Typový test k přijímacím zkouškám z matematiky

4leté obory

Zadání – 15 úloh

Bez kalkulačky · nejvýše 50 bodů

Doporučený čas: 70 minut. Pro souvislý trénink si nastavte časovač a řešení i bodovací klíče otevřete až po dokončení.

Rýsujte pravítkem a kružítkem, pomocné čáry ponechte. Předlohy (obrázky, do kterých máte rýsovat) si nejprve vytiskněte na papír A4. V nastavení tisku zvolte „Skutečná velikost“ nebo měřítko 100 % a vypněte „Přizpůsobit stránce“, aby se obrázky nezmenšily ani nezvětšily. Potom rýsujte přímo do vytištěných obrázků. Kontrolní úsečku přeměřte pravítkem: musí mít 50 mm. Pokud délka nesouhlasí, předlohu překreslete podle zadání. Obrázky na obrazovce nejsou v měřítku.

Pravidla bodování bez odpovědí — celkem 50 bodů

Body se sčítají nejvýše do 50. Za chybu ani prázdnou odpověď se body neodečítají. Počet bodů za každou úlohu je uveden u jejího zadání.

Otevřené úlohy: Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.
Výběr jedné odpovědi: právě jedna správná možnost = 2 body; chybná, prázdná nebo vícečetná volba = 0 bodů.
Tři výroky A/N: za 3 správná posouzení 4 body, za 2 správná 2 body, za 1 nebo 0 správných 0 bodů. Prázdná nebo dvojí volba je nesprávná.
Přiřazování: za každé správné přiřazení 2 body, tedy za 0, 1, 2 nebo 3 správná přiřazení postupně 0, 2, 4 nebo 6 bodů.
Konstrukce: Každé kritérium se hodnotí samostatně celým uvedeným počtem bodů, při nesplnění 0 body. Body přidělte až po kontrole skutečného rysu pravítkem a kružítkem, včetně požadovaných pomocných čar; samotné tvrzení o výsledku nestačí. Uznává se i jiná správná konstrukce splňující odpovídající podmínky.

Podrobné bodovací klíče u úloh obsahují také správné odpovědi. Rozbalte je až při kontrole hotového testu.

Vypočtěte.
3 body
Vypočtěte:
- (−1,2 + 3/5) : (7/8 − 1 1/8)
- (−2,5 + 1,75)·(−8)
Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
- 1 bod: 1.1: Správné hodnoty obou závorek −3/5 a −1/4.
- 1 bod: 1.1: Výsledek 12/5, tedy 2,4.
- 1 bod: 1.2: Výsledek 6.
Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.
Postup řešení
1. −1,2+3/5=−3/5 a 7/8−1 1/8=7/8−9/8=−1/4. Proto (−3/5):(−1/4)=12/5=2,4.
2. (−2,5+1,75)·(−8)=(−0,75)·(−8)=6.
Závěr: 1.1 12/5 = 2,4; 1.2 6
Využijte Thaletovu kružnici.
3 body
Body A, B a C leží na kružnici k. Úsečka AB je jejím průměrem. Platí AC=7 cm a BC=24 cm. Určete poloměr kružnice k.
Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
- 1 bod: Využití pravého úhlu ACB podle Thaletovy věty.
- 1 bod: Průměr AB = 25 cm z Pythagorovy věty.
- 1 bod: Poloměr r = 12,5 cm.
Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.
Postup řešení
1. Protože AB je průměr kružnice a C leží na kružnici, je úhel ACB pravý.
2. V pravoúhlém trojúhelníku AB²=AC²+BC²=7²+24²=49+576=625, tedy průměr AB=25 cm. Poloměr je polovina průměru: r=12,5 cm.
Závěr: r=12,5 cm
Vyhodnoťte tabulku tržeb.
4 body
Tabulka uvádí počet prodaných kusů tří výrobků a cenu jednoho kusu. Vstupní údaje čtěte pouze z tabulky.
- Kolik korun stánek získal prodejem kompasů?
- Kolik korun získal prodejem všech výrobků dohromady?
- Kolik procent všech tržeb tvořily mapy?
Prodané výrobky a ceny
Výrobek Počet prodaných kusů Cena za kus
plakát 12 80 Kč
mapa 15 40 Kč
kompas 8 55 Kč
Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
- 1 bod: 3.1: Tržba za kompasy 440 Kč.
- 1 bod: 3.2: Dílčí tržby za plakáty 960 Kč a za mapy 600 Kč.
- 1 bod: 3.2: Celková tržba 2 000 Kč.
- 1 bod: 3.3: Mapy tvoří 30 % tržeb.
Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.
Postup řešení
1. Za kompasy stánek získal 8·55=440 Kč.
2. Celkové tržby jsou 12·80+15·40+8·55=960+600+440=2 000 Kč.
3. Mapy přinesly 600 Kč, jejich podíl je 600:2 000=0,30=30 %.
Závěr: 3.1 440 Kč; 3.2 2 000 Kč; 3.3 30 %
Namíchejte nápoj.
4 body
Připravte 15 l nápoje s 38 % šťávy smícháním 30% a 50% nápoje. Kolik litrů každého použijete?
Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
- 1 bod: Podmínka celkového objemu x + y = 15, nebo její ekvivalent.
- 1 bod: Podmínka množství šťávy 0,3x + 0,5y = 5,7, nebo ekvivalentní správný model.
- 1 bod: 9 l nápoje s 30 % šťávy.
- 1 bod: 6 l nápoje s 50 % šťávy.
Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.
Postup řešení
1. Nechť x litrů je 30% nápoj a 15−x litrů 50% nápoj.
2. Množství šťávy splňuje 0,30x+0,50(15−x)=0,38·15.
3. Po úpravě 0,30x+7,5−0,50x=5,7, tedy x=9. Druhého nápoje je 15−9=6 litrů.
Závěr: 9 l 30% nápoje a 6 l 50% nápoje
Vyřešte rovnici se zlomky.
3 body
Vyřešte rovnici (2x−3)/4−(x+1)/6=5/12 a proveďte zkoušku.
Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
- 1 bod: Správná ekvivalentní úprava, například 3(2x − 3) − 2(x + 1) = 5.
- 1 bod: Kořen x = 4.
- 1 bod: Požadovaná zkouška v původní rovnici: obě strany 5/12.
Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.
Zkouška je výslovně požadována; samotný kořen získává jen bod za výsledek.
Postup řešení
1. Vynásobíme celou rovnici 12: 3(2x−3)−2(x+1)=5.
2. Roznásobíme a upravíme: 6x−9−2x−2=5, tedy 4x=16 a x=4.
3. Zkouška: (2·4−3)/4−(4+1)/6=5/4−5/6=15/12−10/12=5/12, což je pravá strana.
Závěr: x=4
Určete střed souměrnosti.
4 body
V soustavě souřadnic jsou dány bod P(−5;4) a jeho obraz P′(7;−8) ve středové souměrnosti.
- Určete souřadnice středu souměrnosti S.
- Určete obraz bodu Q(−2;3) v téže středové souměrnosti.
Na mřížce jsou dány body P a P′; jednotky na osách jsou stejně dlouhé.
Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
- 1 bod: 6.1: Souřadnice x středu S je 1.
- 1 bod: 6.1: Souřadnice y středu S je −2.
- 1 bod: 6.2: Souřadnice x obrazu Q′ je 4.
- 1 bod: 6.2: Souřadnice y obrazu Q′ je −7.
Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.
Postup řešení
1. Střed souměrnosti je střed úsečky PP′: S((−5+7)/2;(4−8)/2)=S(1;−2).
2. Od Q ke středu S se posuneme o 3 doprava a 5 dolů. Stejným posunem ze středu získáme Q′(4;−7). Kontrola: střed bodů Q a Q′ je ((−2+4)/2;(3−7)/2)=(1;−2).
Závěr: 6.1 S(1; −2); 6.2 Q′(4; −7)
Střed úsečky PP′ je S(1; −2).
Určete vnitřní úhly trojúhelníku.
4 body
V trojúhelníku ABC platí AB=AC. Vnější úhel při B je 126°. Určete všechny vnitřní úhly.
Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
- 1 bod: Úhel při B je 54°.
- 1 bod: Úhel při C je 54°.
- 1 bod: Úhel při A je 72°.
- 1 bod: Správné propojení vedlejšího úhlu, shodných úhlů při základně a součtu úhlů 180°.
Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.
Postup řešení
1. Vnitřní úhel při B je vedlejší k vnějšímu: 180°−126°=54°.
2. Protože AB=AC, jsou úhly proti těmto stranám stejné, tedy B=C=54°.
3. Zbývající úhel je A=180°−54°−54°=72°.
Závěr: A=72°, B=C=54°
Sestrojte kružnici se středem na přímce.
2 body
Na ploše jsou dány body A, B a přímka p, která protíná osu úsečky AB právě v jednom bodě uvnitř plochy. Sestrojte kružnici procházející A i B, jejíž střed leží na p.
Konstrukční plocha: body A, B a přímka p.Kontrolní úsečka: 5 cm (50 mm).
Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
- 1 bod: Sestrojená osa úsečky AB a střed S v jejím průsečíku s p.
- 1 bod: Kružnice k(S; SA) procházející A i B, správně označená.
Každé kritérium se hodnotí samostatně celým uvedeným počtem bodů, při nesplnění 0 body. Body přidělte až po kontrole skutečného rysu pravítkem a kružítkem, včetně požadovaných pomocných čar; samotné tvrzení o výsledku nestačí. Uznává se i jiná správná konstrukce splňující odpovídající podmínky.
Postup řešení
1. Střed kružnice procházející A a B musí mít od A a B stejnou vzdálenost, proto leží na ose úsečky AB.
2. Sestrojíme osu AB; její průsečík s přímkou p označíme S.
3. Narýsujeme kružnici se středem S a poloměrem SA. Prochází také bodem B.
Závěr: Jedna kružnice k(S; SA)
Sestrojte kružnici opsanou.
3 body
Na pracovní ploše je dán různostranný trojúhelník ABC. Sestrojte kružnici opsanou tomuto trojúhelníku. Její střed označte S. Konstrukční čáry nemažte.
Konstrukční plocha: sestrojte kružnici opsanou.Kontrolní úsečka: 5 cm (50 mm).
Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
- 1 bod: Správně sestrojené osy dvou stran trojúhelníku s pomocnými konstrukčními čarami.
- 1 bod: Jejich průsečík správně označený jako střed S opsané kružnice.
- 1 bod: Kružnice k(S; SA) procházející všemi třemi vrcholy.
Každé kritérium se hodnotí samostatně celým uvedeným počtem bodů, při nesplnění 0 body. Body přidělte až po kontrole skutečného rysu pravítkem a kružítkem, včetně požadovaných pomocných čar; samotné tvrzení o výsledku nestačí. Uznává se i jiná správná konstrukce splňující odpovídající podmínky.
Postup řešení
1. Sestrojíme osy stran AB a AC. Jejich průsečík označíme S.
2. Bod S leží na ose AB, tedy SA = SB; zároveň leží na ose AC, tedy SA = SC. Má proto stejnou vzdálenost od všech tří vrcholů.
3. Sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem SA. Prochází všemi třemi vrcholy.
Závěr: Jedna opsaná kružnice k(S; SA)
Rozhodněte o tvrzeních o kruhu.
4 body
Kruh má poloměr 6 cm. Rozhodněte A/N:
- Jeho průměr je 18 cm.
- Obvod kruhu je 12π cm.
- Obsah kruhu je 18π cm².
Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
Každý výrok posuďte samostatně. Prázdná odpověď nebo současné označení A i N se počítá jako nesprávná odpověď. Body se neodečítají.
Body podle počtu správně posouzených výroků
Správné výroky Body
0 0
1 0
2 2
3 4
Klíč v pořadí výroků: N, A, N.
Postup řešení
1. Průměr je 2r=12 cm, ne 18 cm, první tvrzení je nepravdivé.
2. Obvod je 2πr=12π cm, druhé tvrzení je pravdivé.
3. Obsah je πr²=36π cm², ne 18π cm², třetí tvrzení je nepravdivé.
Závěr: N–A–N
Sestavte trojciferná čísla.
2 body
Z číslic 0,2,5,7 tvoříme trojciferná čísla bez opakování, dělitelná 3 i 5. Která možnost uvádí nejmenší číslo a počet všech?
- A) 270 a 5
- B) 270 a 4
- C) 705 a 5
- D) 750 a 6
- E) 570 a 5
Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
- 2 body: Jediná označená odpověď A. Za chybnou, prázdnou nebo vícečetnou volbu 0 bodů; dílčí body se nepřidělují.
Postup řešení
1. Číslo dělitelné 5 končí 0 nebo 5; součet číslic musí být dělitelný 3.
2. Vyhovují čísla 270, 570, 705, 720 a 750.
3. Je jich pět a nejmenší je 270.
Závěr: A) 270 a 5
Určete obvod a obsah kosočtverce.
2 body
Kosočtverec má stranu 10 cm a výšku k této straně 8 cm. Která dvojice udává (obvod; obsah) v jednotkách (cm; cm²)?
- A) (20 cm;80 cm²)
- B) (40;100)
- C) (40;80)
- D) (80;40)
- E) (40;64)
Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
- 2 body: Jediná označená odpověď C. Za chybnou, prázdnou nebo vícečetnou volbu 0 bodů; dílčí body se nepřidělují.
Postup řešení
1. Obvod je čtyřnásobek strany: 4·10=40 cm.
2. Obsah je strana krát příslušná výška: 10·8=80 cm².
Závěr: C) (40 cm; 80 cm²)
Upravte a rozložte výraz.
2 body
Upravte výraz (x+4)(x−4)+16−3x a rozložte jej na součin. Uveďte celý postup řešení.
Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
- 1 bod: Správné roznásobení a zjednodušení výrazu na x² − 3x; musí být zapsán také mezikrok x² − 16 + 16 − 3x nebo jiný správný postup.
- 1 bod: Správný konečný součin x(x − 3) nebo rovnocenný rozklad.
Postup je součástí zadání. Přidělte pouze body za skutečně doložená kritéria; správný konečný výsledek bez postupu získává jen body určené za výsledek. Za každé kritérium přidělte buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Uznávejte i jiný správný postup a matematicky rovnocenný zápis. Za prázdnou podúlohu je 0 bodů; body se neodečítají.
Samotný správný konečný součin bez postupu získává 1 bod ze 2.
Postup řešení
1. Použijeme vzorec pro rozdíl čtverců: (x+4)(x−4)=x²−16.
2. Sečteme konstanty: x²−16+16−3x=x²−3x.
3. Ze zbývajících členů vytkneme společný činitel x: x²−3x=x(x−3).
Závěr: x(x−3)
Vyřešte rovnovážné váhy.
6 bodů
Na každé ze tří vah je rovnováha. Všechny předměty stejného tvaru mají stejnou hmotnost a hmotnost misek zanedbejte. Pomocí všech tří vah přiřaďte každému předmětu jeho hmotnost A–F. Každou možnost lze použít nejvýše jednou.
- čtvercový předmět;
- trojúhelníkový předmět;
- kruhový předmět.
- A) 6 kg
- B) 5 kg
- C) 8 kg
- D) 9 kg
- E) 10 kg
- F) 7 kg
Tři grafické rovnováhy; hmotnosti odečtěte z předmětů a závaží na miskách.
Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 6 bodů
- 2 body: 14.1: Přiřazení C; chybná či prázdná odpověď 0 bodů.
- 2 body: 14.2: Přiřazení F; chybná či prázdná odpověď 0 bodů.
- 2 body: 14.3: Přiřazení A; chybná či prázdná odpověď 0 bodů.
Za 0, 1, 2 nebo 3 správná přiřazení získáte postupně 0, 2, 4 nebo 6 bodů. Je-li u jedné podúlohy uvedeno více možností, tato podúloha získá 0 bodů. Opakovaně použitá možnost se započte jen u podúlohy, ke které skutečně patří.
Postup řešení
1. Z první váhy 3s=s+16, tedy 2s=16 a čtverec má 8 kg.
2. Z druhé váhy 2t+8=22, tedy trojúhelník má 7 kg.
3. Ze třetí váhy 2k+7=19, tedy kruh má 6 kg.
Závěr: 14.1 C; 14.2 F; 14.3 A
Vyřešte dělený obdélník.
4 body
Obdélník je jednou svislou a jednou vodorovnou úsečkou rozdělen na čtyři menší obdélníky. V nákresu jsou uvedeny obsahy tří částí a celková šířka velkého obdélníku; nákres není určen k měření.
- Určete poměr šířky levého a pravého sloupce.
- Určete obsah pravé dolní části.
- Určete výšku horního řádku, výšku dolního řádku a celkovou výšku velkého obdélníku.
Nákres není určen k měření.
Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
- 1 bod: 15.1: Poměr šířek 4 : 3.
- 1 bod: 15.2: Obsah pravé dolní části 30 cm².
- 1 bod: 15.3: Obě dílčí výšky 3 cm a 5 cm; za jedinou správnou výšku 0 bodů v tomto kritériu.
- 1 bod: 15.3: Celková výška 8 cm.
Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.
Postup řešení
1. V horním řádku je poměr šířek 24:18=4:3.
2. Stejný poměr platí dole: 40:x=4:3, proto x=30 cm².
3. Šířka 14 cm se v poměru 4:3 rozdělí na 8 cm a 6 cm. Výšky řádků jsou 24:8=3 cm a 40:8=5 cm, celková výška 8 cm.
Závěr: 15.1 4:3; 15.2 30 cm²; 15.3 3 cm, 5 cm a celkem 8 cm

Prodané výrobky a ceny
Výrobek	Počet prodaných kusů	Cena za kus
plakát	12	80 Kč
mapa	15	40 Kč
kompas	8	55 Kč

Body podle počtu správně posouzených výroků
Správné výroky	Body
0	0
1	0
2	2
3	4

Typový test k přijímacím zkouškám z matematiky

Zadání – 15 úloh

Vypočtěte.

Využijte Thaletovu kružnici.

Vyhodnoťte tabulku tržeb.

Namíchejte nápoj.

Vyřešte rovnici se zlomky.

Určete střed souměrnosti.

Určete vnitřní úhly trojúhelníku.

Sestrojte kružnici se středem na přímce.

Sestrojte kružnici opsanou.

Rozhodněte o tvrzeních o kruhu.

Sestavte trojciferná čísla.

Určete obvod a obsah kosočtverce.

Upravte a rozložte výraz.

Vyřešte rovnovážné váhy.

Vyřešte dělený obdélník.