsíci.

    Výsledek: D — na konci 10. měsíce.

    Bodování

    • 2 body: Jediná vybraná odpověď D. Za jinou, více označených nebo chybějící odpověď 0 bodů.

23. Úloha 23: Výběr fotografií

    2 body

    Fotograf má osm různých fotografií, z nichž právě dvě jsou panoramatické. Na stránku vybere tři fotografie. Obě panoramatické fotografie nesmějí být na stránce současně. Kolika způsoby může trojici vybrat? Na pořadí fotografií nezáleží.

    1. A) 50
    2. B) 20
    3. C) 54
    4. D) 56
    5. E) 336
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 23

    Postup řešení

    1. Bez omezení existuje $\binom83=56$ trojic.
    2. Nevhodné trojice obsahují obě panoramatické fotografie a jednu z ostatních šesti. Je jich 6. Vyhovuje tedy $56-6=50$ trojic.

    Výsledek: A — 50 způsobů.

    Bodování

    • 2 body: Jediná vybraná odpověď A. Za jinou, více označených nebo chybějící odpověď 0 bodů.

24. Úloha 24: Losování číslic

    2 body

    V sáčku je šest stejných kartiček označených číslicemi 0, 1, 2, 3, 4, 5. Postupně náhodně vytáhneme dvě kartičky bez vracení. Jaká je pravděpodobnost, že absolutní hodnota rozdílu vytažených číslic bude 2?

    1. A) $1/6$
    2. B) $1/5$
    3. C) $1/3$
    4. D) $2/5$
    5. E) $4/15$
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 24

    Postup řešení

    1. Neuspořádaných dvojic je $\binom62=15$ a všechny mají stejnou pravděpodobnost.
    2. Rozdíl 2 mají právě dvojice {0; 2}, {1; 3}, {2; 4} a {3; 5}. Vyhovují čtyři z patnácti dvojic. Stejně lze počítat 8 příznivých uspořádaných dvojic z 30.

    Výsledek: E — $4/15$.

    Bodování

    • 2 body: Jediná vybraná odpověď E. Za jinou, více označených nebo chybějící odpověď 0 bodů.

25. Úloha 25: Posuny a převrácení grafu

    4 body

    Funkce $f(x)=|x+2|-3$ je definována na $\mathbb R$. Pomocí ní jsou zadány funkce $g(x)=f(x-1)+2$ a $h(x)=-f(x)+1$. Ke každé otázce přiřaďte odpověď A–F. Každou možnost použijte nejvýše jednou.

    1. Kolik celých čísel x splňuje nerovnici $g(x)<2$?
    2. Jaký je součet všech nulových bodů funkce h?
    1. A) −6
    2. B) −4
    3. C) −1
    4. D) 2
    5. E) 4
    6. F) 5
    25.1

    25.2
    Postup řešení a bodování úlohy 25

    Postup řešení

    1. Dosadíme do předpisu: $g(x)=|x+1|-1$. Nerovnice $|x+1|-1<2$ dává $-4<x<2$. Vyhovují celá čísla −3, −2, −1, 0 a 1, celkem 5.
    2. Platí $h(x)=4-|x+2|$. Nulové body splňují $|x+2|=4$, takže jsou −6 a 2. Jejich součet je −4.

    Výsledek: 25.1 F — 5; 25.2 B — −4.

    Bodování

    • 2 body: 25.1: F. Za jinou nebo chybějící odpověď 0 bodů.
    • 2 body: 25.2: B. Za jinou nebo chybějící odpověď 0 bodů.