Typový test k přijímacím zkouškám z matematiky

4leté obory

4

Zadání – 15 úloh

Bez kalkulačky · nejvýše 50 bodů

Doporučený čas: 70 minut. Pro souvislý trénink si nastavte časovač a řešení i bodovací klíče otevřete až po dokončení.

Rýsujte pravítkem a kružítkem, pomocné čáry ponechte. Předlohy (obrázky, do kterých máte rýsovat) si nejprve vytiskněte na papír A4. V nastavení tisku zvolte „Skutečná velikost“ nebo měřítko 100 % a vypněte „Přizpůsobit stránce“, aby se obrázky nezmenšily ani nezvětšily. Potom rýsujte přímo do vytištěných obrázků. Kontrolní úsečku přeměřte pravítkem: musí mít 50 mm. Pokud délka nesouhlasí, předlohu překreslete podle zadání. Obrázky na obrazovce nejsou v měřítku.

Pravidla bodování bez odpovědí — celkem 50 bodů

Body se sčítají nejvýše do 50. Za chybu ani prázdnou odpověď se body neodečítají. Počet bodů za každou úlohu je uveden u jejího zadání.

  • Otevřené úlohy: Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.
  • Výběr jedné odpovědi: právě jedna správná možnost = 2 body; chybná, prázdná nebo vícečetná volba = 0 bodů.
  • Tři výroky A/N: za 3 správná posouzení 4 body, za 2 správná 2 body, za 1 nebo 0 správných 0 bodů. Prázdná nebo dvojí volba je nesprávná.
  • Přiřazování: za každé správné přiřazení 2 body, tedy za 0, 1, 2 nebo 3 správná přiřazení postupně 0, 2, 4 nebo 6 bodů.
  • Konstrukce: Každé kritérium se hodnotí samostatně celým uvedeným počtem bodů, při nesplnění 0 body. Body přidělte až po kontrole skutečného rysu pravítkem a kružítkem, včetně požadovaných pomocných čar; samotné tvrzení o výsledku nestačí. Uznává se i jiná správná konstrukce splňující odpovídající podmínky.

Podrobné bodovací klíče u úloh obsahují také správné odpovědi. Rozbalte je až při kontrole hotového testu.

  1. Vypočtěte.

    3 body

    Vypočtěte:

    • (−0,4)²·125−3,5
    • (−5)²−√196:√4
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
    • 1 bod: 1.1: Výsledek 16,5.
    • 1 bod: 1.2: Správně určené hodnoty (−5)² = 25 a √196 : √4 = 7.
    • 1 bod: 1.2: Výsledek 18.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  2. Určete obsah mimo vepsaný kruh.

    3 body

    Do čtverce o straně 10 cm je vepsána kružnice. Použijte π≈3,14. Určete obsah části čtverce, která leží vně kruhu ohraničeného touto kružnicí.

    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
    • 1 bod: Poloměr vepsaného kruhu 5 cm.
    • 1 bod: Obsahy čtverce 100 cm² a kruhu 78,5 cm².
    • 1 bod: Obsah rozdílu 21,5 cm².

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  3. Určete objem vody v akváriu.

    4 body

    Akvárium má vnitřní rozměry 80 cm × 35 cm × 40 cm. Voda sahá přesně do tří čtvrtin jeho výšky.

    • Určete objem plného akvária v litrech.
    • Kolik litrů vody v něm je?
    • Kolik litrů chybí do naplnění?
    Akvárium ve tvaru kvádru80 cm40 cm35 cm
    Orientační nákres: voda sahá do tří čtvrtin výšky.
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: 3.1: Výpočet objemu plného akvária 112 000 cm³.
    • 1 bod: 3.1: Správný převod na 112 l.
    • 1 bod: 3.2: Objem vody 84 l.
    • 1 bod: 3.3: Do naplnění chybí 28 l.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  4. Určete počty žetonů.

    3 body

    Červených žetonů je o 8 méně než dvojnásobek modrých; celkem 112. Určete oba počty.

    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
    • 1 bod: Správný model m + (2m − 8) = 112, nebo ekvivalentní úvaha.
    • 1 bod: 40 modrých žetonů.
    • 1 bod: 72 červených žetonů.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  5. Vypočtěte konečnou cenu.

    4 body

    Cena bez daně je 2 400 Kč. Připočte se daň 21 %, poté sleva 10 % z ceny s daní a nakonec poukaz 120 Kč. Kolik zákazník zaplatí?

    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: Cena po připočtení daně 2 904 Kč.
    • 1 bod: Cena po desetiprocentní slevě z ceny s daní 2 613,60 Kč.
    • 1 bod: Odečtení poukazu 120 Kč až od zlevněné ceny.
    • 1 bod: Konečná cena 2 493,60 Kč.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  6. Určete celkovou dobu jízdy.

    4 body

    Vlak ujede trasu dlouhou 240 km. První třetinu trasy jede stálou rychlostí 80 km/h a zbytek stálou rychlostí 100 km/h. Během cesty navíc jednou stojí 12 minut. Určete celkovou dobu od odjezdu do příjezdu včetně zastávky.

    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: Rozdělení trasy na úseky 80 km a 160 km.
    • 1 bod: Doba první části 1 h.
    • 1 bod: Doba druhé části 1,6 h, tedy 1 h 36 min.
    • 1 bod: Celkem včetně zastávky 2 h 48 min, nebo 168 min.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  7. Vyřešte rovnici.

    4 body

    Vyřešte (3/4)(2x−8)−5=(1/2)(x+6)−2 a proveďte zkoušku.

    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: Správná úprava levé strany na 1,5x − 11.
    • 1 bod: Správná úprava pravé strany na 0,5x + 1 a zachování ekvivalence rovnice.
    • 1 bod: Kořen x = 12.
    • 1 bod: Požadovaná zkouška v původní rovnici: obě strany mají hodnotu 7.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

    Zkouška je výslovně požadována; samotný kořen získává jen bod za výsledek.

  8. Sestrojte kružnici tečnou k přímce.

    2 body

    Na pracovní ploše je dána přímka p, bod T na přímce p a bod A mimo přímku p. Sestrojte kružnici, která prochází bodem A a dotýká se přímky p v bodě T. Označte její střed S. Konstrukční čáry nemažte.

    Přímka p, bod T a bod ATAp
    Konstrukční plocha: přímka p, T ∈ p a bod A mimo p.Kontrolní úsečka: 5 cm (50 mm).
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 1 bod: Kolmice k p v T, osa úsečky AT a jejich průsečík S, s konstrukčními čarami.
    • 1 bod: Kružnice k(S; ST) procházející A a dotýkající se p právě v T, správně označená.

    Každé kritérium se hodnotí samostatně celým uvedeným počtem bodů, při nesplnění 0 body. Body přidělte až po kontrole skutečného rysu pravítkem a kružítkem, včetně požadovaných pomocných čar; samotné tvrzení o výsledku nestačí. Uznává se i jiná správná konstrukce splňující odpovídající podmínky.

  9. Sestrojte lichoběžník.

    3 body

    Na pracovní ploše je dána vodorovná úsečka AB=8 cm, bod A leží vlevo od B. Nad přímkou AB sestrojte konvexní lichoběžník ABCD tak, aby AB∥CD, jeho výška byla 3 cm, CD=5 cm a úhlopříčka AC=6 cm. Bod C leží vpravo od kolmice vedené bodem A a bod D vlevo od C. Konstrukční čáry nemažte.

    Zadaná úsečka AB délky 8 cmAB
    Konstrukční plocha: AB = 8 cm.Kontrolní úsečka: 5 cm (50 mm).
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
    • 1 bod: Rovnoběžka s AB ve vzdálenosti 3 cm v horní polorovině.
    • 1 bod: Bod C jako pravý průsečík této rovnoběžky s kružnicí k(A; 6 cm).
    • 1 bod: Bod D ve vzdálenosti 5 cm vlevo od C a celý označený konvexní lichoběžník ABCD, s konstrukčními čarami.

    Každé kritérium se hodnotí samostatně celým uvedeným počtem bodů, při nesplnění 0 body. Body přidělte až po kontrole skutečného rysu pravítkem a kružítkem, včetně požadovaných pomocných čar; samotné tvrzení o výsledku nestačí. Uznává se i jiná správná konstrukce splňující odpovídající podmínky.

  10. Rozhodněte o algebraických tvrzeních.

    4 body

    Pro E(x)=(x−3)²−(x+1)(x−1) rozhodněte A/N:

    • E(x)=−6x+8.
    • E(2)=−2.
    • Rovnice E(x)=4 má řešení x=1.
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body

    Každý výrok posuďte samostatně. Prázdná odpověď nebo současné označení A i N se počítá jako nesprávná odpověď. Body se neodečítají.

    Body podle počtu správně posouzených výroků
    Správné výrokyBody
    00
    10
    22
    34

    Klíč v pořadí výroků: N, A, A.

  11. Určete předpis z grafu.

    2 body

    Graf zobrazuje přímou úměrnost. Který předpis jí odpovídá?

    • A) y=(2/3)x
    • B) y=3x
    • C) y=(3/2)x+3
    • D) y=(3/2)x−3
    • E) y=(3/2)x
    Graf přímé úměrnosti prochází body O(0; 0), P(2; 3) a Q(4; 6)01234501234567PQ
    Rozhodujte podle souřadnic, nikoli podle sklonu obrázku.
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 2 body: Jediná označená odpověď E. Za chybnou, prázdnou nebo vícečetnou volbu 0 bodů; dílčí body se nepřidělují.

  12. Určete rozměry podobného obdélníku.

    2 body

    Obdélník 9×12 cm je podobný většímu s obvodem 70 cm. Která možnost udává (rozměry; obsah) většího? Rozměry jsou uvedeny v centimetrech a obsah v centimetrech čtverečních.

    • A) (12×16;192)
    • B) (15×20;300)
    • C) (18×24;432)
    • D) (15×20;70)
    • E) (10,5×14;147)
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 2 body: Jediná označená odpověď B. Za chybnou, prázdnou nebo vícečetnou volbu 0 bodů; dílčí body se nepřidělují.

  13. Vypočtěte zlomkový výraz.

    2 body

    Vypočtěte (7/8−0,25):(3/5−1/4).

    • A) 5/14
    • B) 14/25
    • C) 25/14
    • D) 35/8
    • E) 25/7
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 2 body: Jediná označená odpověď C. Za chybnou, prázdnou nebo vícečetnou volbu 0 bodů; dílčí body se nepřidělují.

  14. Přiřaďte upravené výrazy.

    6 bodů

    Ke každému výrazu přiřaďte totožně rovný výraz A–F. Každou možnost lze použít nejvýše jednou.

    • (x−5)²−x(x−10)
    • 3x²−27
    • (2x−1)(x+3)−2x²
    • A) −25
    • B) 3(x−3)(x+3)
    • C) 3(x−3)²
    • D) 25
    • E) 5x−3
    • F) 5x+3
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 6 bodů
    • 2 body: 14.1: Přiřazení D; chybná či prázdná odpověď 0 bodů.
    • 2 body: 14.2: Přiřazení B; chybná či prázdná odpověď 0 bodů.
    • 2 body: 14.3: Přiřazení E; chybná či prázdná odpověď 0 bodů.

    Za 0, 1, 2 nebo 3 správná přiřazení získáte postupně 0, 2, 4 nebo 6 bodů. Je-li u jedné podúlohy uvedeno více možností, tato podúloha získá 0 bodů. Opakovaně použitá možnost se započte jen u podúlohy, ke které skutečně patří.

  15. Hledejte čísla podle zbytků.

    4 body

    Hledáme kladná celá čísla, která při dělení 6 dávají zbytek 2 a při dělení 8 dávají zbytek 4.

    • Napište všechna taková čísla větší než 50 a menší než 100.
    • Určete nejmenší takové číslo větší než 500.
    • Kolik takových kladných čísel je menších než 1 000? Svůj závěr zdůvodněte.
    Dvě dělení téhož číslapo 6, zbytek 2……po 8, zbytek 4……
    Dvě řady znázorňují totéž číslo: skupiny po 6 se zbytkem 2 a skupiny po 8 se zbytkem 4.
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: 15.1: Obě čísla 68 a 92 a žádné další; za neúplnou či rozšířenou množinu 0 bodů.
    • 1 bod: 15.2: Nejmenší vyhovující číslo nad 500 je 524.
    • 1 bod: 15.3: Počet 41.
    • 1 bod: 15.3: Požadované zdůvodnění výčtem či tvarem 20 + 24k pro k = 0 až 40.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

    V části 15.3 se bod za zdůvodnění přiděluje pouze za doložené počítání, nikoli za samotný výsledek 41.