Blíž ke středu

Ve čtvercovém parku označíme střed a všechny čtyři rohy. Bod parku nazveme centrální, je-li jeho vzdálenost od středu přísně menší než vzdálenost od každého ze čtyř rohů.

Jakou část plochy parku tvoří centrální body? Hranici, kde jsou některé vzdálenosti stejné, do oblasti nepočítej.

Řešení úlohy Skrýt řešení

Řešení krok za krokem

Čtyři porovnání vzdáleností vymezí menší čtverec

Velikost čtverce nehraje roli. Zvolíme souřadnice, v nichž se porovnávání vzdáleností snadno zkrátí.

Umístíme čtverec do souřadnic

Uvažujme čtverec \([-1,1]\times[-1,1]\) se středem \((0,0)\). Pro bod \((x,y)\) porovnáme vzdálenost od středu a od rohu \((1,1)\). Po umocnění:

\[x^2+y^2<(x-1)^2+(y-1)^2\quad\Longleftrightarrow\quad x+y<1.\]

Použijeme všechny čtyři rohy

Analogicky dostaneme nerovnosti \(x+y<1\), \(x-y<1\), \(-x+y<1\) a \(-x-y<1\). Dohromady jsou ekvivalentní podmínce

\[|x|+|y|<1.\]

To je vnitřek čtverce s vrcholy ve středech stran původního čtverce.

Porovnáme obsahy

Menší čtverec má obě úhlopříčky délky \(2\), tedy obsah \(\frac{2\cdot2}{2}=2\). Původní čtverec má obsah \(4\).

\[\frac{2}{4}=\frac12.\]

Vynechaná hranice má nulový obsah, takže podíl plochy nemění.

Centrální body tvoří polovinu plochy parku.