Typový test k maturitě z matematiky

Otevřené úlohy 1–14 · 25 bodů

1. Úloha 1: Výraz s odmocninami

   1 bod

   Vypočtěte přesně:

   $\frac{\sqrt{75}-\sqrt{12}}{\sqrt3}$
   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 1

   Postup řešení

   1. Platí $\sqrt{75}=5\sqrt3$ a $\sqrt{12}=2\sqrt3$. Po odečtení je v čitateli $3\sqrt3$.
   2. Dělením $\sqrt3$ dostaneme 3.

   Výsledek: 3

   Bodování

   • 1 bod: Správná hodnota 3.

2. Úloha 2: Dvě zlevnění

   1 bod

   Po prvním zlevnění o 10 % následovalo druhé zlevnění. Konečná cena tvořila 81 % ceny před oběma zlevněními. O kolik procent byla snížena cena při druhém zlevnění?

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 2

   Postup řešení

   1. Po prvním zlevnění zůstalo 90 % původní ceny.
   2. Podíl konečné a mezilehlé ceny je 0,81 : 0,90 = 0,90. Druhé snížení bylo tedy o 10 %.

   Výsledek: 10 %

   Bodování

   • 1 bod: Správně 10 %.

3. Úloha 3: Dělení mnohočlenů

   2 body

   Zjednodušte výraz a určete všechny reálné hodnoty a, pro které má původní výraz smysl:

   $\frac{a^3-4a}{a^2+2a}$

   Uveďte celý postup řešení.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 3

   Postup řešení

   1. Jmenovatel je $a(a+2)$, proto $a\ne0$ a $a\ne-2$.
   2. Čitatel rozložíme na $a(a-2)(a+2)$. Po krácení přípustných faktorů zůstane $a-2$.

   Výsledek: $a-2$; $a\in\mathbb R\setminus\{-2;0\}$

   Bodování

   • 1 bod: Obě podmínky a ≠ 0 a a ≠ −2.
   • 1 bod: Správná úprava na a − 2.

4. Úloha 4: Poloměr otvoru

   2 body

   Obsah mezikruží je $S=\pi(R^2-r^2)$, kde $0<r<R$. Vyjádřete r pomocí S a R. Napište také interval možných hodnot S při pevném kladném R.

   Uveďte celý postup řešení.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 4

   Postup řešení

   1. Upravíme $r^2=R^2-S/\pi$. Poloměr je kladný, volíme proto kladnou odmocninu.
   2. Z $0<r^2<R^2$ plyne $0<S<\pi R^2$.

   Výsledek: $r=\sqrt{R^2-S/\pi}$; $S\in(0;\pi R^2)$

   Bodování

   • 1 bod: Kladná odmocnina √(R² − S/π).
   • 1 bod: Interval 0 < S < πR².

5. Úloha 5: Nulová hodnota součinu

   1 bod

   Pro která reálná x je výraz $(2x+1)(x^2+4)$ roven nule?

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 5

   Postup řešení

   1. Druhý faktor je pro každé reálné x kladný. Nulový musí být první faktor.
   2. Z $2x+1=0$ dostaneme $x=-1/2$.

   Výsledek: $x=-1/2$

   Bodování

   • 1 bod: Jediné řešení −1/2.

6. Úloha 6: Rovnice s absolutní hodnotou

   2 body

   Vyřešte v oboru reálných čísel:

   $|2x-3|=x+3$

   Uveďte celý postup řešení.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 6

   Postup řešení

   1. Pro $x\ge3/2$ dostáváme $2x-3=x+3$, tedy x = 6. Tato hodnota splňuje podmínku větve.
   2. Pro $x<3/2$ je rovnice $3-2x=x+3$, tedy x = 0. I tato hodnota vyhovuje. Zkouška potvrzuje obě řešení.

   Výsledek: $x\in\{0;6\}$

   Bodování

   • 1 bod: Správné řešení jedné větve včetně podmínky.
   • 1 bod: Druhá větev a úplná množina {0; 6}.

7. Úloha 7: Kvadratická nerovnice

   2 body

   Řešte v oboru reálných čísel:

   $x^2+x-12\le0$

   Uveďte celý postup řešení.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 7

   Postup řešení

   1. Rozložíme $x^2+x-12=(x+4)(x-3)$. Nulové body jsou −4 a 3.
   2. Součin je záporný mezi nulovými body, nulový v krajích a kladný vně. Oba kraje patří do řešení.

   Výsledek: $x\in\langle-4;3\rangle$

   Bodování

   • 1 bod: Správné nulové body a rozbor znamének.
   • 1 bod: Interval ⟨−4; 3⟩ včetně obou krajů.

8. Úloha 8: Graf hyperboly

   2 body

   Funkce f má předpis $f(x)=6/(x+1)-2$.

   1. Napište rovnice obou asymptot.
   2. Sestrojte graf do pracovní soustavy nebo na papír. Na grafu vyznačte alespoň tři body s celočíselnými souřadnicemi.
   8.1

   8.2
   Postup řešení a bodování úlohy 8

   Postup řešení

   1. Zakázaná hodnota x = −1 určuje svislou asymptotu. Posun o −2 určuje vodorovnou asymptotu y = −2.
   2. Například body [0; 4], [1; 1], [2; 0], [−3; −5] a [−4; −4] leží na grafu. Sestrojíme obě větve, které se blíží asymptotám a nedotýkají se jich.

   Výsledek: 8.1 $x=-1$, $y=-2$; 8.2 viz nákres.

   Bodování

   • 1 bod: 8.1: Obě správné asymptoty.
   • 1 bod: 8.2: Obě správné větve a alespoň tři přesně vyznačené body; samotné body nestačí.

9. Úloha 9: Poměr stran

   1 bod

   Úhel α je ostrý a $\cos\alpha=3/5$. Určete přesnou hodnotu $\tan\alpha$.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 9

   Postup řešení

   1. Z identity $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ dostaneme pro ostrý úhel $\sin\alpha=4/5$.
   2. Podíl sinu a kosinu je $(4/5)/(3/5)=4/3$.

   Výsledek: $4/3$

   Bodování

   • 1 bod: Správná hodnota 4/3.

10. Úloha 10: Členy aritmetické posloupnosti

    2 body

    V aritmetické posloupnosti platí $a_4=11$ a $a_{10}=29$.

    1. Určete diferenci.
    2. Určete dvacátý člen.
    10.1

    10.2
    Postup řešení a bodování úlohy 10

    Postup řešení

    1. Mezi čtvrtým a desátým členem je šest diferencí: $6d=29-11=18$, tedy d = 3.
    2. První člen je $a_1=11-3\cdot3=2$. Dvacátý člen je $a_{20}=2+19\cdot3=59$.

    Výsledek: 10.1 d = 3; 10.2 a₂₀ = 59.

    Bodování

    • 1 bod: 10.1: Diference 3.
    • 1 bod: 10.2: Dvacátý člen 59.

11. Úloha 11: Průsečík přímek

    2 body

    Jsou dány přímky $p:2x+y-5=0$ a $q:x-y+2=0$.

    1. Určete průsečík P přímek p a q.
    2. Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem P a má směrový vektor $(3;2)$.
    11.1

    11.2
    Postup řešení a bodování úlohy 11

    Postup řešení

    1. Z druhé rovnice je y = x + 2. Dosazením do první: 3x − 3 = 0, tedy P[1; 3].
    2. Hledaná přímka má směrový vektor (3; 2), tedy normálový (2; −3). Dosazením bodu P získáme $2(x-1)-3(y-3)=0$.

    Výsledek: 11.1 P[1; 3]; 11.2 $2x-3y+7=0$.

    Bodování

    • 1 bod: 11.1: Obě souřadnice průsečíku.
    • 1 bod: 11.2: Správná obecná rovnice nebo její nenulový násobek.

12. Úloha 12: Příprava směsi

    3 body

    Balírna chce připravit 240 kg směsi ze dvou druhů ořechů. První druh stojí 150 Kč/kg, druhý 210 Kč/kg. Cena surovin na jeden kilogram výsledné směsi má být 174 Kč. Pomocí rovnice nebo soustavy rovnic určete hmotnost každého druhu. Ztráty při míchání neuvažujte.

    Uveďte celý postup řešení.

    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 12

    Postup řešení

    1. Označíme x hmotnost levnějšího druhu a y hmotnost dražšího druhu v kg. Platí x + y = 240.
    2. Celková cena je 240 · 174 = 41 760 Kč, proto 150x + 210y = 41 760. Odečteme 150násobek první rovnice: 60y = 5 760.
    3. Dostaneme y = 96 kg a x = 144 kg. Kontrola ceny: 21 600 + 20 160 = 41 760 Kč.

    Výsledek: Levnější druh: 144 kg; dražší druh: 96 kg.

    Bodování

    • 1 bod: Definice neznámých a rovnice pro hmotnost.
    • 1 bod: Správný cenový vztah a jeho propojení s hmotností.
    • 1 bod: Správné řešení a přiřazení 144 kg a 96 kg.

13. Úloha 13: Dvě strany a sevřený úhel

    2 body

    V trojúhelníku ABC je AB = 11 cm, AC = 7 cm a vnitřní úhel při A má velikost 60°.

    1. Vypočtěte délku BC v cm, zaokrouhlete na desetiny.
    2. Vypočtěte obsah v cm², zaokrouhlete na desetiny.
    13.1

    13.2
    Postup řešení a bodování úlohy 13

    Postup řešení

    1. Kosinovou větou $BC^2=11^2+7^2-2\cdot11\cdot7\cos60^\circ=93$. Tedy BC ≐ 9,6 cm.
    2. Obsah je $S=\tfrac12\cdot11\cdot7\sin60^\circ=77\sqrt3/4$ cm², po zaokrouhlení 33,3 cm².

    Výsledek: 13.1 9,6 cm; 13.2 33,3 cm².

    Bodování

    • 1 bod: 13.1: Správně 9,6 cm.
    • 1 bod: 13.2: Správně 33,3 cm².

14. Úloha 14: Vklad a výběr

    2 body

    Na účet se vloží 40 000 Kč. Úroková míra je stálá 3 % ročně, úrok se přičítá na konci každého roku a dále se úročí. Daně ani poplatky neuvažujte.

    1. Kolik korun činí součet připsaných úroků za tři roky, pokud se nic nevybere?
    2. Jaký bude zůstatek po třech letech, vybere-li se bezprostředně po připsání druhého ročního úroku 10 000 Kč?
    14.1

    14.2
    Postup řešení a bodování úlohy 14

    Postup řešení

    1. Bez výběru by zůstatek byl $40000\cdot1{,}03^3=43709{,}08$ Kč, úrok celkem 3 709,08 Kč.
    2. Po druhém připsání je 42 436 Kč. Po výběru zbývá 32 436 Kč; další rok přinese $32436\cdot1{,}03=33409{,}08$ Kč.

    Výsledek: 14.1 3 709,08 Kč; 14.2 33 409,08 Kč.

    Bodování

    • 1 bod: 14.1: Celkový úrok 3 709,08 Kč.
    • 1 bod: 14.2: Zůstatek 33 409,08 Kč.

Uzavřené úlohy 15–25 · 25 bodů

15. Úloha 15: Vlastnosti paraboly

    3 body

    Pro všechna reálná x je $f(x)=(x+1)(x-5)$. Posuďte tvrzení (A = pravdivé, N = nepravdivé).

    1. $f(x)\ge-8$ pro každé reálné x.A ☐   N ☐
    2. Osou souměrnosti grafu je přímka $x=2$.A ☐   N ☐
    3. Funkce nabývá záporných hodnot právě pro −1 < x < 5.A ☐   N ☐
    Postup řešení a bodování úlohy 15

    Postup řešení

    1. $f(x)=(x-2)^2-9$. Pro x = 2 je f(x) = −9, což je méně než −8: N.
    2. Vrchol má první souřadnici 2, osa má rovnici x = 2: A.
    3. Součin má mezi kořeny −1 a 5 záporné znaménko: A.

    Výsledek: 15.1 N; 15.2 A; 15.3 A

    Bodování

    • 3 body: Za tři správně posouzená tvrzení 3 body, za právě dvě 1 bod, za jedno nebo žádné 0 bodů. Neoznačené tvrzení ani tvrzení s oběma označenými možnostmi se nepočítá jako správné.

16. Úloha 16: Hodnota logaritmu

    2 body

    Jaká je hodnota $\log_5(25\sqrt5)$?

    1. A) 1,5
    2. B) 2,5
    3. C) 3
    4. D) 5
    5. E) 12,5
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 16

    Postup řešení

    1. $25\sqrt5=5^2\cdot5^{1/2}=5^{5/2}$.
    2. Logaritmus se základem 5 je tedy 5/2 = 2,5.

    Výsledek: B — 2,5

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď B. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

17. Úloha 17: Znaménko podílu

    2 body

    Která množina je řešením $(x-1)/(x+2)>0$?

    1. A) $(-2;1)$
    2. B) $\langle-2;1\rangle$
    3. C) $(1;+\infty)$
    4. D) $(-\infty;-2)$
    5. E) $(-\infty;-2)\cup(1;+\infty)$
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 17

    Postup řešení

    1. Čitatel a jmenovatel musí mít stejné znaménko.
    2. Oba jsou záporné pro x < −2, oba kladné pro x > 1. Hodnota −2 je nepřípustná a 1 dává nulu.

    Výsledek: E — $(-\infty;-2)\cup(1;+\infty)$

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď E. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

18. Úloha 18: Velikost výsledného vektoru

    2 body

    Pro $\vec u=(3;1)$ a $\vec v=(2;-1)$ určete velikost vektoru $2\vec u-\vec v$.

    1. A) 5
    2. B) $\sqrt{13}$
    3. C) 7
    4. D) $\sqrt{41}$
    5. E) 10
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 18

    Postup řešení

    1. Vektor $2\vec u-\vec v=(6;2)-(2;-1)=(4;3)$.
    2. Jeho velikost je $\sqrt{4^2+3^2}=5$.

    Výsledek: A — 5

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď A. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

19. Úloha 19: Úhlopříčky mnohoúhelníku

    2 body

    Pravidelný mnohoúhelník má všechny vnější úhly velikosti 30°. Kolik má úhlopříček?

    1. A) 12
    2. B) 24
    3. C) 48
    4. D) 54
    5. E) 66
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 19

    Postup řešení

    1. Součet vnějších úhlů je 360°, takže mnohoúhelník má 12 vrcholů.
    2. Každý vrchol spojuje úhlopříčka s 9 vrcholy. Každá úhlopříčka se počítá dvakrát: 12 · 9 / 2 = 54.

    Výsledek: D — 54

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď D. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

20. Úloha 20: Povrch kužele

    2 body

    Rotační kužel má poloměr podstavy 3 cm a délku strany (tvořící úsečky) 5 cm. Jaký je jeho celkový povrch včetně podstavy?

    1. A) $15\pi\ \mathrm{cm}^2$
    2. B) $24\pi\ \mathrm{cm}^2$
    3. C) $30\pi\ \mathrm{cm}^2$
    4. D) $34\pi\ \mathrm{cm}^2$
    5. E) $48\pi\ \mathrm{cm}^2$
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 20

    Postup řešení

    1. Plášť má obsah $\pi rs=15\pi$ cm².
    2. Přidáme podstavu $\pi r^2=9\pi$ cm², celkem $24\pi$ cm².

    Výsledek: B — $24\pi\ \mathrm{cm}^2$

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď B. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

21. Úloha 21: Odchylka hrany jehlanu

    2 body

    Kolmý jehlan má obdélníkovou podstavu 6 cm × 8 cm a výšku 9 cm. Vrchol leží nad středem podstavy. Jaká je odchylka boční hrany od roviny podstavy? Zaokrouhlete na desetiny stupně.

    1. A) 29,1°
    2. B) 48,4°
    3. C) 60,9°
    4. D) 66,0°
    5. E) Jiná hodnota.
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 21

    Postup řešení

    1. Průmětem hrany je spojnice středu podstavy s jejím vrcholem. Její délka je polovina úhlopříčky, tedy √(3² + 4²) = 5 cm.
    2. V pravoúhlém trojúhelníku platí $\tan\alpha=9/5$. Odtud α ≐ 60,9°.

    Výsledek: C — 60,9°

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď C. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

22. Úloha 22: Označení výrobku

    2 body

    Kód tvoří tři různá písmena z nabídky A, B, C, D, E a za nimi dvě číslice z nabídky 0 až 9. Číslice se mohou opakovat. Kolik různých kódů lze vytvořit?

    1. A) 1 000
    2. B) 3 600
    3. C) 5 400
    4. D) 6 000
    5. E) 12 500
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 22

    Postup řešení

    1. Uspořádanou trojici různých písmen vybereme 5 · 4 · 3 = 60 způsoby.
    2. Dvojici číslic vybereme 10 · 10 = 100 způsoby. Celkem 60 · 100 = 6 000.

    Výsledek: D — 6 000

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď D. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

23. Úloha 23: Dva úspěchy ze tří

    2 body

    Hráčka při každém ze tří nezávislých pokusů zasáhne cíl s pravděpodobností 0,7. Jaká je pravděpodobnost, že uspěje právě dvakrát?

    1. A) 0,147
    2. B) 0,441
    3. C) 0,49
    4. D) 0,63
    5. E) 0,784
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 23

    Postup řešení

    1. Jedno konkrétní pořadí dvou úspěchů a jednoho neúspěchu má pravděpodobnost 0,7² · 0,3 = 0,147.
    2. Neúspěch může nastat na třech pozicích. Sečteme tři disjunktní možnosti: 3 · 0,147 = 0,441.

    Výsledek: B — 0,441

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď B. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

24. Úloha 24: Společný průměr

    2 body

    Čtyři zařízení spotřebovala každé 12 kWh, dalších šest zařízení každé 17 kWh. Jaká byla průměrná spotřeba jednoho zařízení v celém souboru?

    1. A) 14 kWh
    2. B) 14,5 kWh
    3. C) 15,5 kWh
    4. D) 16 kWh
    5. E) 15 kWh
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 24

    Postup řešení

    1. Celková spotřeba je 4 · 12 + 6 · 17 = 150 kWh.
    2. Dělíme počtem 10 zařízení, průměr je 15 kWh.

    Výsledek: E — 15 kWh

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď E. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

25. Úloha 25: Změny rozměrů

    4 body

    Ke každé změně přiřaďte poměr nové velikosti k původní (A–F). Každou možnost použijte nejvýše jednou.

    1. Všechny strany trojúhelníku se zvětší o 50 %. Jaký je poměr nového obsahu k původnímu?
    2. Všechny hrany kvádru se zkrátí o 20 %. Jaký je poměr nového objemu k původnímu?
    1. A) $3/2$
    2. B) $9/4$
    3. C) $4/5$
    4. D) $16/25$
    5. E) $64/125$
    6. F) $27/8$
    25.1

    25.2
    Postup řešení a bodování úlohy 25

    Postup řešení

    1. Poměr délek je 3/2. Obsahy podobných útvarů jsou v poměru druhých mocnin, tedy 9/4.
    2. Poměr délek je 4/5. Objem se mění třetí mocninou: (4/5)³ = 64/125.

    Výsledek: 25.1 B — $9/4$; 25.2 E — $64/125$

    Bodování

    • 2 body: 25.1: B. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.
    • 2 body: 25.2: E. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.