Typový test k přijímacím zkouškám z matematiky

4leté obory

2

Zadání – 15 úloh

Bez kalkulačky · nejvýše 50 bodů

Doporučený čas: 70 minut. Pro souvislý trénink si nastavte časovač a řešení i bodovací klíče otevřete až po dokončení.

Rýsujte pravítkem a kružítkem, pomocné čáry ponechte. Předlohy (obrázky, do kterých máte rýsovat) si nejprve vytiskněte na papír A4. V nastavení tisku zvolte „Skutečná velikost“ nebo měřítko 100 % a vypněte „Přizpůsobit stránce“, aby se obrázky nezmenšily ani nezvětšily. Potom rýsujte přímo do vytištěných obrázků. Kontrolní úsečku přeměřte pravítkem: musí mít 50 mm. Pokud délka nesouhlasí, předlohu překreslete podle zadání. Obrázky na obrazovce nejsou v měřítku.

Pravidla bodování bez odpovědí — celkem 50 bodů

Body se sčítají nejvýše do 50. Za chybu ani prázdnou odpověď se body neodečítají. Počet bodů za každou úlohu je uveden u jejího zadání.

  • Otevřené úlohy: Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.
  • Výběr jedné odpovědi: právě jedna správná možnost = 2 body; chybná, prázdná nebo vícečetná volba = 0 bodů.
  • Tři výroky A/N: za 3 správná posouzení 4 body, za 2 správná 2 body, za 1 nebo 0 správných 0 bodů. Prázdná nebo dvojí volba je nesprávná.
  • Přiřazování: za každé správné přiřazení 2 body, tedy za 0, 1, 2 nebo 3 správná přiřazení postupně 0, 2, 4 nebo 6 bodů.
  • Konstrukce: Každé kritérium se hodnotí samostatně celým uvedeným počtem bodů, při nesplnění 0 body. Body přidělte až po kontrole skutečného rysu pravítkem a kružítkem, včetně požadovaných pomocných čar; samotné tvrzení o výsledku nestačí. Uznává se i jiná správná konstrukce splňující odpovídající podmínky.

Podrobné bodovací klíče u úloh obsahují také správné odpovědi. Rozbalte je až při kontrole hotového testu.

  1. Vypočtěte.

    3 body

    Vypočtěte:

    • (−6)² : 9 − √196
    • (−1,5)² − √0,25
    • (5/6−1/4):7/8
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
    • 1 bod: 1.1: Výsledek −10.
    • 1 bod: 1.2: Výsledek 1,75.
    • 1 bod: 1.3: Výsledek 2/3.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  2. Vyhodnoťte údaje z grafu.

    4 body

    Dvojitý sloupcový graf zobrazuje odchylky od plánu v kolech I–V. Kladná odchylka znamená více bodů, než bylo v daném kole plánováno; záporná znamená méně. Údaje čtěte z grafu.

    • Které družstvo je za pět kol celkem více nad plánem a o kolik?
    • Ve kterém kole je rozdíl odchylek největší?
    Dvojitý sloupcový graf odchylek-10-5051015IIIIIIIVVModříOranžoví
    Odchylky od plánu v kolech I až V, v bodech.
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: 2.1: Určení družstva Modří.
    • 1 bod: 2.1: Náskok o 5 bodů po součtu všech pěti kol.
    • 1 bod: 2.2: Správně porovnané absolutní rozdíly 10, 15, 10, 5, 5 bodů, nebo ekvivalentní porovnání.
    • 1 bod: 2.2: Největší rozdíl ve II. kole.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  3. Určete ceny vstupenek.

    4 body

    Dvě vstupenky pro dospělé a tři dětské stojí 340 Kč. Tři dospělé a jedna dětská stojí 300 Kč. Ceny jednotlivých druhů vstupenek jsou v obou nákupech stejné.

    • Určete cenu dospělé a dětské vstupenky.
    • O kolik procent je dětská vstupenka levnější než dospělá?
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: 3.1: Dospělá vstupenka stojí 80 Kč.
    • 1 bod: 3.1: Dětská vstupenka stojí 60 Kč.
    • 1 bod: 3.2: Podíl rozdílu cen vůči ceně dospělé vstupenky (80 − 60) : 80.
    • 1 bod: 3.2: Dětská vstupenka je levnější o 25 %.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  4. Pracujte s nepřímou úměrností.

    3 body

    Obdélník má stále obsah 180 m², strany a,b v metrech.

    • Vyjádřete a pomocí b.
    • Určete a pro b=12.
    • Určete b pro a=20.
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
    • 1 bod: 4.1: Vztah a = 180/b.
    • 1 bod: 4.2: a = 15 m.
    • 1 bod: 4.3: b = 9 m.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  5. Určete obsah a obvod lichoběžníku.

    3 body

    Rovnoramenný lichoběžník má základny 14 cm a 8 cm, výšku 4 cm. Určete jeho obsah a obvod.

    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
    • 1 bod: Obsah: správný výpočet (14 + 8) · 4 : 2.
    • 1 bod: Obsah: výsledek 44 cm².
    • 1 bod: Obvod: výsledek 32 cm.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  6. Určete dvouciferný kód.

    4 body

    Dvouciferný kód nemá nulovou číslici. Součet jeho číslic je 11. Původní číslo je o 27 větší než číslo vzniklé obrácením číslic. Určete kód.

    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: Podmínka součtu číslic a + b = 11, nebo odpovídající úplný výčet dvojic.
    • 1 bod: Podmínka rozdílu 9(a − b) = 27, nebo její správné použití ve výčtu.
    • 1 bod: Určení desítkové číslice 7 a jednotkové číslice 4.
    • 1 bod: Zápis hledaného kódu 74.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  7. Rozdělte knihy v daném poměru.

    4 body

    Tři pobočky si rozdělily 240 knih v poměru 2:3:5.

    • Kolik knih dostala každá pobočka?
    • Kolik knih by musela pobočka s největším přídělem předat pobočce s nejmenším přídělem, aby potom měly tyto dvě pobočky stejně?
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: 7.1: První pobočka 48 knih.
    • 1 bod: 7.1: Druhá pobočka 72 knih.
    • 1 bod: 7.1: Třetí pobočka 120 knih.
    • 1 bod: 7.2: Přesun 36 knih.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  8. Sestrojte tečnu a dva body.

    2 body

    Je dána kružnice k(S;3 cm) a bod T na kružnici. Sestrojte tečnu t ke k v bodě T. Na t vyznačte oba body X a Y, pro něž TX=TY=4 cm.

    Kružnice k se středem S a bodem TST
    Konstrukční plocha: kružnice k(S; 3 cm) a bod T na kružnici.Kontrolní úsečka: 5 cm (50 mm).
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 1 bod: Tečna t vedená bodem T kolmo k poloměru ST.
    • 1 bod: Oba různé body X a Y na t, každý ve vzdálenosti 4 cm od T, správně označené.

    Každé kritérium se hodnotí samostatně celým uvedeným počtem bodů, při nesplnění 0 body. Body přidělte až po kontrole skutečného rysu pravítkem a kružítkem, včetně požadovaných pomocných čar; samotné tvrzení o výsledku nestačí. Uznává se i jiná správná konstrukce splňující odpovídající podmínky.

  9. Sestrojte všechny vyhovující trojúhelníky.

    3 body

    Je dána úsečka AB=7 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC tak, aby ∠ABC=45°, AC=6 cm a C ležel v horní polorovině s hranicí AB.

    Zadaná úsečka AB délky 7 cmAB
    Konstrukční plocha: AB = 7 cm; všechny vrcholy C hledejte nad AB.Kontrolní úsečka: 5 cm (50 mm).
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
    • 1 bod: Horní polopřímka z B svírající s BA úhel 45°, s doloženou konstrukcí úhlu.
    • 1 bod: Kružnice k(A; 6 cm).
    • 1 bod: Oba její průsečíky s polopřímkou a oba úplné označené trojúhelníky; za dokončení pouze jednoho z nich 0 bodů v tomto kritériu.

    Každé kritérium se hodnotí samostatně celým uvedeným počtem bodů, při nesplnění 0 body. Body přidělte až po kontrole skutečného rysu pravítkem a kružítkem, včetně požadovaných pomocných čar; samotné tvrzení o výsledku nestačí. Uznává se i jiná správná konstrukce splňující odpovídající podmínky.

  10. Rozhodněte o dvojicích celých čísel.

    4 body

    Tabulka obsahuje čtyři dvojice celých čísel. Rozhodněte A/N:

    Čtyři dvojice celých čísel
    x−7−315
    y64−8−2
    • Součet všech čtyř hodnot y je 0.
    • V každém sloupci mají čísla x a y opačná znaménka.
    • Rozdíl největší a nejmenší hodnoty y je 12.
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body

    Každý výrok posuďte samostatně. Prázdná odpověď nebo současné označení A i N se počítá jako nesprávná odpověď. Body se neodečítají.

    Body podle počtu správně posouzených výroků
    Správné výrokyBody
    00
    10
    22
    34

    Klíč v pořadí výroků: A, A, N.

  11. Určete obsah mezikruží.

    2 body

    Soustředné kružnice mají poloměry 5 cm a 7 cm. Použijte π≈3,14. Jaký je obsah mezikruží?

    • A) 37,68 cm²
    • B) 78,50 cm²
    • C) 153,86 cm²
    • D) 75,36 cm²
    • E) 301,44 cm²
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 2 body: Jediná označená odpověď D. Za chybnou, prázdnou nebo vícečetnou volbu 0 bodů; dílčí body se nepřidělují.

  12. Určete výšku stromu.

    2 body

    Svislá tyč vysoká 1,2 m vrhá na vodorovný terén stín dlouhý 1,8 m. Ve stejném okamžiku má svisle rostoucí strom na témže terénu stín dlouhý 7,5 m. Jak vysoký je strom?

    • A) 3,6 m
    • B) 4 m
    • C) 4,5 m
    • D) 11,25 m
    • E) 5 m
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 2 body: Jediná označená odpověď E. Za chybnou, prázdnou nebo vícečetnou volbu 0 bodů; dílčí body se nepřidělují.

  13. Určete objem a povrch válce.

    2 body

    Označený nákres zobrazuje válec. Použijte π≈3,14. Která dvojice udává (objem; celý povrch) v jednotkách (cm³; cm²)?

    • A) (502,4 cm³; 351,68 cm²)
    • B) (502,4; 251,2)
    • C) (160; 351,68)
    • D) (502,4; 301,44)
    • E) (160; 251,2)
    Válec s poloměrem 4 cm a výškou 10 cm4 cm10 cm
    Označený nákres válce; údaje nejsou určeny k přeměřování.
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 2 body: Jediná označená odpověď A. Za chybnou, prázdnou nebo vícečetnou volbu 0 bodů; dílčí body se nepřidělují.

  14. Přiřaďte rozklady výrazů.

    6 bodů

    Přiřaďte každému výrazu jeho rozklad A–F; možnost nejvýše jednou.

    • 4a²−12a+9−(2a−3)(a+1)
    • 9b²−25
    • 6c²+9c
    • A) (2a−3)(a+4)
    • B) (2a−3)(a−4)
    • C) 3c(2c+3)
    • D) (3b−5)²
    • E) (3b−5)(3b+5)
    • F) 3c(2c−3)
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 6 bodů
    • 2 body: 14.1: Přiřazení B; chybná či prázdná odpověď 0 bodů.
    • 2 body: 14.2: Přiřazení E; chybná či prázdná odpověď 0 bodů.
    • 2 body: 14.3: Přiřazení C; chybná či prázdná odpověď 0 bodů.

    Za 0, 1, 2 nebo 3 správná přiřazení získáte postupně 0, 2, 4 nebo 6 bodů. Je-li u jedné podúlohy uvedeno více možností, tato podúloha získá 0 bodů. Opakovaně použitá možnost se započte jen u podúlohy, ke které skutečně patří.

  15. Přepínejte světelnou tabuli.

    4 body

    Světelná tabule má 8 řad a 8 sloupců žárovek. Na začátku jsou všechny zhasnuté. Přepnutí celé řady nebo celého sloupce změní stav každé žárovky v něm na opačný. Každou vybranou řadu i každý vybraný sloupec přepneme právě jednou. Každá podúloha začíná opět se zhasnutou tabulí.

    • Přepneme 2 řady a 3 sloupce. Kolik žárovek bude svítit?
    • Přepneme 3 řady a několik sloupců. Poté svítí 30 žárovek. Kolik sloupců jsme přepnuli?
    • Chceme, aby svítilo 32 žárovek. Přepneme stejný počet řad jako sloupců. Kolik řad a kolik sloupců musíme přepnout? Ověřte, že neexistuje jiná možnost.
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: 15.1: 28 svítících žárovek.
    • 1 bod: 15.2: 3 sloupce.
    • 1 bod: 15.3: 4 řady a 4 sloupce.
    • 1 bod: 15.3: Požadované ověření jednoznačnosti, například úplný výčet k = 0 až 8 nebo úprava 2k(8 − k) = 32 na (k − 4)² = 0.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

    Bod za ověření v části 15.3 vyžaduje doložené vyloučení jiných možností; samotná dvojice 4 a 4 jej nenahrazuje.