Matematika

(A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2

Znění úlohy

Grafické znázornění těchto vzorců. Proč jsou zrovna takto.

Střední
Grafické znázornění vzorců pro druhou mocninu součtu a rozdílu

Řešení úlohy

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Strana prvního čtverce se skládá z délky \(a\) a délky \(b\). Celá strana má tedy délku \(a+b\) a obsah čtverce je \((a+b)^2\).

Čtverec je rozdělený na čtyři části: čtverec o obsahu \(a^2\), dva obdélníky o obsahu \(ab\) a čtverec o obsahu \(b^2\).

Čtverec se stranou a plus b rozdělený na části s obsahy a na druhou, ab, ab a b na druhou
\[ \begin{aligned} (a+b)(a+b)&=(a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2\\[6pt] (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2 \end{aligned} \]

Oba obdélníky mají strany \(a\) a \(b\), proto má každý z nich obsah \(ab\). Stejný člen \(ab\) se v obrazci objeví dvakrát, a proto dostaneme \(2ab\).

(A − B)2 = A2 − 2AB + B2

U druhého obrázku začneme velkým čtvercem se stranou \(a\). Jeho obsah je \(a^2\). Červený čtverec má stranu \(a-b\), a právě jeho obsah \((a-b)^2\) chceme vyjádřit.

Od obsahu velkého čtverce odečteme modrý čtverec o obsahu \(b^2\) a dva obdélníky. Každý z nich má strany \(b\) a \(a-b\), takže každý má obsah \(b(a-b)\).

Čtverec se stranou a rozdělený na čtverec b na druhou, dva obdélníky b krát a minus b a čtverec a minus b na druhou
\[ \begin{aligned} (a-b)^2&=a^2-b^2-2b(a-b)\\[6pt] (a-b)^2&=a^2-b^2-2ab+2b^2\\[6pt] (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2 \end{aligned} \]

Ve druhém řádku jsme roznásobili výraz \(-2b(a-b)\). Součin \((-2b)\cdot a\) je \(-2ab\), zatímco součin \((-2b)\cdot(-b)\) je kladný a rovná se \(+2b^2\).

Nakonec se \(-b^2\) a \(+2b^2\) sečtou na \(+b^2\). Proto je poslední člen ve výsledném vzorci kladný, přestože jsme na začátku plochy odčítali.

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Ohodnoťte prosím úlohu

Ohodnoťte prosím úlohu podle toho, jak byla zajímavá a jak dobře bylo vysvětlené řešení. Pomáhá nám to tvořit stále lepší a lepší úlohy. Děkujeme.

Zatím nehodnoceno.

Tipy, triky, komentáře

Nejčastější chybou je vynechat prostřední člen a napsat \((a+b)^2=a^2+b^2\) nebo \((a-b)^2=a^2-b^2\). Ani jedna z těchto rovností obecně neplatí. Při násobení závorek totiž vzniknou také dva součiny \(ab\).