Typový test k maturitě z matematiky

Otevřené úlohy 1–14 · 25 bodů

1. Úloha 1: Čísla v desetinném zápisu

   1 bod

   Vypočtěte:

   $\frac{0{,}00072}{3\cdot10^{-5}}$
   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 1

   Postup řešení

   1. Čitatel zapíšeme jako $7{,}2\cdot10^{-4}$.
   2. Podíl je $(7{,}2/3)\cdot10=24$.

   Výsledek: 24

   Bodování

   • 1 bod: Správná hodnota 24.

2. Úloha 2: Dělitelnost součinu

   1 bod

   Určete nejmenší kladné celé číslo n, pro které je součin 84n dělitelný číslem 360.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 2

   Postup řešení

   1. Rozklady jsou $84=2^2\cdot3\cdot7$ a $360=2^3\cdot3^2\cdot5$.
   2. V součinu je třeba doplnit faktor 2 · 3 · 5 = 30. Nejmenší n je tedy 30.

   Výsledek: 30

   Bodování

   • 1 bod: Nejmenší vyhovující číslo 30.

3. Úloha 3: Rozklad a hodnota mnohočlenu

   2 body

   Je dán mnohočlen $P(z)=z^2-10z+16$.

   1. Rozložte P(z) na součin lineárních dvojčlenů.
   2. Vypočtěte P(5).
   3.1

   3.2
   Postup řešení a bodování úlohy 3

   Postup řešení

   1. Dvě čísla se součtem −10 a součinem 16 jsou −2 a −8. Proto P(z) = (z − 2)(z − 8).
   2. Dosadíme z = 5: P(5) = 25 − 50 + 16 = −9.

   Výsledek: 3.1 $(z-2)(z-8)$; 3.2 −9.

   Bodování

   • 1 bod: 3.1: Správný rozklad.
   • 1 bod: 3.2: Správná hodnota −9.

4. Úloha 4: Složený zlomek

   2 body

   Pro nenulová reálná čísla x, y, kde $x\ne y$, zjednodušte:

   $\frac{\frac1x+\frac1y}{\frac1x-\frac1y}$

   Uveďte celý postup řešení.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 4

   Postup řešení

   1. Čitatel převedeme na $(x+y)/(xy)$, jmenovatel na $(y-x)/(xy)$.
   2. Při dělení násobíme převráceným zlomkem. Nenulový faktor xy zkrátíme a dostaneme $(x+y)/(y-x)$.

   Výsledek: $\frac{x+y}{y-x}$

   Bodování

   • 1 bod: Správné sloučení zlomků v čitateli a jmenovateli.
   • 1 bod: Dokončení úpravy se správným znaménkem.

5. Úloha 5: Absolutní hodnoty

   1 bod

   Vypočtěte přesně $|\sqrt5-3|+|\sqrt5+3|$.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 5

   Postup řešení

   1. Protože $\sqrt5<3$, první absolutní hodnota je $3-\sqrt5$.
   2. Druhá je $\sqrt5+3$. Součet je 6.

   Výsledek: 6

   Bodování

   • 1 bod: Správná hodnota 6.

6. Úloha 6: Rovnice s odmocninou

   2 body

   Vyřešte v oboru reálných čísel:

   $\sqrt{2x+7}=x+2$

   Uveďte celý postup řešení.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 6

   Postup řešení

   1. Levá strana je nezáporná, proto musí být x ≥ −2. Tato podmínka zároveň zaručuje nezáporný výraz pod odmocninou.
   2. Umocněním dostaneme $2x+7=(x+2)^2$, tedy $(x-1)(x+3)=0$. Kandidáti jsou 1 a −3.
   3. Hodnota −3 nesplňuje x ≥ −2. Pro x = 1 je na obou stranách 3.

   Výsledek: $x=1$

   Bodování

   • 1 bod: Správná algebraická úprava a nalezení kandidátů.
   • 1 bod: Kontrola přípustnosti a jediný kořen 1.

7. Úloha 7: Soustava tří rovnic

   2 body

   Vyřešte pro reálná x, y, z:

   $\begin{aligned}x+y+z&=12\\2x-y+z&=7\\x+2y-z&=6\end{aligned}$

   Uveďte celý postup řešení.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 7

   Postup řešení

   1. Odečtením první rovnice od druhé vyjde x − 2y = −5, tedy x = 2y − 5. Z první rovnice je z = 17 − 3y.
   2. Dosadíme do třetí: 2y − 5 + 2y − (17 − 3y) = 6. Tedy 7y = 28 a y = 4.
   3. Zpětným dosazením dostaneme x = 3 a z = 5. Kontrola dává 12, 7 a 6 na levých stranách.

   Výsledek: x = 3, y = 4, z = 5.

   Bodování

   • 1 bod: Eliminace vedoucí k jedné správně určené neznámé.
   • 1 bod: Dokončení a všechny tři správné hodnoty.

8. Úloha 8: Parabola otevřená dolů

   2 body

   Funkce je dána předpisem $f(x)=-(x-1)^2+4$.

   1. Určete všechny nulové body funkce.
   2. Sestrojte graf funkce na papír nebo do pracovní soustavy.
   8.1

   8.2
   Postup řešení a bodování úlohy 8

   Postup řešení

   1. Nulové body splňují $(x-1)^2=4$, tedy x = −1 nebo x = 3.
   2. Vrchol je V[1; 4], osa x = 1 a parabola je otevřená dolů. Prochází například body [0; 3] a [2; 3].

   Výsledek: 8.1 −1 a 3; 8.2 parabola s vrcholem V[1; 4], viz nákres.

   Bodování

   • 1 bod: 8.1: Oba nulové body.
   • 1 bod: 8.2: Správný vrchol, orientace a průběh paraboly skrz oba nulové body.

9. Úloha 9: Součin goniometrických hodnot

   1 bod

   Vypočtěte přesně $\sin(7\pi/6)\cos(\pi/3)$.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 9

   Postup řešení

   1. Hodnoty jsou $\sin(7\pi/6)=-1/2$ a $\cos(\pi/3)=1/2$.
   2. Jejich součin je −1/4.

   Výsledek: $-1/4$

   Bodování

   • 1 bod: Správně −1/4.

10. Úloha 10: Geometrická posloupnost s kladnými členy

    2 body

    V geometrické posloupnosti jsou všechny členy kladné. Platí $a_2=6$ a $a_5=162$.

    1. Určete kvocient.
    2. Vypočtěte součet prvních pěti členů.
    10.1

    10.2
    Postup řešení a bodování úlohy 10

    Postup řešení

    1. Podíl $a_5/a_2=q^3=27$, takže q = 3.
    2. První člen je 2. Prvních pět členů je 2, 6, 18, 54, 162; jejich součet je 242.

    Výsledek: 10.1 q = 3; 10.2 s₅ = 242.

    Bodování

    • 1 bod: 10.1: Kvocient 3.
    • 1 bod: 10.2: Součet 242.

11. Úloha 11: Vzdálenost bodu od přímky

    2 body

    Je dána přímka $p:3x-4y+1=0$ a bod P[5; −1].

    1. Určete vzdálenost P od p.
    2. Napište obecnou rovnici přímky rovnoběžné s p, která prochází bodem P.
    11.1

    11.2
    Postup řešení a bodování úlohy 11

    Postup řešení

    1. Vzdálenost je $\frac{|3\cdot5-4(-1)+1|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=20/5=4$.
    2. Rovnoběžná přímka má tvar 3x − 4y + c = 0. Dosadíme P: 19 + c = 0, proto c = −19.

    Výsledek: 11.1 4; 11.2 $3x-4y-19=0$.

    Bodování

    • 1 bod: 11.1: Vzdálenost 4.
    • 1 bod: 11.2: Správná rovnice včetně nenulového násobku.

12. Úloha 12: Obruba záhonu

    3 body

    Obdélníkový záhon má obsah 180 m². Kolem něj je po celém obvodu vně záhonu chodník široký 1 m, jehož vnější hranice tvoří obdélník. Obsah samotného chodníku je 58 m². Pomocí rovnice nebo soustavy rovnic určete rozměry záhonu.

    Uveďte celý postup řešení.

    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 12

    Postup řešení

    1. Označíme strany záhonu a a b v metrech. Platí ab = 180. Vnější obdélník má rozměry a + 2 a b + 2.
    2. Pro chodník platí $(a+2)(b+2)-ab=58$, tedy 2a + 2b + 4 = 58 a a + b = 27.
    3. Dosadíme b = 27 − a: $a(27-a)=180$, tedy $(a-12)(a-15)=0$. Rozměry jsou 12 m a 15 m. Kontrola: 14 · 17 − 180 = 58.

    Výsledek: 12 m × 15 m.

    Bodování

    • 1 bod: Správné zavedení neznámých a vztah pro obsah záhonu.
    • 1 bod: Správná interpretace chodníku a vztah a + b = 27.
    • 1 bod: Vyřešení a rozměry 12 m a 15 m.

13. Úloha 13: Tětiva a oblouk

    2 body

    Kružnice má střed S a poloměr 5 cm. Vzdálenost středu S od tětivy AB je 4 cm. Uvažujte menší oblouk AB.

    1. Určete délku tětivy AB.
    2. Vypočtěte délku menšího oblouku AB v centimetrech, zaokrouhlete na setiny.
    13.1

    13.2
    Postup řešení a bodování úlohy 13

    Postup řešení

    1. Kolmice ze středu půlí tětivu. Polovina délky je $\sqrt{5^2-4^2}=3$ cm, celá tětiva měří 6 cm.
    2. Polovina středového úhlu je arccos(4/5). Při vyjádření úhlu v radiánech je délka menšího oblouku $5\cdot2\arccos(4/5)$ cm, tedy přibližně 6,44 cm.

    Výsledek: 13.1 6 cm; 13.2 6,44 cm.

    Bodování

    • 1 bod: 13.1: Tětiva 6 cm.
    • 1 bod: 13.2: Oblouk 6,44 cm.

14. Úloha 14: Pokles hodnoty zařízení

    2 body

    Zařízení bylo pořízeno za 60 000 Kč. Na konci každého roku se jeho účetní hodnota sníží o 15 % hodnoty z počátku daného roku.

    1. Určete hodnotu po dvou letech.
    2. Po kolika celých letech poprvé klesne hodnota pod 30 000 Kč?
    14.1

    14.2
    Postup řešení a bodování úlohy 14

    Postup řešení

    1. Po dvou letech je hodnota $60000\cdot0{,}85^2=43350$ Kč.
    2. Hledáme první n, pro které $0{,}85^n<0{,}5$. Pro n = 4 je podíl 0,52200625, pro n = 5 je 0,4437053125. Poprvé tedy po pěti letech.

    Výsledek: 14.1 43 350 Kč; 14.2 po 5 letech.

    Bodování

    • 1 bod: 14.1: Hodnota 43 350 Kč.
    • 1 bod: 14.2: První rok splňující ostrou nerovnost je pátý.

Uzavřené úlohy 15–25 · 25 bodů

15. Úloha 15: Posloupnost daná předpisem

    3 body

    Pro $n=1,2,3,\ldots$ je $a_n=4n-7$. Posuďte tvrzení. Označte A, je-li tvrzení pravdivé, nebo N, je-li nepravdivé.

    1. Třetí člen je 5.A ☐   N ☐
    2. Součet prvních deseti členů je 150.A ☐   N ☐
    3. Každý člen kromě prvního je menší než předchozí.A ☐   N ☐
    Postup řešení a bodování úlohy 15

    Postup řešení

    1. a₃ = 12 − 7 = 5: A.
    2. a₁ = −3, a₁₀ = 33; součet je 10 · (−3 + 33) / 2 = 150: A.
    3. Rozdíl dvou po sobě jdoucích členů je 4 > 0. Posloupnost je rostoucí, nikoli klesající: N.

    Výsledek: 15.1 A; 15.2 A; 15.3 N

    Bodování

    • 3 body: Za tři správně posouzená tvrzení 3 body, za právě dvě 1 bod, za jedno nebo žádné 0 bodů. Neoznačené tvrzení ani tvrzení s oběma označenými možnostmi se nepočítá jako správné.

16. Úloha 16: Definiční obor odmocniny a podílu

    2 body

    Jaký je definiční obor $f(x)=\sqrt{5-x}/(x+2)$?

    1. A) $\langle5;+\infty)$
    2. B) $(-\infty;5\rangle\setminus\{-2\}$
    3. C) $(-2;5\rangle$
    4. D) $(-\infty;5)$
    5. E) $\mathbb R\setminus\{-2\}$
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 16

    Postup řešení

    1. Pod odmocninou musí být 5 − x ≥ 0, tedy x ≤ 5.
    2. Jmenovatel nesmí být nula, proto vyřadíme x = −2.

    Výsledek: B — $(-\infty;5\rangle\setminus\{-2\}$

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď B. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

17. Úloha 17: Rovnost logaritmů

    2 body

    Které reálné číslo řeší $\log_3(x-2)=1+\log_3(8-x)$?

    1. A) 3,5
    2. B) 5
    3. C) 6,5
    4. D) 7,5
    5. E) Žádné reálné číslo.
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 17

    Postup řešení

    1. Podmínky jsou 2 < x < 8. Jedničku zapíšeme jako log₃3.
    2. Rovnost logaritmů dává x − 2 = 3(8 − x), tedy 4x = 26 a x = 6,5. Kořen je přípustný.

    Výsledek: C — 6,5

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď C. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

18. Úloha 18: Úhel vektorů

    2 body

    Určete úhel mezi vektory $(1;\sqrt3)$ a $(2;0)$.

    1. A) 0°
    2. B) 30°
    3. C) 45°
    4. D) 60°
    5. E) 120°
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 18

    Postup řešení

    1. Skalární součin je 2 a oba vektory mají velikost 2.
    2. Kosinus úhlu je 2/(2 · 2) = 1/2. Úhel mezi vektory je 60°.

    Výsledek: D — 60°

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď D. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

19. Úloha 19: Obdélník daný poměrem stran

    2 body

    Poměr sousedních stran obdélníku je 2 : 3 a úhlopříčka měří $\sqrt{52}$ cm. Jaký je obsah obdélníku?

    1. A) 12 cm²
    2. B) 18 cm²
    3. C) 26 cm²
    4. D) 36 cm²
    5. E) 24 cm²
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 19

    Postup řešení

    1. Délky stran označíme 2k a 3k. Pythagorova věta dává 13k² = 52, tedy k = 2.
    2. Strany měří 4 cm a 6 cm, obsah je 24 cm².

    Výsledek: E — 24 cm²

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď E. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

20. Úloha 20: Polokulová prohlubeň

    2 body

    Do kamenného bloku je vyhloubena prohlubeň tvaru přesné polokoule o poloměru 3 cm. Jaký objem materiálu byl odstraněn?

    1. A) $18\pi\ \mathrm{cm}^3$
    2. B) $9\pi\ \mathrm{cm}^3$
    3. C) $27\pi\ \mathrm{cm}^3$
    4. D) $36\pi\ \mathrm{cm}^3$
    5. E) $54\pi\ \mathrm{cm}^3$
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 20

    Postup řešení

    1. Objem koule je $4\pi r^3/3$.
    2. Odstraněna byla polovina, tedy $2\pi\cdot27/3=18\pi$ cm³.

    Výsledek: A — $18\pi\ \mathrm{cm}^3$

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď A. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

21. Úloha 21: Komolý kužel

    2 body

    Komolý rotační kužel má poloměry podstav 4 cm a 2 cm a výšku 3 cm. Jaký je jeho objem?

    1. A) $12\pi\ \mathrm{cm}^3$
    2. B) $18\pi\ \mathrm{cm}^3$
    3. C) $24\pi\ \mathrm{cm}^3$
    4. D) $28\pi\ \mathrm{cm}^3$
    5. E) $36\pi\ \mathrm{cm}^3$
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 21

    Postup řešení

    1. Použijeme $V=\pi h(R^2+Rr+r^2)/3$.
    2. Dosazením je V = π(16 + 8 + 4) = 28π cm³.

    Výsledek: D — $28\pi\ \mathrm{cm}^3$

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď D. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

22. Úloha 22: Tříčlenná komise

    2 body

    Ze šesti žen a čtyř mužů vybíráme tříčlennou komisi bez rozlišení funkcí. V komisi mají být alespoň dvě ženy. Kolika způsoby ji lze vybrat?

    1. A) 60
    2. B) 72
    3. C) 80
    4. D) 100
    5. E) 120
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 22

    Postup řešení

    1. Přesně dvě ženy a jednoho muže lze vybrat $\binom62\binom41=60$ způsoby.
    2. Tři ženy lze vybrat 20 způsoby. Možnosti jsou disjunktní, celkem 60 + 20 = 80.

    Výsledek: C — 80

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď C. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

23. Úloha 23: Dělitelnost v náhodném výběru

    2 body

    Z čísel 1 až 9 vybereme náhodně jedno, všechna mají stejnou šanci. Jaká je pravděpodobnost, že vybrané číslo je dělitelné dvěma nebo třemi (případně oběma)?

    1. A) $2/3$
    2. B) $7/9$
    3. C) $5/9$
    4. D) $1/3$
    5. E) $4/9$
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 23

    Postup řešení

    1. Vyhovují čísla 2, 3, 4, 6, 8 a 9. Číslo 6 počítáme pouze jednou.
    2. Příznivých výsledků je 6 z 9, pravděpodobnost je 2/3.

    Výsledek: A — $2/3$

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď A. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

24. Úloha 24: Oprava jednoho údaje

    2 body

    V souboru bylo jedno číslo 8 omylem zapsáno místo správného čísla 20. Po opravě se aritmetický průměr souboru zvýšil o 1,5. Kolik čísel obsahuje soubor?

    1. A) 6
    2. B) 8
    3. C) 10
    4. D) 12
    5. E) 18
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 24

    Postup řešení

    1. Součet údajů se zvýšil o 12. Počet údajů n zůstal stejný.
    2. Zvýšení průměru je 12/n = 1,5, tedy n = 8.

    Výsledek: B — 8

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď B. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

25. Úloha 25: Průsečíky hyperboly

    4 body

    Je dána funkce $f(x)=3/(x-2)+1$. Ke každé otázce přiřaďte interval, v němž leží hledané číslo. Každou možnost použijte nejvýše jednou.

    1. $f(x)=f(0)+1$. Ve kterém intervalu leží řešení x?
    2. Ve kterém intervalu leží kladná první souřadnice průsečíku grafu f s přímkou y = x?
    1. A) $(-6;-3\rangle$
    2. B) $(-3;0\rangle$
    3. C) $(0;1\rangle$
    4. D) $(1;2)$
    5. E) $(2;3\rangle$
    6. F) $(3;6\rangle$
    25.1

    25.2
    Postup řešení a bodování úlohy 25

    Postup řešení

    1. f(0) = −1/2, hledaná hodnota funkce je 1/2. Z 3/(x − 2) = −1/2 vyjde x = −4, což patří do A.
    2. Průsečíky splňují $3/(x-2)+1=x$, tedy $x^2-3x-1=0$. Kladný kořen $(3+\sqrt{13})/2$ je přibližně 3,303, patří do F. Oba kořeny jsou různé od 2.

    Výsledek: 25.1 A — $(-6;-3\rangle$; 25.2 F — $(3;6\rangle$

    Bodování

    • 2 body: 25.1: A. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.
    • 2 body: 25.2: F. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.