Matematika

Arkus sinus

Znění úlohy

$\sin, \arcsin, \sin^{-1}, \sin^{-1}x, \frac{1}{\sin x}$

Střední

Řešení úlohy

Sinus a cesta zpátky (arkus sinus)

Sinus vezme úhel a přiřadí mu číslo. Například úhlu $30^\circ$ přiřadí hodnotu $\frac{1}{2}$:

\[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]

Někdy ale známe právě toto číslo a hledáme úhel. Potřebujeme tedy postupovat opačným směrem: od hodnoty $\frac{1}{2}$ zpátky k úhlu.

Mohli bychom říci, že hledaný úhel je $30^\circ$. Není to však jediná možnost. Stejný sinus má také úhel $150^\circ$:

\[ \sin 30^\circ = \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \]

Úhly 30 a 150 stupňů mají na jednotkové kružnici stejnou sinusovou souřadnici jedna polovina

Na jednotkové kružnici představuje sinus svislou souřadnici bodu. Úhly $30^\circ$ a $150^\circ$ proto mají stejný sinus, protože jejich body leží stejně vysoko.

K oběma úhlům navíc můžeme přičíst nebo odečíst celou otáčku a sinus se nezmění. Hodnotě $\frac{1}{2}$ tedy odpovídá nekonečně mnoho úhlů.

Proč musíme část sinu vybrat

Abychom mohli k sinu vytvořit inverzní funkci, musí každé hodnotě sinu odpovídat právě jeden úhel. Na celé číselné ose to neplatí, protože sinus stejné hodnoty opakuje.

Sinus proto omezíme na interval od $-90^\circ$ do $90^\circ$. Na něm roste, žádnou hodnotu neopakuje a nabývá všech hodnot od $-1$ do $1$.

Graf sinu se zvýrazněnou rostoucí částí od minus 90 do 90 stupňů

Inverzní funkce k této vybrané části sinu se nazývá arkus sinus a značí se $\arcsin$.

\[ \begin{array}{c} y = \arcsin x \quad\Longleftrightarrow\quad x = \sin y,\\[7pt] -90^\circ \leq y \leq 90^\circ \end{array} \]

Zápis $\arcsin x$ tedy znamená: Najdi jediný úhel od $-90^\circ$ do $90^\circ$, jehož sinus je $x$.

\[ \arcsin:[-1;1]\longrightarrow[-90^\circ;90^\circ]. \]

Vstupem arkus sinu je číslo od $-1$ do $1$, výstupem je úhel od $-90^\circ$ do $90^\circ$.

\[ \begin{array}{rcl} \arcsin\!\left(\frac{1}{2}\right) &=& 30^\circ,\\[7pt] \arcsin\!\left(-\frac{1}{2}\right) &=& -30^\circ,\\[7pt] \arcsin 0 &=& 0^\circ,\\[7pt] \arcsin 1 &=& 90^\circ. \end{array} \]

Proto například $\arcsin 2$ nemá v reálných číslech výsledek: sinus žádného reálného úhlu není $2$.

$\text{[math]}$

Poznámka:

V radiánech arkus sinus vrací úhly z intervalu $\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$.

Dva podobné zápisy, dva různé významy

Samotný zápis $\sin$ označuje funkci a $\sin x$ její hodnotu. Zápis $\sin^{-1}$ se používá jako jiné označení funkce $\arcsin$, tedy inverzní funkce k sinu omezenému na interval od $-90^\circ$ do $90^\circ$.

\[ \sin^{-1}x=\arcsin x. \]

Tento zápis znamená: Najdi úhel, jehož sinus je $x$.

Značení je poněkud nešťastné, protože se podobá záporné mocnině hodnoty $\sin x$:

\[ \begin{array}{c} (\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}=\csc x, \\[7pt] \sin x\neq0. \end{array} \]

Zde vezmeme hodnotu $\sin x$ a uděláme z ní převrácenou hodnotu. Tato funkce se nazývá kosekans.

V prvním zápisu označuje horní index $-1$ inverzní funkci. Ve druhém je $-1$ obyčejný mocninný exponent.

Zápis	Význam
$\sin x$	Sinus úhlu $x$; výsledkem je číslo.
$\arcsin x$	Hlavní úhel, jehož sinus je $x$.
$\sin^{-1}x$	Totéž co $\arcsin x$.
$(\sin x)^{-1}$	Převrácená hodnota sinu.
$\frac{1}{\sin x}$	Totéž co $(\sin x)^{-1}$, tedy $\csc x$.

Graf inverzní funkce

Graf inverzní funkce vznikne prohozením souřadnic $x$ a $y$. Grafy omezeného sinu a arkus sinu jsou proto souměrné podle přímky $y=x$.

Grafy omezené funkce sinus a funkce arkus sinus souměrné podle přímky y rovná se x

Co se stane při skládání funkcí

Pokud nejprve použijeme arkus sinus a potom sinus, dostaneme původní číslo:

\[ \sin(\arcsin x)=x, \qquad x\in[-1;1]. \]

V opačném pořadí dostaneme původní úhel jen tehdy, když leží ve vybraném intervalu:

\[ \begin{array}{c} \arcsin(\sin\alpha)=\alpha,\\[7pt] -90^\circ\leq\alpha\leq90^\circ. \end{array} \]

Arkus sinus vždy vrací hlavní úhel z tohoto intervalu. Proto

\[ \begin{array}{c} \arcsin(\sin150^\circ) \\[7pt] =\arcsin\!\left(\frac{1}{2}\right) =30^\circ. \end{array} \]

Jeden hlavní úhel, nebo všechna řešení?

Zápis $\arcsin\frac{1}{2}=30^\circ$ udává jeden hlavní úhel. Rovnice $\sin\alpha=\frac{1}{2}$ naproti tomu hledá všechna řešení:

\[ \begin{array}{c} \alpha=30^\circ+360^\circ k \\[7pt] \text{nebo} \\[7pt] \alpha=150^\circ+360^\circ k,\\[7pt] k\in\mathbb{Z}. \end{array} \]

Stupně a radiány na kalkulačce

Arkus sinus určí tentýž úhel, kalkulačka jej ale může zobrazit ve stupních nebo v radiánech:

\[ \arcsin\!\left(\frac{1}{2}\right) =30^\circ =\frac{\pi}{6}. \]

Režim DEG ukáže $30$, režim RAD přibližně $0{,}524$.

$\boxed{\sin^{-1}x=\arcsin x}$ znamená: „Najdi úhel.“

$\boxed{(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}}$ znamená: „Vezmi převrácenou hodnotu sinu.“

Arkus sinus vždy vrací hlavní úhel od $-90^\circ$ do $90^\circ$.

Ohodnoťte prosím úlohu

Ohodnoťte prosím úlohu podle toho, jak byla zajímavá a jak dobře bylo vysvětlené řešení. Pomáhá nám to tvořit stále lepší a lepší úlohy. Děkujeme.

Zatím nehodnoceno.

Tipy, triky, komentáře

Na kalkulačkách bývá arkus sinus často ukrytý pod druhou funkcí tlačítka sin. Může být označen jako $\sin^{-1}$, asin nebo arcsin. Nejpřehlednější je psát $\arcsin x$ pro úhel a $\frac{1}{\sin x}$ pro převrácenou hodnotu.

Zápis	Význam
\(\sin x\)	Sinus úhlu \(x\); výsledkem je číslo.
\(\arcsin x\)	Hlavní úhel, jehož sinus je \(x\).
\(\sin^{-1}x\)	Totéž co \(\arcsin x\).
\((\sin x)^{-1}\)	Převrácená hodnota sinu.
\(\frac{1}{\sin x}\)	Totéž co \((\sin x)^{-1}\), tedy \(\csc x\).