Typový test k přijímacím zkouškám z matematiky

6leté obory

5

Zadání – 15 úloh

Počítejte bez kalkulačky. U úloh s nákresem pečlivě čtěte všechny údaje.

Doporučený čas: 70 minut. Pro souvislý trénink si nastavte časovač a řešení i bodovací klíče otevřete až po dokončení.

Pravidla bodování bez odpovědí — celkem 50 bodů

Body se sčítají nejvýše do 50. Za chybu ani prázdnou odpověď se body neodečítají. Počet bodů za každou úlohu je uveden u jejího zadání.

  • Otevřené úlohy: Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.
  • Výběr jedné odpovědi: právě jedna správná možnost = 2 body; chybná, prázdná nebo vícečetná volba = 0 bodů.
  • Tři výroky A/N: za 3 správná posouzení 4 body, za 2 správná 2 body, za 1 nebo 0 správných 0 bodů. Prázdná nebo dvojí volba je nesprávná.
  • Přiřazování: za každé správné přiřazení 2 body, tedy za 0, 1, 2 nebo 3 správná přiřazení postupně 0, 2, 4 nebo 6 bodů.
  • Konstrukce: Každé kritérium se hodnotí samostatně celým uvedeným počtem bodů, při nesplnění 0 body. Body přidělte až po kontrole skutečného rysu pravítkem a kružítkem, včetně požadovaných pomocných čar; samotné tvrzení o výsledku nestačí. Uznává se i jiná správná konstrukce splňující odpovídající podmínky.

Podrobné bodovací klíče u úloh obsahují také správné odpovědi. Rozbalte je až při kontrole hotového testu.

  1. Vypočítejte.

    4 body

    U obou podúloh uveďte celý postup řešení.

    • 4,8 : 0,6 + 32 · 1,5
    • 2 13 − (34 + 56)
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: 1.1: Správné mezivýsledky 4,8 : 0,6 = 8 a 3² · 1,5 = 13,5.
    • 1 bod: 1.1: Výsledek 21,5.
    • 1 bod: 1.2: Správný převod 2 1/3 = 28/12 a závorky na 19/12.
    • 1 bod: 1.2: Výsledek 3/4.

    Postup je součástí zadání. Přidělte pouze body za skutečně doložená kritéria; správný konečný výsledek bez postupu získává jen body určené za výsledek. Za každé kritérium přidělte buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Uznávejte i jiný správný postup a matematicky rovnocenný zápis. Za prázdnou podúlohu je 0 bodů; body se neodečítají.

    U každé podúlohy je 1 bod za doložený postup a 1 bod za správný výsledek. Samotný správný výsledek bez postupu získává 1 bod ze 2.

  2. Vyberte číslo podle počtu dělitelů.

    4 body

    Z čísel 8, 12, 16, 25 a 27 vyberte číslo, které má právě šest kladných dělitelů. Číslo zapište, uveďte všech jeho šest dělitelů a stručně vysvětlete, proč žádné jiné nabízené číslo nevyhovuje.

    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: Volba čísla 12.
    • 1 bod: Úplný seznam jeho šesti kladných dělitelů 1, 2, 3, 4, 6, 12 bez dalších čísel.
    • 1 bod: Požadované vyloučení čísel 8 a 27: každé má čtyři kladné dělitele.
    • 1 bod: Požadované vyloučení čísel 16 a 25: mají pět, respektive tři kladné dělitele.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

    Vysvětlení je součástí zadání. Samotná volba 12 dává 1 bod; seznam dělitelů a vyloučení ostatních možností se hodnotí zvlášť.

  3. Rozdělte návštěvníky.

    4 body

    Třetinu návštěvníků tvoří žáci. Ze zbývajících tvoří čtvrtinu rodiče. Zbývajících 90 jsou hosté.

    • Kolik návštěvníků přišlo celkem?
    • Kolik bylo žáků, rodičů a hostů?
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: Celkem 180 návštěvníků.
    • 1 bod: 60 žáků.
    • 1 bod: 30 rodičů.
    • 1 bod: 90 hostů, správně přiřazených k této skupině.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  4. Doplňte součin na druhou mocninu.

    4 body

    Rozložte číslo 252 na prvočinitele. Potom určete nejmenší kladné přirozené číslo m, pro které je součin 252 · m druhou mocninou přirozeného čísla. Výsledek ověřte.

    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: Prvočíselný rozklad 252 = 2² · 3² · 7.
    • 1 bod: Určení m = 7.
    • 1 bod: Zdůvodnění nejmenšího m doplněním lichého exponentu u prvočinitele 7 na sudý.
    • 1 bod: Požadované ověření 252 · 7 = 1 764 = 42².

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

    Rozklad a ověření jsou výslovně požadovány; samotné m = 7 získává 1 bod. Uznává se i jiný správný důkaz nejmenší hodnoty.

  5. Pracujte s tabulkou školního klubu.

    4 body

    Klub měl na začátku září 100 členů.

    měsícnovíodešlí
    září123
    říjen85
    listopad154
    prosinec96
    • Určete stav na konci prosince.
    • Ve kterém měsíci se počet členů zvýšil nejvíce?
    • Jaký zlomek všech nových členů přišel v listopadu?
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: Počet členů na konci prosince 126.
    • 1 bod: Největší zvýšení v listopadu.
    • 1 bod: Podíl nových členů: celkem přišlo 44 nových členů, z toho 15 v listopadu.
    • 1 bod: Podíl nových členů: zlomek 15/44.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  6. Určete rozměry obdélníku.

    3 body

    Obdélníkový pozemek má obsah 280 m². Délky obou stran jsou celé metry a delší strana je o 6 m delší než kratší. Určete obě délky a obvod.

    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
    • 1 bod: Kratší strana 14 m.
    • 1 bod: Delší strana 20 m.
    • 1 bod: Obvod 68 m.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.

  7. Sestrojte čtverec vepsaný do kružnice.

    2 body

    Narýsujte kružnici k se středem S a poloměrem 3 cm. Na kružnici zvolte bod A. Sestrojte čtverec ABCD vepsaný do kružnice; vrcholy označujte po směru hodinových ručiček. Konstrukční čáry nemažte.

    Prázdná pracovní plocha pro konstrukci čtverce
    Pracovní plocha je při tisku fyzicky kalibrovaná. Délky uvedené v zadání rýsujte pravítkem a kružítkem.
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 1 bod: Kružnice k(S; 3 cm) a dva navzájem kolmé průměry, z nichž jeden prochází zvoleným A.
    • 1 bod: Spojený čtverec ABCD označený od A po směru hodinových ručiček, s konstrukčními čarami.

    Každé kritérium se hodnotí samostatně celým uvedeným počtem bodů, při nesplnění 0 body. Body přidělte až po kontrole skutečného rysu pravítkem a kružítkem, včetně požadovaných pomocných čar; samotné tvrzení o výsledku nestačí. Uznává se i jiná správná konstrukce splňující odpovídající podmínky.

  8. Sestrojte kosočtverec z úhlopříček.

    3 body

    Narýsujte vodorovnou úsečku AC délky 8 cm tak, aby A ležel vlevo od C. Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby BD = 6 cm, B ležel nad a D pod přímkou AC. Konstrukční čáry nemažte.

    Prázdná pracovní plocha pro konstrukci kosočtverce
    Pracovní plocha je při tisku fyzicky kalibrovaná. Délky uvedené v zadání rýsujte pravítkem a kružítkem.
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 3 body
    • 1 bod: Úsečka AC délky 8 cm, její střed S a kolmice k AC v S.
    • 1 bod: Bod B 3 cm nad S a bod D 3 cm pod S na této kolmici.
    • 1 bod: Celý spojený a správně označený kosočtverec ABCD, s konstrukčními čarami.

    Každé kritérium se hodnotí samostatně celým uvedeným počtem bodů, při nesplnění 0 body. Body přidělte až po kontrole skutečného rysu pravítkem a kružítkem, včetně požadovaných pomocných čar; samotné tvrzení o výsledku nestačí. Uznává se i jiná správná konstrukce splňující odpovídající podmínky.

  9. Rozhodněte o stuhách (A/N).

    4 body

    Tři role stuhy měří 2,4 m, 3,6 m a 4,8 m. Všechny se mají beze zbytku rozstříhat na stejně dlouhé, co nejdelší kusy.

    VýrokAN
    9.1 Jeden kus bude dlouhý 1,2 m.□□
    9.2 Vznikne celkem 10 kusů.□□
    9.3 Druhá role tvoří 2/5 celkové délky.□□
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body

    Každý výrok posuďte samostatně. Prázdná odpověď nebo současné označení A i N se počítá jako nesprávná odpověď. Body se neodečítají.

    Body podle počtu správně posouzených výroků
    Správné výrokyBody
    00
    10
    22
    34

    Klíč v pořadí výroků: A, N, N.

  10. Vyberte nejmenší číslo.

    2 body

    Které číslo je nejmenší?

    • A) 7/12
    • B) 0,6
    • C) 5/8
    • D) 0,59
    • E) 0,58
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 2 body: Jediná označená odpověď E. Za chybnou, prázdnou nebo vícečetnou volbu 0 bodů; dílčí body se nepřidělují.

  11. Doplňte hodnotu podle průměru.

    2 body

    Čtyři výsledky jsou 14, 17, 21 a neznámá hodnota. Jejich aritmetický průměr je 18. Jaká je neznámá hodnota?

    • A) 18
    • B) 20
    • C) 19
    • D) 21
    • E) 72
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 2 body: Jediná označená odpověď B. Za chybnou, prázdnou nebo vícečetnou volbu 0 bodů; dílčí body se nepřidělují.

  12. Zřeďte roztok.

    2 body

    V 8 l roztoku je 25 % barviva. Přilijeme čistou vodu; objemy se při smíchání sečtou. Kolik vody přilijeme, aby barvivo tvořilo 20 %?

    • A) 2 l
    • B) 1,6 l
    • C) 8 l
    • D) 10 l
    • E) 0,4 l
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 2 body: Jediná označená odpověď A. Za chybnou, prázdnou nebo vícečetnou volbu 0 bodů; dílčí body se nepřidělují.

  13. Porovnejte vzdálenosti na číselné ose.

    2 body

    O kolik jednotek je bod U vzdálenější od nuly než bod V?

    Číselná osa od minus deseti do osmi; U je v minus sedmi a V v pěti-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678UV
    Souřadnice bodů jsou uvedeny pouze v obrázku.
    • A) 1
    • B) 2
    • C) 5
    • D) 7
    • E) 12
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 2 body
    • 2 body: Jediná označená odpověď B. Za chybnou, prázdnou nebo vícečetnou volbu 0 bodů; dílčí body se nepřidělují.

  14. Přiřaďte výsledky A–F.

    6 bodů

    Otevřená krabička má tvar kvádru s vnitřními rozměry dna 6 cm × 5 cm a výškou 3 cm. Tloušťku stěn zanedbejte. Ke každé otázce přiřaďte číselnou hodnotu A–F v požadovaných jednotkách. Každou možnost lze použít nejvýše jednou.

    ABCDEF
    305456609096
    • Jaký je objem krabičky v cm³?
    • Jaký je součet délek všech dvanácti hran odpovídajícího kvádru v cm? Počítejte také čtyři hrany horního otvoru.
    • Jaký obsah v cm² má materiál tvořící dno a čtyři boční stěny krabičky?
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 6 bodů
    • 2 body: 14.1: Přiřazení E; chybná či prázdná odpověď 0 bodů.
    • 2 body: 14.2: Přiřazení C; chybná či prázdná odpověď 0 bodů.
    • 2 body: 14.3: Přiřazení F; chybná či prázdná odpověď 0 bodů.

    Za 0, 1, 2 nebo 3 správná přiřazení získáte postupně 0, 2, 4 nebo 6 bodů. Je-li u jedné podúlohy uvedeno více možností, tato podúloha získá 0 bodů. Opakovaně použitá možnost se započte jen u podúlohy, ke které skutečně patří.

  15. Pokračujte ve skládání skupin teček.

    4 body

    Kartička 1 má 3 modré tečky a kartička 2 má 5 oranžových. Každá další kartička spojí oddělené kopie skupin ze dvou předchozích kartiček; žádné tečky se nepřekrývají.

    • Kolik teček má kartička 6?
    • Kolik teček má kartička 10?
    • Která kartička má jako první více než 1 000 teček?
    Bodovací klíč s odpověďmi — nejvýše 4 body
    • 1 bod: 15.1: Kartička 6 má 34 teček.
    • 1 bod: 15.2: Kartička 10 má 233 teček.
    • 1 bod: 15.3: Určení kartičky 14.
    • 1 bod: 15.3: Ověření první takové kartičky: 13. má 987 a 14. má 1 597 teček, předchozí počty jsou menší.

    Není-li u podúlohy výslovně požadován postup, zkouška či zdůvodnění, správná úplná odpověď získává všechny její body i bez vypsání mezikroků. Jinak přidělte pouze body za splněná kritéria, za každé buď celý uvedený počet, nebo 0 bodů. Matematicky rovnocenné zápisy a jiné správné postupy uznávejte; předepsané jednotky, zaokrouhlení a základní tvar musí být dodrženy. Za prázdnou podúlohu 0 bodů. Body se neodečítají.