10¹⁰⁰⁰  vs  200!

Řešení úlohy

Co znamená vykřičník

Vykřičník za číslem zde není interpunkční znaménko. Označuje faktoriál. Zápis \(5!\) čteme „pět faktoriál“.

Faktoriál kladného celého čísla získáme tak, že vynásobíme všechna kladná celá čísla od jedné až po toto číslo. Obecně:

Například:

Podobně \(200!\) není \(200\cdot200\). Je to součin všech celých čísel od \(1\) do \(200\):

Jak porovnat dvě obrovská čísla

Obě čísla ze zadání jsou obrovská. Přesto nemusíme ani jedno z nich celé vypisovat. Stačí najít číslo, které je určitě větší než \(200!\), a to potom porovnat s \(10^{1000}\).

Přímý výpočet na běžné kalkulačce nám nepomůže. Čísla jsou větší, než dokáže uložit nebo zobrazit, a proto ohlásí přetečení.

V součinu \(200!\) násobíme celkem \(200\) čísel. Každé z nich je menší než \(1000\). Kdybychom všech těchto \(200\) čísel nahradili číslem \(1000\), součin bychom zvětšili. Proto platí:

Číslo \(1000\) jsme zvolili záměrně. Je to mocnina deseti, \(1000=10^3\), takže se s ním snadno počítá:

Dokázali jsme tedy, že \(200!\) je menší než \(10^{600}\). A číslo \(10^{600}\) je zjevně menší než \(10^{1000}\), protože při stejném základu \(10\) rozhoduje větší exponent:

Přesnou hodnotu \(200!\) jsme vůbec nepotřebovali. Stačilo nad ní postavit „strop“ \(10^{600}\). Ani tento strop přitom na \(10^{1000}\) nestačí.

Pro představu:

Číslo \(200!\) má \(375\) číslic. Číslo \(10^{1000}\) je jednička následovaná tisícem nul, má tedy \(1001\) číslic.

Větší číslo je \(10^{1000}\).