Typový test k maturitě z matematiky

Otevřené úlohy 1–14 · 25 bodů

1. Úloha 1: Sjednocení intervalů

   1 bod

   Zapište jediným intervalem množinu $\langle-5;1)\cup(-1;4\rangle$.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 1

   Postup řešení

   1. Intervaly se překrývají mezi −1 a 1, nezůstává mezi nimi mezera.
   2. Krajní body −5 a 4 jsou zahrnuty. Sjednocení je ⟨−5; 4⟩.

   Výsledek: $\langle-5;4\rangle$

   Bodování

   • 1 bod: Správný interval včetně obou krajních bodů.

2. Úloha 2: Ředění směsi

   1 bod

   Ve 200 g směsi tvoří barvivo 12 % hmotnosti. Přidáme 50 g čisté vody. Jaké procento hmotnosti nové směsi tvoří barvivo?

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 2

   Postup řešení

   1. Barvivo má hmotnost 0,12 · 200 = 24 g, která se přidáním vody nezmění.
   2. Nová hmotnost je 250 g, proto podíl činí 24/250 = 0,096 = 9,6 %.

   Výsledek: 9,6 %

   Bodování

   • 1 bod: Správná koncentrace 9,6 %.

3. Úloha 3: Racionální exponenty

   1 bod

   Vypočtěte přesně:

   $\frac{27^{2/3}-16^{3/4}}{32^{-1/5}}$
   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 3

   Postup řešení

   1. V čitateli je 3² − 2³ = 9 − 8 = 1.
   2. Jmenovatel je 1/2. Podíl 1 : (1/2) je 2.

   Výsledek: 2

   Bodování

   • 1 bod: Správná hodnota 2.

4. Úloha 4: Rozklad kubického výrazu

   2 body

   Rozložte na součin lineárních činitelů:

   $y^3-9y^2+20y$

   Uveďte celý postup řešení.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 4

   Postup řešení

   1. Vytkneme y: $y(y^2-9y+20)$.
   2. Dvojice čísel se součtem −9 a součinem 20 je −4, −5. Výsledkem je $y(y-4)(y-5)$.

   Výsledek: $y(y-4)(y-5)$

   Bodování

   • 1 bod: Vytknutí y a správný kvadratický činitel.
   • 1 bod: Dokončený rozklad na tři lineární činitele.

5. Úloha 5: Počáteční rychlost

   1 bod

   Pro $t>0$ platí $s=vt+at^2/2$. Vyjádřete v pomocí s, a, t.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 5

   Postup řešení

   1. Odečteme $at^2/2$ a dělíme nenulovým t.
   2. Dostaneme $v=s/t-at/2$.

   Výsledek: $v=\frac{s}{t}-\frac{at}{2}$

   Bodování

   • 1 bod: Správné vyjádření v.

6. Úloha 6: Lineární rovnice s parametrem

   2 body

   Je dána rovnice $(k-2)x=k+4$, kde k je reálný parametr a x neznámá.

   1. Pro které k rovnice nemá řešení?
   2. Pro které k má rovnice řešení x = 3?
   6.1

   6.2
   Postup řešení a bodování úlohy 6

   Postup řešení

   1. Pro k = 2 je levá strana nulová a pravá 6, takže rovnice nemá řešení. Pro každé jiné k lze dělit k − 2 a dostaneme právě jeden kořen.
   2. Má-li být kořenem x = 3, pak 3(k − 2) = k + 4. Odtud 2k = 10, tedy k = 5.

   Výsledek: 6.1 k = 2; 6.2 k = 5.

   Bodování

   • 1 bod: 6.1: Jediná hodnota 2.
   • 1 bod: 6.2: Správně 5.

7. Úloha 7: Podílová nerovnice

   2 body

   Řešte v oboru reálných čísel:

   $\frac{x+3}{2-x}\ge0$

   Uveďte celý postup řešení.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 7

   Postup řešení

   1. Nulový bod čitatele je −3, jmenovatel je nulový při 2. Hodnota 2 je vyloučena.
   2. Pro x < −3 je podíl záporný, pro −3 < x < 2 kladný a pro x > 2 záporný. Nulový bod −3 zahrneme.

   Výsledek: $x\in\langle-3;2)$

   Bodování

   • 1 bod: Rozbor znamének včetně zakázané hodnoty 2.
   • 1 bod: Výsledný interval ⟨−3; 2).

8. Úloha 8: Předpis exponenciální funkce

   2 body

   Funkce má tvar $f(x)=a\cdot b^x$, kde a, b jsou kladné konstanty a $b\ne1$. Její graf prochází body [0; 3] a [2; 12].

   1. Určete předpis f.
   2. Určete x, pro které f(x) = 96.
   8.1

   8.2
   Postup řešení a bodování úlohy 8

   Postup řešení

   1. Z f(0) = a = 3 plyne a = 3. Z f(2) = 3b² = 12 dostaneme kladné b = 2.
   2. Rovnice 3 · 2ˣ = 96 dává 2ˣ = 32, tedy x = 5.

   Výsledek: 8.1 $f(x)=3\cdot2^x$; 8.2 x = 5.

   Bodování

   • 1 bod: 8.1: Úplný předpis s oběma správnými konstantami.
   • 1 bod: 8.2: Hodnota 5.

9. Úloha 9: Logaritmus s proměnným základem

   1 bod

   Pro $a>0$, $a\ne1$ zjednodušte $\log_a\sqrt a-\log_a(a^{-2})$.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 9

   Postup řešení

   1. První logaritmus je 1/2, druhý −2.
   2. Rozdíl je 1/2 − (−2) = 5/2.

   Výsledek: $5/2$

   Bodování

   • 1 bod: Správně 5/2.

10. Úloha 10: Součet délek úseků

    2 body

    Trasa je rozdělena na úseky. První měří 4 km a každý další je o 3 km delší než předchozí. Celá trasa má délku 175 km.

    1. Kolik úseků trasa obsahuje?
    2. Jak dlouhý je poslední úsek?
    10.1

    10.2
    Postup řešení a bodování úlohy 10

    Postup řešení

    1. Pro n úseků je $175=n(8+3(n-1))/2$, tedy $3n^2+5n-350=0$. Kladný kořen je n = 10, druhý kořen je záporný.
    2. Poslední úsek měří $4+9\cdot3=31$ km.

    Výsledek: 10.1 10 úseků; 10.2 31 km.

    Bodování

    • 1 bod: 10.1: Počet 10.
    • 1 bod: 10.2: Délka 31 km.

11. Úloha 11: Přímka z parametrického vyjádření

    2 body

    Přímka p je dána $x=-2+3t$, $y=4-2t$, $t\in\mathbb R$.

    1. Napište obecnou rovnici p.
    2. Sestrojte p do pracovní soustavy nebo na papír.
    11.1

    11.2
    Postup řešení a bodování úlohy 11

    Postup řešení

    1. Směrový vektor je (3; −2), normálový může být (2; 3). Přímka prochází bodem [−2; 4], takže 2x + 3y − 8 = 0.
    2. Pro t = 0 dostaneme [−2; 4], pro t = 1 bod [1; 2] a pro t = 2 bod [4; 0]. Přímku vedeme skrz tyto body a prodloužíme oběma směry.

    Výsledek: 11.1 $2x+3y-8=0$; 11.2 viz nákres.

    Bodování

    • 1 bod: 11.1: Obecná rovnice nebo nenulový násobek.
    • 1 bod: 11.2: Správně narýsovaná přímka; samotný výčet bodů nestačí.

12. Úloha 12: Dvě části cesty

    3 body

    Doručovatel absolvoval trasu dlouhou 30 km. Část ušel rychlostí 4 km/h, zbývající část jel na kole rychlostí 16 km/h. Celá cesta bez zastávek trvala 3 hodiny 45 minut. Pomocí rovnice nebo soustavy rovnic určete délku pěší a cyklistické části.

    Uveďte celý postup řešení.

    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 12

    Postup řešení

    1. Označíme x délku pěší části v km, zbývající část měří 30 − x km. Celkový čas je 3,75 h.
    2. Sečteme doby obou částí: $x/4+(30-x)/16=3{,}75$. Po vynásobení 16 je 4x + 30 − x = 60.
    3. Vyjde x = 10 km. Na kole ujel 20 km. Kontrola: 10/4 + 20/16 = 2,5 + 1,25 = 3,75 h.

    Výsledek: Pěšky 10 km, na kole 20 km.

    Bodování

    • 1 bod: Definice neznámé, druhá délka a správný převod času.
    • 1 bod: Správná rovnice pro součet dob.
    • 1 bod: Vyřešení a obě správně přiřazené délky.

13. Úloha 13: Rovnoramenný lichoběžník

    2 body

    Rovnoramenný lichoběžník má základny 18 cm a 8 cm, obě ramena měří 13 cm.

    1. Vypočtěte obsah lichoběžníku.
    2. Vypočtěte délku úhlopříčky v cm, zaokrouhlete na desetiny.
    13.1

    13.2
    Postup řešení a bodování úlohy 13

    Postup řešení

    1. Rozdíl základen 10 cm se rozdělí na dva úseky po 5 cm. Výška je √(13² − 5²) = 12 cm. Obsah je (18 + 8) · 12 / 2 = 156 cm².
    2. Vodorovný průmět úhlopříčky měří (18 + 8)/2 = 13 cm. Úhlopříčka má délku √(13² + 12²) = √313 cm, po zaokrouhlení 17,7 cm.

    Výsledek: 13.1 156 cm²; 13.2 17,7 cm.

    Bodování

    • 1 bod: 13.1: Obsah 156 cm².
    • 1 bod: 13.2: Délka úhlopříčky 17,7 cm.

14. Úloha 14: Jednoduché a složené úročení

    3 body

    Porovnáváme dvě nabídky na dva roky, obě s roční úrokovou mírou 5 %. Nabídka A používá jednoduché úročení: každý roční úrok se vypočte pouze z počátečního vkladu. Nabídka B připisuje úrok na konci roku a dále úročí i připsané úroky. Daně ani poplatky neuvažujte.

    1. O kolik korun více přinese za dva roky nabídka B při počátečním vkladu 20 000 Kč?
    2. Jaký počáteční vklad přinese u nabídky B za dva roky celkem 1 025 Kč úroku? Uveďte celý postup.
    14.1

    14.2
    Postup řešení a bodování úlohy 14

    Postup řešení

    1. Při vkladu 20 000 Kč nabídka A přinese 2 · 1 000 = 2 000 Kč úroku. Nabídka B přinese 20 000 · (1,05² − 1) = 2 050 Kč. Rozdíl je 50 Kč.
    2. Ve druhé části označíme počáteční vklad P. Platí P · (1,05² − 1) = 1 025.
    3. Protože 1,05² − 1 = 0,1025, vyjde P = 10 000 Kč.

    Výsledek: 14.1 o 50 Kč; 14.2 10 000 Kč.

    Bodování

    • 1 bod: 14.1: Správný rozdíl 50 Kč.
    • 1 bod: 14.2: Správně sestavený vztah pro úrok 1 025 Kč.
    • 1 bod: 14.2: Výpočet a vklad 10 000 Kč; bez postupu se část 14.2 nehodnotí.

Uzavřené úlohy 15–25 · 25 bodů

15. Úloha 15: Výroky o reálných číslech

    3 body

    Posuďte pravdivost každého tvrzení. Označte A, je-li tvrzení pravdivé, nebo N, je-li nepravdivé.

    1. $16^{-1/2}=4$.A ☐   N ☐
    2. $\sqrt{(-7)^2}=-7$.A ☐   N ☐
    3. Pro všechna reálná a, b platí $|a+b|\le|a|+|b|$.A ☐   N ☐
    Postup řešení a bodování úlohy 15

    Postup řešení

    1. Záporný exponent znamená převrácenou hodnotu: 1/√16 = 1/4, nikoli 4, tedy N.
    2. Druhá odmocnina je nezáporná, √49 = 7, tedy N.
    3. Mají-li a, b stejné znaménko nebo je některé nula, nastává rovnost. Mají-li opačná znaménka, absolutní hodnota součtu je rozdíl větší a menší absolutní hodnoty, a je tedy menší než jejich součet. Nerovnost platí vždy: A.

    Výsledek: 15.1 N; 15.2 N; 15.3 A

    Bodování

    • 3 body: Za tři správně posouzená tvrzení 3 body, za právě dvě 1 bod, za jedno nebo žádné 0 bodů. Neoznačené tvrzení ani tvrzení s oběma označenými možnostmi se nepočítá jako správné.

16. Úloha 16: Součet řešení goniometrické rovnice

    2 body

    Jaký je součet všech řešení rovnice $\cos(2x)=0$ v intervalu $\langle0;\pi)$?

    1. A) $\pi/4$
    2. B) $\pi/2$
    3. C) $3\pi/4$
    4. D) $\pi$
    5. E) $3\pi/2$
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 16

    Postup řešení

    1. Argument 2x leží v $\langle0;2\pi)$. Je roven π/2 nebo 3π/2.
    2. Řešení jsou x = π/4 a 3π/4. Součet je π.

    Výsledek: D — $\pi$

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď D. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

17. Úloha 17: Dvojnásobný kořen

    2 body

    Pro které reálné c má rovnice $x^2-8x+c=0$ právě jeden reálný kořen?

    1. A) 16
    2. B) 8
    3. C) 4
    4. D) −16
    5. E) 64
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 17

    Postup řešení

    1. Diskriminant musí být nulový: $64-4c=0$.
    2. Vyjde c = 16. Pak levá strana je (x − 4)².

    Výsledek: A — 16

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď A. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

18. Úloha 18: Osová souměrnost v souřadnicích

    2 body

    Bod P[1; 5] zobrazíme v osové souměrnosti podle přímky y = x − 2. Jaké souřadnice má jeho obraz?

    1. A) [5; 1]
    2. B) [−1; −5]
    3. C) [7; −1]
    4. D) [3; 3]
    5. E) [−3; 9]
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 18

    Postup řešení

    1. Kolmice k ose procházející P má rovnici y = −x + 6. S osou se protne v S[4; 2].
    2. S je střed úsečky spojující P s obrazem, proto obraz je [2 · 4 − 1; 2 · 2 − 5] = [7; −1].

    Výsledek: C — [7; −1]

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď C. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

19. Úloha 19: Obvod kosočtverce

    2 body

    Kosočtverec má úhlopříčky dlouhé 10 cm a 24 cm. Jaký je jeho obvod?

    1. A) 48 cm
    2. B) 52 cm
    3. C) 60 cm
    4. D) 68 cm
    5. E) 104 cm
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 19

    Postup řešení

    1. Úhlopříčky kosočtverce se půlí a jsou kolmé. Strana je přeponou trojúhelníku s odvěsnami 5 a 12 cm.
    2. Strana měří 13 cm, obvod je 4 · 13 = 52 cm.

    Výsledek: B — 52 cm

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď B. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

20. Úloha 20: Odlévání koulí

    2 body

    Kovový válec má poloměr 4 cm a výšku 9 cm. Přetavíme ho na plné koule o poloměru 2 cm. Kolik celých koulí lze nejvýše odlít? Ztráty materiálu neuvažujte.

    1. A) 9
    2. B) 12
    3. C) 14
    4. D) 18
    5. E) 13
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 20

    Postup řešení

    1. Objem válce je $144\pi$ cm³. Jedna koule má objem $32\pi/3$ cm³.
    2. Podíl objemů je 13,5. Celých koulí lze vyrobit nejvýše 13; zbytek nestačí na čtrnáctou.

    Výsledek: E — 13

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď E. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

21. Úloha 21: Výška a objem jehlanu

    2 body

    Pravidelný čtyřboký jehlan má podstavnou hranu 10 cm a výšku každé boční stěny 13 cm. Jaký je jeho objem?

    1. A) 300 cm³
    2. B) 325 cm³
    3. C) 360 cm³
    4. D) 400 cm³
    5. E) 1 200 cm³
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 21

    Postup řešení

    1. Výška boční stěny, výška jehlanu a polovina podstavné hrany tvoří pravoúhlý trojúhelník. Výška jehlanu je √(13² − 5²) = 12 cm.
    2. Objem je 10² · 12 / 3 = 400 cm³.

    Výsledek: D — 400 cm³

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď D. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

22. Úloha 22: Sousedící knihy

    2 body

    Pět různých knih postavíme vedle sebe do jedné řady. Dva díly stejného románu musejí stát vedle sebe, jejich vzájemné pořadí však není určeno. Kolik různých uspořádání existuje?

    1. A) 48
    2. B) 24
    3. C) 60
    4. D) 96
    5. E) 120
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 22

    Postup řešení

    1. Dvojici svážeme do jednoho bloku. Tento blok a tři ostatní knihy uspořádáme 4! = 24 způsoby.
    2. Uvnitř bloku jsou dvě pořadí, celkem 2 · 24 = 48.

    Výsledek: A — 48

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď A. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

23. Úloha 23: Dvě kostky a známý údaj

    2 body

    Hodíme dvěma nezávislými spravedlivými šestistěnnými kostkami. Víme, že na první padlo sudé číslo. Jaká je za této podmínky pravděpodobnost, že součet obou čísel je 8?

    1. A) $1/12$
    2. B) $5/36$
    3. C) $1/6$
    4. D) $1/4$
    5. E) $1/3$
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 23

    Postup řešení

    1. První kostka může mít 2, 4 nebo 6; druhá kterékoli ze šesti čísel. Máme 18 stejně pravděpodobných dvojic.
    2. Vyhovují (2; 6), (4; 4), (6; 2), tedy 3/18 = 1/6.

    Výsledek: C — $1/6$

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď C. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

24. Úloha 24: Směrodatná odchylka

    2 body

    Soubor obsahuje hodnoty 2, 2, 6, 6. Jaká je jeho směrodatná odchylka? Rozptyl počítejte jako průměr čtverců odchylek od aritmetického průměru (dělte počtem všech hodnot).

    1. A) 1
    2. B) 2
    3. C) 4
    4. D) $\sqrt8$
    5. E) 8
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 24

    Postup řešení

    1. Průměr je 4. Odchylky jsou −2, −2, 2, 2 a jejich čtverce jsou všechny 4.
    2. Rozptyl je 4 a směrodatná odchylka √4 = 2.

    Výsledek: B — 2

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď B. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

25. Úloha 25: Podmínky dvou výrazů

    4 body

    Ke každému výrazu přiřaďte jeho definiční obor v reálných číslech. Každou možnost použijte nejvýše jednou.

    1. $\frac{\sqrt{9-x^2}}{x-1}$
    2. $\log_5(x+3)+\log_5(3-x)$
    1. A) $\langle-3;3\rangle$
    2. B) $(-3;3)$
    3. C) $\langle-3;3\rangle\setminus\{1\}$
    4. D) $(-\infty;-3\rangle\cup\langle3;+\infty)$
    5. E) $(1;3)$
    6. F) $\langle-3;1)$
    25.1

    25.2
    Postup řešení a bodování úlohy 25

    Postup řešení

    1. První výraz vyžaduje 9 − x² ≥ 0, tedy −3 ≤ x ≤ 3, a zároveň x ≠ 1. Jde o C.
    2. Oba logaritmy musejí mít kladné argumenty: x > −3 a x < 3. Jde o B.

    Výsledek: 25.1 C — $\langle-3;3\rangle\setminus\{1\}$; 25.2 B — $(-3;3)$

    Bodování

    • 2 body: 25.1: C. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.
    • 2 body: 25.2: B. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.