Bod v trojúhelníku
Uvnitř pravoúhlého trojúhelníku se stranami délek \(3\), \(4\) a \(5\) leží bod \(P\). Všechny tři kolmé vzdálenosti bodu \(P\) od stran jsou kladná celá čísla ve stejné délkové jednotce.
Urči tyto tři vzdálenosti. Zdůvodni také, že takový bod skutečně existuje a je jediný.
Řešení krok za krokem
Obsah trojúhelníku nedovolí ani jednotku navíc
Spojením bodu \(P\) s vrcholy rozdělíme obsah na tři menší trojúhelníky.
Rozložíme obsah
Vzdálenosti od stran délek \(3,4,5\) označme \(x,y,z\). Obsah trojúhelníku je \(6\), proto
Využijeme celočíselnost
Kladná celá \(x,y,z\) dávají nejméně \(3\cdot1+4\cdot1+5\cdot1=12\). Rovnost tedy nastane jen pro \(x=y=z=1\).
Ověříme existenci a jedinost
Poloviční obvod je \(s=6\), takže poloměr vepsané kružnice je \(r=\frac{S}{s}=\frac66=1\). Její střed má od všech stran vzdálenost \(1\) a je jediným vnitřním bodem stejně vzdáleným od všech tří stran.
Všechny tři vzdálenosti jsou \(1\); bodem je vepsiště.