Typový test k maturitě z matematiky

Otevřené úlohy 1–14 · 25 bodů

1. Úloha 1: Celá čísla v dané vzdálenosti

   1 bod

   Kolik celých čísel x splňuje $|x-4|\le3$?

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 1

   Postup řešení

   1. Nerovnost popisuje čísla vzdálená od 4 nejvýše o 3, tedy interval ⟨1; 7⟩.
   2. Obsahuje celá čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Je jich sedm.

   Výsledek: 7

   Bodování

   • 1 bod: Správný počet 7.

2. Úloha 2: Procenta ze dvou skupin

   1 bod

   Ve škole tvoří chlapci 60 % žáků. Brýle nosí 20 % chlapců a 30 % dívek. Kolik procent všech žáků nosí brýle?

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 2

   Postup řešení

   1. Chlapci s brýlemi tvoří 0,60 · 0,20 = 0,12 všech žáků. Dívky s brýlemi tvoří 0,40 · 0,30 = 0,12 všech žáků.
   2. Obě skupiny jsou disjunktní, podíly sečteme: 0,24 = 24 %.

   Výsledek: 24 %

   Bodování

   • 1 bod: Správný podíl 24 %.

3. Úloha 3: Podíl mnohočlenů

   2 body

   Zjednodušte na mnohočlen a uveďte podmínku původního výrazu:

   $\frac{x^3+8}{x+2}$
   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 3

   Postup řešení

   1. Jmenovatel nesmí být nula, proto $x\ne-2$.
   2. Použijeme součet třetích mocnin: $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$. Po krácení je výsledek $x^2-2x+4$.

   Výsledek: $x^2-2x+4,\quad x\ne-2$

   Bodování

   • 1 bod: Správný mnohočlen.
   • 1 bod: Podmínka x ≠ −2.

4. Úloha 4: Součin výrazů s odmocninou

   2 body

   Zjednodušte a určete všechny reálné hodnoty a, pro které má původní výraz smysl:

   $\frac{(\sqrt a-1)(\sqrt a+1)}{a-1}$
   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 4

   Postup řešení

   1. Odmocnina vyžaduje a ≥ 0 a jmenovatel a ≠ 1. Čitatel je rozdíl čtverců (√a)² − 1 = a − 1.
   2. Nenulový činitel a − 1 zkrátíme. Výsledek je 1; podmínky původního výrazu zůstávají.

   Výsledek: $1,\quad a\in\langle0;+\infty)\setminus\{1\}$

   Bodování

   • 1 bod: Správná hodnota 1.
   • 1 bod: Obě podmínky a ≥ 0 a a ≠ 1.

5. Úloha 5: Exponenciální rovnice

   1 bod

   Řešte v reálných číslech $4^x=8^{x-1}$.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 5

   Postup řešení

   1. Převedeme na stejný základ: $2^{2x}=2^{3x-3}$.
   2. Z rovnosti exponentů 2x = 3x − 3 dostaneme x = 3.

   Výsledek: x = 3

   Bodování

   • 1 bod: Správný kořen 3.

6. Úloha 6: Nerovnice s absolutní hodnotou

   2 body

   Řešte v reálných číslech:

   $|3x+1|<5$

   Uveďte celý postup řešení.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 6

   Postup řešení

   1. Přepíšeme na dvojitou nerovnost $-5<3x+1<5$.
   2. Po odečtení 1 a dělení kladným číslem 3 dostaneme $-2<x<4/3$. Krajní body nepatří do řešení.

   Výsledek: $x\in(-2;4/3)$

   Bodování

   • 1 bod: Správná dvojitá nerovnost nebo ekvivalentní rozbor.
   • 1 bod: Správný otevřený interval.

7. Úloha 7: Rovnice ze součtu a součinu kořenů

   2 body

   Kvadratická rovnice má koeficient u x² roven 1. Součet jejích dvou kořenů je 7 a jejich součin je 10.

   1. Napište tuto rovnici ve tvaru x² + bx + c = 0.
   2. Určete oba její kořeny.
   7.1

   7.2
   Postup řešení a bodování úlohy 7

   Postup řešení

   1. Pro kořeny r, s platí $(x-r)(x-s)=x^2-(r+s)x+rs$. Hledaná rovnice je $x^2-7x+10=0$.
   2. Rozklad $(x-2)(x-5)=0$ dává kořeny 2 a 5.

   Výsledek: 7.1 $x^2-7x+10=0$; 7.2 kořeny 2 a 5.

   Bodování

   • 1 bod: 7.1: Správná rovnice s vedoucím koeficientem 1.
   • 1 bod: 7.2: Oba kořeny.

8. Úloha 8: Posunutá sinusoida

   2 body

   Je dána funkce $f(x)=\sin x+1$ pro $x\in\langle0;2\pi\rangle$. Argumenty jsou v radiánech.

   1. Určete obor hodnot f.
   2. Sestrojte graf f do pracovní soustavy nebo na papír.
   8.1

   8.2
   Postup řešení a bodování úlohy 8

   Postup řešení

   1. Sinus nabývá hodnot od −1 do 1 včetně, po posunu o 1 je obor hodnot ⟨0; 2⟩.
   2. Graf prochází body [0; 1], [π/2; 2], [π; 1], [3π/2; 0], [2π; 1]. Spojíme je hladkou sinusoidou, oba krajní body zahrneme.

   Výsledek: 8.1 $H(f)=\langle0;2\rangle$; 8.2 viz nákres.

   Bodování

   • 1 bod: 8.1: Úplný obor hodnot včetně krajních hodnot.
   • 1 bod: 8.2: Správná hladká sinusoida na celém zadaném intervalu včetně obou konců.

9. Úloha 9: Logaritmus součinu

   1 bod

   Je dáno $\log_2 7=a$. Vyjádřete pomocí a hodnotu $\log_2 56$.

   Odpověď
   Postup řešení a bodování úlohy 9

   Postup řešení

   1. Rozložíme 56 = 8 · 7.
   2. Logaritmus součinu je součet: log₂ 8 + log₂ 7 = 3 + a.

   Výsledek: $a+3$

   Bodování

   • 1 bod: Správný výraz a + 3.

10. Úloha 10: Geometrická posloupnost se záporným kvocientem

    1 bod

    Geometrická posloupnost má $a_1=81$ a kvocient $q=-1/3$. Určete pátý člen.

    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 10

    Postup řešení

    1. Použijeme $a_5=a_1q^4$. Sudá mocnina záporného kvocientu je kladná.
    2. Vyjde $a_5=81\cdot(-1/3)^4=1$. Kontrola výčtem: 81, −27, 9, −3, 1.

    Výsledek: a₅ = 1

    Bodování

    • 1 bod: Správný pátý člen 1.

11. Úloha 11: Těžiště a obsah trojúhelníku

    3 body

    V rovině jsou dány body A[−1; −2], B[5; 1], C[1; 4].

    1. Určete souřadnice těžiště ABC.
    2. Vypočtěte obsah ABC. Uveďte celý postup.
    11.1

    11.2
    Postup řešení a bodování úlohy 11

    Postup řešení

    1. Souřadnice těžiště jsou průměry souřadnic vrcholů: $T=[(-1+5+1)/3;(-2+1+4)/3]=[5/3;1]$.
    2. Trojúhelník uzavřeme do obdélníku −1 ≤ x ≤ 5, −2 ≤ y ≤ 4 o obsahu 36. Mimo trojúhelník zůstanou tři pravoúhlé trojúhelníky.
    3. Jejich obsahy jsou 6 · 3 / 2 = 9, 2 · 6 / 2 = 6 a 4 · 3 / 2 = 6. Obsah ABC je 36 − 9 − 6 − 6 = 15.

    Výsledek: 11.1 $T=[5/3;1]$; 11.2 obsah 15.

    Bodování

    • 1 bod: 11.1: Obě souřadnice těžiště.
    • 1 bod: 11.2: Správný postup výpočtu obsahu, například odečtení tří trojúhelníků od obdélníku; uznává se i správný analytický postup.
    • 1 bod: 11.2: Správný výpočet obsahu 15; bez postupu se část 11.2 nehodnotí.

12. Úloha 12: Dvojí výměna části roztoku

    3 body

    V nádobě je 20 litrů dokonale promíchaného roztoku obsahujícího 25 objemových procent barviva. Odebereme x litrů roztoku a doplníme stejné množství čisté vody. Promícháme a celý postup se stejným x ještě jednou zopakujeme. Nakonec má roztok 16 objemových procent barviva. Určete x. Předpokládejte, že se objemy sčítají.

    Uveďte celý postup řešení.

    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 12

    Postup řešení

    1. Zpočátku je v nádobě 5 litrů barviva. Každé odebrání ponechá podíl 1 − x/20 původního barviva; doplněním vody se množství barviva nezmění.
    2. Po dvou výměnách platí $5(1-x/20)^2=0{,}16\cdot20=3{,}2$. Podmínka je $0\le x\le20$.
    3. Z rovnice $(1-x/20)^2=0{,}64$ a nezápornosti závorky vyjde 1 − x/20 = 0,8, tedy x = 4 litry. Druhá algebraická hodnota 36 litrů podmínce nevyhovuje.

    Výsledek: x = 4 litry

    Bodování

    • 1 bod: Správné vyjádření množství barviva po jedné výměně a omezení x.
    • 1 bod: Správná rovnice pro dvě výměny.
    • 1 bod: Vyřešení a výběr přípustné hodnoty 4 litry.

13. Úloha 13: Dvě kružnice pravoúhlého trojúhelníku

    2 body

    Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny 9 cm a 12 cm.

    1. Určete poloměr kružnice vepsané.
    2. Určete poloměr kružnice opsané.
    13.1

    13.2
    Postup řešení a bodování úlohy 13

    Postup řešení

    1. Přepona má délku √(9² + 12²) = 15 cm. Obsah je 54 cm² a poloviční obvod s = 18 cm. Z S = rs vyjde r = 3 cm.
    2. Střed opsané kružnice pravoúhlého trojúhelníku je střed přepony. Její poloměr R = 15/2 = 7,5 cm.

    Výsledek: 13.1 r = 3 cm; 13.2 R = 7,5 cm.

    Bodování

    • 1 bod: 13.1: Poloměr vepsané kružnice 3 cm.
    • 1 bod: 13.2: Poloměr opsané kružnice 7,5 cm.

14. Úloha 14: Čistý výnos podle modelových pravidel

    2 body

    Uvažujte pouze následující model: na konci každého roku se vypočte hrubý úrok z aktuálního zůstatku, z tohoto úroku se odečte stanovená srážka a zbývající čistý úrok se připíše ke vkladu. Jiné poplatky nejsou. Nejde o popis skutečných daňových pravidel.

    1. Hrubá roční míra je 4 %, srážka 25 % z úroku. Jaký bude zůstatek počátečního vkladu 50 000 Kč po dvou letech?
    2. U jiné nabídky je srážka 40 % z úroku. Jaká musí být hrubá roční míra, aby čistá roční míra činila 3 %?
    14.1

    14.2
    Postup řešení a bodování úlohy 14

    Postup řešení

    1. Při hrubém úroku 4 % a srážce 25 % z úroku je čistá roční míra 4 % · 0,75 = 3 %. Zůstatek je 50 000 · 1,03² = 53 045 Kč.
    2. Je-li srážka 40 %, zůstává 60 % hrubého úroku. Hrubá roční míra p musí splňovat 0,60p = 3 %, tedy p = 5 %.

    Výsledek: 14.1 53 045 Kč; 14.2 5 % ročně.

    Bodování

    • 1 bod: 14.1: Zůstatek 53 045 Kč po obou ročních připsáních.
    • 1 bod: 14.2: Hrubá roční míra 5 %.

Uzavřené úlohy 15–25 · 25 bodů

15. Úloha 15: Dva tahy s vracením

    3 body

    V sáčku jsou dvě červené a tři modré kuličky. Náhodně vytáhneme jednu, vrátíme ji, promícháme a znovu náhodně vytáhneme jednu. Každá kulička má při každém tahu stejnou šanci. Posuďte tvrzení. Označte A, je-li tvrzení pravdivé, nebo N, je-li nepravdivé.

    1. Pravděpodobnost dvou stejných barev je 0,50.A ☐   N ☐
    2. Pravděpodobnost právě jedné červené kuličky je 0,48.A ☐   N ☐
    3. Pravděpodobnost alespoň jedné modré kuličky je 0,60.A ☐   N ☐
    Postup řešení a bodování úlohy 15

    Postup řešení

    1. Stejné barvy: 0,4² + 0,6² = 0,52, nikoli 0,50, tedy N.
    2. Právě jedna červená: 2 · 0,4 · 0,6 = 0,48, tedy A.
    3. Doplňkem jsou dvě červené: 1 − 0,4² = 0,84, nikoli 0,60, tedy N.

    Výsledek: 15.1 N; 15.2 A; 15.3 N

    Bodování

    • 3 body: Za tři správně posouzená tvrzení 3 body, za právě dvě 1 bod, za jedno nebo žádné 0 bodů. Neoznačené tvrzení ani tvrzení s oběma označenými možnostmi se nepočítá jako správné.

16. Úloha 16: Logaritmus se základem menším než jedna

    2 body

    Pro která x platí $\log_{1/2}(x-1)>0$?

    1. A) $(0;1)$
    2. B) $(1;+\infty)$
    3. C) $(1;2)$
    4. D) $(2;+\infty)$
    5. E) $(-\infty;2)$
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 16

    Postup řešení

    1. Argument musí být kladný. Logaritmus se základem 1/2 je klesající a kladný pro argument mezi 0 a 1.
    2. Proto 0 < x − 1 < 1, tedy 1 < x < 2.

    Výsledek: C — $(1;2)$

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď C. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

17. Úloha 17: Dvě současné nerovnosti

    2 body

    Která množina je řešením soustavy $x(x-5)>0$, $x\le7$?

    1. A) $(-\infty;0)\cup(5;7\rangle$
    2. B) $(0;5)$
    3. C) $(5;7)$
    4. D) $\langle0;5\rangle$
    5. E) $(-\infty;7\rangle$
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 17

    Postup řešení

    1. Součin je kladný pro x < 0 nebo x > 5.
    2. Průnik s x ≤ 7 ponechá (−∞; 0) ∪ (5; 7⟩. Hodnoty 0 a 5 nevyhovují ostré první nerovnosti, 7 vyhovuje.

    Výsledek: A — $(-\infty;0)\cup(5;7\rangle$

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď A. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

18. Úloha 18: Rovnoběžné vektory

    2 body

    Pro které k jsou vektory $(k+1;2k-1)$ a $(3;1)$ rovnoběžné?

    1. A) $1/5$
    2. B) $2/5$
    3. C) $3/5$
    4. D) $5/4$
    5. E) $4/5$
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 18

    Postup řešení

    1. První souřadnice musí být trojnásobkem druhé: $k+1=3(2k-1)$.
    2. Dostaneme 5k = 4, tedy k = 4/5. První vektor je pak (9/5; 3/5), nenulový násobek druhého.

    Výsledek: E — $4/5$

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď E. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

19. Úloha 19: Čtverec vepsaný do kružnice

    2 body

    Kružnice má průměr 10 cm. Jaký obsah má čtverec do ní vepsaný?

    1. A) 25 cm²
    2. B) 50 cm²
    3. C) $50\sqrt2\ \mathrm{cm}^2$
    4. D) 100 cm²
    5. E) 200 cm²
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 19

    Postup řešení

    1. Úhlopříčka čtverce je průměrem kružnice a měří 10 cm.
    2. Z 2a² = 100 dostaneme obsah a² = 50 cm².

    Výsledek: B — 50 cm²

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď B. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

20. Úloha 20: Šestiboký hranol

    2 body

    Pravidelný šestiboký hranol má podstavnou hranu 6 cm a výšku 10 cm. Jaký je jeho objem?

    1. A) $90\sqrt3\ \mathrm{cm}^3$
    2. B) $180\sqrt3\ \mathrm{cm}^3$
    3. C) $360\sqrt3\ \mathrm{cm}^3$
    4. D) $540\sqrt3\ \mathrm{cm}^3$
    5. E) $1080\sqrt3\ \mathrm{cm}^3$
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 20

    Postup řešení

    1. Podstavu tvoří šest rovnostranných trojúhelníků o straně 6. Její obsah je $6\cdot(6^2\sqrt3/4)=54\sqrt3$ cm².
    2. Násobíme výškou 10 cm: $V=540\sqrt3$ cm³.

    Výsledek: D — $540\sqrt3\ \mathrm{cm}^3$

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď D. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

21. Úloha 21: Přetavení koule a změna povrchu

    2 body

    Kovovou kouli o poloměru 6 cm beze ztrát přetavíme na osm stejně velkých plných koulí. Jaký je poměr součtu povrchů nových koulí k povrchu původní koule?

    1. A) $1/2$
    2. B) 1
    3. C) 2
    4. D) 4
    5. E) 8
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 21

    Postup řešení

    1. Každá nová koule má osminový objem, tedy poloviční poloměr 3 cm.
    2. Každá má čtvrtinový povrch. Osm čtvrtin původního povrchu tvoří dvojnásobek, poměr je 2.

    Výsledek: C — 2

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď C. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

22. Úloha 22: Čísla bez opakování číslic

    2 body

    Z číslic 1, 2, 3, 5, 7 tvoříme čtyřciferná čísla bez opakování číslic. Kolik těchto čísel je větších než 5 000?

    1. A) 48
    2. B) 24
    3. C) 60
    4. D) 72
    5. E) 120
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 22

    Postup řešení

    1. První číslice musí být 5 nebo 7, tedy dvě možnosti. Každé číslo začínající 5 je za daných podmínek větší než 5 000.
    2. Na další místa vybíráme postupně ze 4, 3 a 2 zbývajících číslic: 2 · 4 · 3 · 2 = 48.

    Výsledek: A — 48

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď A. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

23. Úloha 23: Neznámá četnost

    2 body

    Tabulka zachycuje celý statistický soubor. Jeho aritmetický průměr je 2,5. Jaká je četnost k?

    Hodnoty a jejich četnosti

    Hodnota	Četnost
    1	4
    3	k
    5	2

    1. A) 1
    2. B) 2
    3. C) 3
    4. D) 4
    5. E) 6
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 23

    Postup řešení

    1. Vážený průměr splňuje $(1\cdot4+3k+5\cdot2)/(4+k+2)=2{,}5$.
    2. Po vynásobení je 14 + 3k = 15 + 2,5k. Odtud 0,5k = 1, tedy k = 2.

    Výsledek: B — 2

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď B. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

24. Úloha 24: Strana proti tupému úhlu

    2 body

    Dvě strany trojúhelníku měří 8 cm a 15 cm a svírají úhel 120°. Jak dlouhá je třetí strana? Zaokrouhlete na desetiny centimetru.

    1. A) 13,0 cm
    2. B) 17,0 cm
    3. C) 20,2 cm
    4. D) 23,0 cm
    5. E) 28,6 cm
    Odpověď
    Postup řešení a bodování úlohy 24

    Postup řešení

    1. Kosinová věta dává $c^2=8^2+15^2-2\cdot8\cdot15\cos120^\circ$.
    2. Protože cos 120° = −1/2, dostaneme c² = 64 + 225 + 120 = 409. Délka je √409 ≐ 20,2 cm.

    Výsledek: C — 20,2 cm

    Bodování

    • 2 body: Jediná označená odpověď C. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.

25. Úloha 25: Součty dvou posloupností

    4 body

    Ke každému popisu přiřaďte požadovaný součet (A–F). Každou možnost použijte nejvýše jednou.

    1. Aritmetická posloupnost má druhý člen 7 a šestý člen 23. Určete součet prvních osmi členů.
    2. Geometrická posloupnost s kladným kvocientem má první člen 3 a čtvrtý člen 24. Určete součet prvních pěti členů.
    1. A) 64
    2. B) 93
    3. C) 120
    4. D) 136
    5. E) 144
    6. F) 186
    25.1

    25.2
    Postup řešení a bodování úlohy 25

    Postup řešení

    1. V aritmetické posloupnosti je d = (23 − 7)/4 = 4, první člen 3, osmý 31. Součet je 8(3 + 31)/2 = 136, tedy D.
    2. Pro geometrickou posloupnost je 3q³ = 24, tedy q = 2. Součet 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93, tedy B.

    Výsledek: 25.1 D — 136; 25.2 B — 93

    Bodování

    • 2 body: 25.1: D. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.
    • 2 body: 25.2: B. Jiná, chybějící nebo více označených odpovědí: 0 bodů.