Typový test k přijímacím zkouškám z matematiky

4leté obory

5

Zadání – 15 úloh

Bez kalkulačky · nejvýše 50 bodů

Doporučený čas: 70 minut. Pro souvislý trénink si nastavte časovač a řešení i bodovací klíče otevřete až po dokončení.

Rýsujte pravítkem a kružítkem, pomocné čáry ponechte. Předlohy (obrázky, do kterých máte rýsovat) si nejprve vytiskněte na papír A4. V nastavení tisku zvolte „Skutečná velikost“ nebo měřítko 100 % a vypněte „Přizpůsobit stránce“, aby se obrázky nezmenšily ani nezvětšily. Potom rýsujte přímo do vytištěných obrázků. Kontrolní úsečku přeměřte pravítkem: musí mít 50 mm. Pokud délka nesouhlasí, předlohu překreslete podle zadání. Obrázky na obrazovce nejsou v měřítku.

Pravidla bodování bez odpovědí — celkem 50 bodů

Body se sčítají nejvýše do 50. Za chybu ani prázdnou odpověď se body neodečítají. Počet bodů za každou úlohu je uveden u jejího zadání.

  • Otevřené úlohy: Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.
  • Výběr jedné odpovědi: právě jedna správná možnost = 2 body; chybná, prázdná nebo vícečetná volba = 0 bodů.
  • Tři výroky A/N: za 3 správná posouzení 4 body, za 2 správná 2 body, za 1 nebo 0 správných 0 bodů. Prázdná nebo dvojí volba je nesprávná.
  • Přiřazování: za každé správné přiřazení 2 body, tedy za 0, 1, 2 nebo 3 správná přiřazení postupně 0, 2, 4 nebo 6 bodů.
  • Konstrukce: Každé kritérium se hodnotí samostatně celým uvedeným počtem bodů, při nesplnění 0 body. Body přidělte až po kontrole skutečného rysu pravítkem a kružítkem, včetně požadovaných pomocných čar; samotné tvrzení o výsledku nestačí. Uznává se i jiná správná konstrukce splňující odpovídající podmínky.

Podrobné bodovací klíče u úloh obsahují také správné odpovědi. Rozbalte je až při kontrole hotového testu.

  1. Vypočtěte.

    3 body

    Vypočtěte. Výsledek druhé podúlohy zapište zlomkem v základním tvaru.

    • [(−4)²−3·(−5)+√81]:5
    • (1 1/4−2/3):(7/6)
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
    • 1 bod: 1.1: Výsledek 8.
    • 1 bod: 1.2: Správná úprava čitatele 5/4 − 2/3 = 7/12 a dělení pomocí 6/7.
    • 1 bod: 1.2: Výsledek 1/2 v základním tvaru.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  2. Určete úhly u tečen.

    3 body

    Z bodu M vně kružnice se středem S vedou dvě tečny, které se kružnice dotýkají v bodech T a U. Platí ∠TMU=70°. Určete ∠TMS, ∠TSM a ∠TSU. Obrázek není určen k měření.

    Dvě tečny z bodu M ke kružniciSMTU70°
    Ilustrační nákres není určen k měření.
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
    • 1 bod: Úhel TMS je 35°.
    • 1 bod: Úhel TSM je 55°.
    • 1 bod: Úhel TSU je 110°.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  3. Určete objem a plášť hranolu.

    4 body

    Podstava pravidelného šestibokého hranolu je složena ze šesti rovnostranných trojúhelníků strany 4 cm; obsah jednoho je po zaokrouhlení 6,9 cm². S touto hodnotou počítejte. Výška hranolu je 10 cm.

    • Určete přibližný objem.
    • Určete obsah pláště.
    Pravidelný šestiboký hranol se stranou podstavy 4 cm a výškou 10 cm4 cm10 cm
    Dvě shodné pravidelné šestiúhelníkové podstavy jsou spojeny bočními hranami.
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: 3.1: Obsah podstavy podle zadaného zaokrouhlení 6 · 6,9 = 41,4 cm².
    • 1 bod: 3.1: Přibližný objem 414 cm³.
    • 1 bod: 3.2: Správný výpočet pláště jako obvod podstavy krát výška, 6 · 4 · 10.
    • 1 bod: 3.2: Obsah pláště 240 cm².

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  4. Vyhodnoťte četnostní tabulku.

    4 body

    Tabulka uvádí bodové výsledky všech žáků jedné skupiny a jejich četnosti.

    • Kolik žáků je v souboru?
    • Určete aritmetický průměr.
    Četnost bodových výsledků
    Počet bodů12141618
    Počet žáků2341
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: 4.1: Počet žáků 10.
    • 1 bod: 4.2: Správné vážení bodů četnostmi 2 · 12 + 3 · 14 + 4 · 16 + 1 · 18.
    • 1 bod: 4.2: Součet bodů 148 a dělení počtem 10 žáků.
    • 1 bod: 4.2: Průměr 14,8 bodu.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  5. Určete strany obdélníku.

    3 body

    Obvod obdélníku je 84 cm a poměr kratší : delší strana je 3 : 4. Určete obě strany a obsah.

    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
    • 1 bod: Kratší strana 18 cm.
    • 1 bod: Delší strana 24 cm.
    • 1 bod: Obsah 432 cm².

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  6. Vyřešte soustavu rovnic.

    4 body

    Vyřešte soustavu 4x−3y=1, 2x+5y=33 a ověřte dosazením.

    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: Správný první krok eliminační, dosazovací nebo jiné ekvivalentní metody.
    • 1 bod: Správné pokračování vedoucí k rovnici s jedinou neznámou, například 26x = 104.
    • 1 bod: Obě hodnoty x = 4 a y = 5; za jedinou správnou hodnotu 0 bodů v tomto kritériu.
    • 1 bod: Požadované dosazení do obou původních rovnic s výsledky 1 a 33.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

    Ověření dosazením je výslovně požadováno; samotná dvojice kořenů získává jen bod za výsledek.

  7. Proveďte dvě souměrnosti.

    4 body

    Bod A(−2;1) zobrazte středově podle S(2;−1) a obraz poté osově podle osy y. Zapište A′ a A″.

    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: Obraz A′: x = 6.
    • 1 bod: Obraz A′: y = −3.
    • 1 bod: Obraz A″: x = −6.
    • 1 bod: Obraz A″: y = −3.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  8. Sestrojte trojúhelník s danou výškou.

    3 body

    Je dána pouze úsečka AB=7 cm. V horní polorovině sestrojte trojúhelník ABC tak, aby AC=5 cm, výška na AB byla 4 cm a její pata V ležela na úsečce AB.

    Zadaná úsečka AB délky 7 cmAB
    Konstrukční plocha: zadána je pouze úsečka AB = 7 cm.Kontrolní úsečka: 5 cm (50 mm).
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
    • 1 bod: Rovnoběžka s AB ve vzdálenosti 4 cm v horní polorovině.
    • 1 bod: Kružnice k(A; 5 cm) a volba jejího pravého průsečíku C s rovnoběžkou.
    • 1 bod: Kolmý průmět V bodu C na úsečce AB a celý označený trojúhelník ABC.

    Každé kritérium se hodnotí samostatně celým uvedeným počtem bodů, při nesplnění 0 body. Body přidělte až po kontrole skutečného rysu pravítkem a kružítkem, včetně požadovaných pomocných čar; samotné tvrzení o výsledku nestačí. Uznává se i jiná správná konstrukce splňující odpovídající podmínky.

  9. Sestrojte pravidelný osmiúhelník.

    2 body

    Je dána kružnice k(S;3 cm) a její pravý krajní bod A. Sestrojte pravidelný osmiúhelník ABCDEFGH vepsaný do k; vrcholy označujte od A proti směru hodinových ručiček. Konstrukční čáry nemažte.

    Kružnice k se středem S a bodem ASA
    Konstrukční plocha: kružnice k(S; 3 cm) a její pravý krajní bod A.Kontrolní úsečka: 5 cm (50 mm).
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 1 bod: Dva kolmé průměry a osy čtyř pravých středových úhlů, tedy osm poloměrů po 45°.
    • 1 bod: Všech osm vrcholů spojených po pořadě a označených od zadaného A proti směru hodinových ručiček, s konstrukčními čarami.

    Každé kritérium se hodnotí samostatně celým uvedeným počtem bodů, při nesplnění 0 body. Body přidělte až po kontrole skutečného rysu pravítkem a kružítkem, včetně požadovaných pomocných čar; samotné tvrzení o výsledku nestačí. Uznává se i jiná správná konstrukce splňující odpovídající podmínky.

  10. Rozhodněte o vlastnostech čísla 360.

    4 body

    Pracujte s číslem 360. Rozhodněte A/N:

    • Číslo 360 je druhou mocninou přirozeného čísla.
    • Největší společný dělitel čísel 360 a 84 je 24.
    • Patnáct procent z čísla 360 je 54.
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body

    Každý výrok posuďte samostatně. Prázdná odpověď nebo současné označení A i N se počítá jako nesprávná odpověď. Body se neodečítají.

    Body podle počtu správně posouzených výroků
    Správné výrokyBody
    00
    10
    22
    34

    Klíč v pořadí výroků: N, N, A.

  11. Určete dobu společné práce.

    2 body

    Šest stejně výkonných pracovníků by zakázku dokončilo za 15 h. Po 5 h dva odejdou, čtyři pokračují stejným tempem. Za jak dlouho od začátku je hotovo?

    • A) 15 h
    • B) 17,5 h
    • C) 18,75 h
    • D) 20 h
    • E) 22,5 h
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 2 body: Jediná označená odpověď D. Za chybnou, prázdnou nebo vícečetnou volbu 0 bodů; dílčí body se nepřidělují.

  12. Určete obsah obdélníku.

    2 body

    Obdélník má strany délky x+3 cm a 2x−1 cm. Má stejný obvod jako čtverec o straně 10 cm. Jaký je obsah obdélníku?

    • A) 81 cm²
    • B) 90 cm²
    • C) 100 cm²
    • D) 121 cm²
    • E) 99 cm²
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 2 body: Jediná označená odpověď E. Za chybnou, prázdnou nebo vícečetnou volbu 0 bodů; dílčí body se nepřidělují.

  13. Určete počet stran mnohoúhelníku.

    2 body

    Schéma zobrazuje jeden vrchol pravidelného mnohoúhelníku a přilehlý vnější úhel. Kolik má mnohoúhelník stran?

    • A) 10
    • B) 12
    • C) 15
    • D) 18
    • E) 30
    Vnější úhel 30 stupňů u vrcholu pravidelného mnohoúhelníkuV30°vnější úhel
    Prodloužení jedné strany a sousední strana svírají vnější úhel 30°.
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 2 body: Jediná označená odpověď B. Za chybnou, prázdnou nebo vícečetnou volbu 0 bodů; dílčí body se nepřidělují.

  14. Přiřaďte rozklady na součin.

    6 bodů

    Každému výrazu přiřaďte jeho rozklad na součin A–F. Každou možnost lze použít nejvýše jednou.

    • 8x²−18
    • x²−8x+16
    • 3x(x−2)−6(x−2)
    • A) 2(2x−3)²
    • B) 3(x−2)²
    • C) (x−4)²
    • D) (x−4)(x+4)
    • E) 3(x−2)(x+2)
    • F) 2(2x−3)(2x+3)
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 6 bodů
    • 2 body: 14.1: Přiřazení F; chybná či prázdná odpověď 0 bodů.
    • 2 body: 14.2: Přiřazení C; chybná či prázdná odpověď 0 bodů.
    • 2 body: 14.3: Přiřazení B; chybná či prázdná odpověď 0 bodů.

    Za 0, 1, 2 nebo 3 správná přiřazení získáte postupně 0, 2, 4 nebo 6 bodů. Je-li u jedné podúlohy uvedeno více možností, tato podúloha získá 0 bodů. Opakovaně použitá možnost se započte jen u podúlohy, ke které skutečně patří.

  15. Doplňte turnajovou matici.

    4 body

    Pět hráčů A, B, C, D, E hrálo turnaj. Každý hrál s každým právě jednou a žádný zápas neskončil remízou. V horní části tabulky je u každé dvojice uveden vítěz; otazník označuje dosud nedoplněný výsledek. Poslední sloupec udává celkový počet výher hráče.

    • Kolik zápasů se v turnaji celkem odehrálo?
    • Kolik zápasů vyhrál hráč E?
    • Doplňte vítěze do všech pěti polí s otazníkem.
    Výsledková matice turnaje
    Hráč \ soupeřABCDEPočet výher
    A—A??E3
    B·—B??3
    C··—C?2
    D···—D1
    E····—?

    Tečka v dolní části znamená, že příslušná dvojice je už zaznamenána nad hlavní úhlopříčkou; nejde o další zápas ani odpovědní pole.

    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: 15.1: Celkem 10 zápasů.
    • 1 bod: 15.2: Hráč E má 1 výhru.
    • 1 bod: 15.3: Všechna čtyři pole A–C: A, A–D: A, B–D: B, B–E: B jsou doplněna správně.
    • 1 bod: 15.3: Pole C–E: C a celá doplněná tabulka odpovídající daným součtům výher.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

    Dvě kritéria části 15.3 se posuzují zvlášť; druhé vyžaduje úplnou bezespornou tabulku. Za menší část než uvedené skupiny polí se body nepřidělují.