Dron v krabici

Řešení úlohy

Na první pohled by se mohlo zdát, že váha ukáže jen 1 kilogram. Dron se přece dna nedotýká – visí ve vzduchu. Jak by tedy mohl váhu zatěžovat?

Je to podobné jako ve známém vtipu. Řidič náklaďáku veze papoušky a před kopcem zastaví, zabouchá na stěnu auta a nechá všechny papoušky vzlétnout. Náklaďák bude přece lehčí a do kopce se mu pojede snáz.

Je to ale opravdu jen vtip? Nebo na tom něco je?

Hmotnost versus tíha

Nejprve musíme rozlišit dvě veličiny, které se v běžné řeči často zaměňují: hmotnost a tíhu.

Hmotnost je vlastnost tělesa. Mimo jiné nám říká, jak obtížné je změnit jeho pohyb. Její jednotkou je kilogram.

Tíha je síla, kterou těleso vlivem gravitace působí na podložku nebo závěs. Její jednotkou je newton.

Běžná váha tedy neměří hmotnost přímo. Primárně měří sílu, kterou je zatěžována – v běžné klidové situaci tedy tíhu. Z naměřené síly pak při známém gravitačním zrychlení vypočítá hmotnost a na displeji nám ukáže kilogramy.

Hmotnost lze přímo určovat jinými způsoby, například porovnáním s tělesem známé hmotnosti na rovnoramenných vahách nebo podle toho, jak těleso reaguje na působení známé síly.

Hmotnost naší soustavy je každopádně jasná:

1 kg krabice + 1 kg dron = 2 kg.

Otázkou ale stále zůstává, jakou silou bude soustava zatěžovat váhu, když dron neleží na dně, ale létá.

Jak se dron udrží ve vzduchu

Dron se ve vzduchu neudrží sám od sebe. Jeho vrtule urychlují vzduch směrem dolů. Vzduch naopak působí na dron silou směrem vzhůru.

Pokud dron klidně visí na jednom místě, nezrychluje ani nahoru, ani dolů. Síla vzduchu působící na dron vzhůru proto musí vyrovnávat gravitační sílu, kterou Země přitahuje dron dolů.

Dron se tedy sice dna krabice přímo nedotýká, ale místo toho tlačí dolů na vzduch.

Kam se tato síla přenese?

Vzduch urychlený vrtulemi dolů z uzavřené krabice nemůže uniknout. Proudí uvnitř, mění směr a působí na dno i stěny krabice. Tím se účinek dronu přes vzduch přenese na krabici a z ní na váhu.

Váha tedy „cítí“ i dron, přestože se dron dna vůbec nedotýká.

Při ustáleném visení proto váha nese celou soustavu stejně, jako kdyby dron uvnitř krabice jednoduše ležel.

Váha tedy ukáže přibližně 2 kg.

Přesněji řečeno: bude zatížena silou odpovídající tíze celé soustavy a tuto sílu přepočítá na údaj přibližně 2 kg.

Řidiči z našeho vtipu tedy vzlétnutí papoušků nepomůže. Pokud jsou ptáci uvnitř uzavřeného náklaďáku a ustáleně létají, jejich působení se přes vzduch přenese zpět na náklaďák.

Co když dron začne zrychlovat vzhůru?

Aby dron zrychloval směrem vzhůru, musí na něj vzduch působit větší silou než při pouhém visení. Dron proto zároveň působí větší silou směrem dolů na vzduch.

Tento větší účinek se přes vzduch přenese na krabici a následně na váhu.

Váha proto během zrychlování dronu vzhůru ukáže více než 2 kg.

Je to podobné jako ve výtahu: když se výtah začne rozjíždět směrem vzhůru, máme na okamžik pocit, že jsme těžší.

Jakmile však dron přestane zrychlovat a například stoupá stálou rychlostí, výsledná síla na něj je opět nulová. Váha proto při ustáleném pohybu znovu ukazuje přibližně 2 kg.

A co když dron začne padat?

Opačná situace nastane, když dron sníží tah vrtulí a začne zrychlovat směrem dolů.

Vzduch na něj potom působí menší silou vzhůru než při visení, a dron proto také tlačí na vzduch menší silou dolů. Na krabici a váhu se tak přenáší menší síla.

Váha proto ukáže méně než 2 kg.

Představme si krajní idealizovaný případ: dron vypne motory a začne volně padat. Pokud bychom zanedbali odpor vzduchu i vztlak, zrychloval by dolů právě gravitačním zrychlením \(g\), a přes vzduch by krabici vůbec nezatěžoval. Váha by v takovém ideálním případě ukazovala přibližně jen 1 kg, tedy samotnou krabici.

Ve skutečnosti ovšem dron padá ve vzduchu. Vzduch na něj působí odporem a také vztlakovou silou, takže část jeho působení se na krabici přenáší i během pádu. Údaj proto nebude přesně 1 kg.

V ještě krajnějším případě, kdy by dron aktivně zrychloval dolů dokonce více než \(g\), musel by působit na vzduch směrem vzhůru, takže by krabici částečně nadlehčoval a váha by mohla ukázat dokonce méně než 1 kg.

Hlavní princip

Dron zrychluje vzhůru → váha ukazuje více.
Dron ustáleně visí → váha ukazuje přibližně 2 kg.
Dron zrychluje dolů → váha ukazuje méně.

Co když je krabice obrovská?

Ani obrovská krabice základní výsledek nezmění.

Pokud je bedna mnohonásobně větší než dron, proudění vzduchu uvnitř bude složitější a po změně tahu dronu může nějakou dobu trvat, než se změna plně projeví na stěnách a dně bedny.

Jestliže ale dron v uzavřené bedně dlouhodobě visí na jednom místě, výsledek zůstává stejný. Jeho působení se přes vzduch přenese na bednu a odtud na váhu.

Ani obrovská bedna tedy dronu nedovolí „schovat“ svou hmotnost před váhou.

Záleží na velikosti samotného dronu?

Do určité míry ano, ale hlavní výsledek úlohy se tím nemění.

Dron je stejně jako každé jiné těleso ve vzduchu nadnášen vztlakovou silou. Čím větší má objem, tím větší množství vzduchu vytlačuje a tím větší vztlaková síla na něj působí.

Větší dron o stejné hmotnosti je proto vzduchem nadnášen o něco více než malý dron stejné hmotnosti a jeho vrtule při visení nemusí vytvářet úplně stejný tah.

V uzavřené krabici je však vztlak pouze součástí vnitřního přenosu sil mezi dronem, vzduchem a krabicí. Vzduch, který dron nadnáší, zároveň působí na krabici. Pro váhu pod celou soustavou se proto hlavní výsledek nemění.

Dron se dna krabice nemusí vůbec dotýkat, a přesto váhu zatěžuje. Při visení působí na vzduch směrem dolů, vzduch přenáší tento účinek na krabici a ta na váhu.

Při ustáleném visení dronu váha ukáže přibližně 2 kg.