Dělení nulou

Znění úlohy

Proč $1\mathbin{:}0$ není $\infty$

Lehká

graf znázorňující proč nejde dělit nulou

Řešení úlohy

Dělení jako cesta zpátky

Dělení je obrácená cesta k násobení. Když napíšeme $12\mathbin{:}3=4$, říkáme tím, že číslo $4$ po vynásobení trojkou vytvoří $12$:

\[ 12\mathbin{:}3=4 \qquad\Longleftrightarrow\qquad 3\cdot4=12. \]

Výsledek dělení tedy můžeme vždy ověřit násobením. Právě tato kontrola rozhodne i o dělení nulou.

Jaké číslo by mohlo být výsledkem?

Představme si, že by výraz $1\mathbin{:}0$ měl nějaký výsledek $x$. Podle významu dělení by muselo platit:

\[ 1\mathbin{:}0=x \qquad\Longrightarrow\qquad 0\cdot x=1. \]

Nulou však můžeme vynásobit jakékoli reálné číslo a výsledkem bude vždy nula:

\[ 0\cdot x=0. \]

Žádné reálné číslo tedy podmínku $0\cdot x=1$ nesplní. Výraz $1\mathbin{:}0$ proto nemá výsledek — není definován.

Proč nás může napadnout nekonečno

Když dělíme jedničku stále menšími kladnými čísly, výsledky opravdu rychle rostou:

\[ \begin{aligned} 1\mathbin{:}0{,}1&=10,\\[5pt] 1\mathbin{:}0{,}01&=100,\\[5pt] 1\mathbin{:}0{,}001&=1000. \end{aligned} \]

Čím blíže je kladný dělitel nule, tím větší je podíl. Tomuto popisu chování hodnot říkáme limita a zapisujeme jej:

\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]

Zápis neříká, že $\frac{1}{0}=\infty$. Říká pouze, jak se hodnoty $\frac{1}{x}$ chovají pro kladná nenulová čísla, která se k nule stále přibližují.

Z druhé strany je to jinak

Přibližujeme-li se k nule zápornými čísly, výsledky naopak klesají bez omezení:

\[ \begin{aligned} 1\mathbin{:}(-0{,}1)&=-10,\\[5pt] 1\mathbin{:}(-0{,}01)&=-100,\\[5pt] 1\mathbin{:}(-0{,}001)&=-1000. \end{aligned} \]

\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]

Z kladné strany tedy hodnoty míří k $+\infty$, ze záporné k $-\infty$. Oboustranná limita $\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$ proto neexistuje. Symbol $\infty$ zde navíc neoznačuje reálné číslo. Popisuje, že hodnoty nejsou omezené.

$\text{[math]}$

Poznámka:

Hodnota funkce v určitém bodě a chování funkce v jeho okolí jsou dvě různé věci. Limita popisuje přibližování k nule; samotné číslo $0$ ale do jmenovatele dosadit nemůžeme.

A co $0\mathbin{:}0$?

U výrazu $0\mathbin{:}0$ vznikne jiný problém. Hledali bychom číslo $x$, pro které platí:

\[ 0\cdot x=0. \]

Tentokrát podmínku splňuje každé reálné číslo. Dělení však musí mít jeden určitý výsledek, nikoli všechny možné výsledky. Proto není definováno ani $0\mathbin{:}0$.

V oboru reálných čísel výraz $1\mathbin{:}0$ není definován.

Symbol $\infty$ jeho výsledkem není.

Ohodnoťte prosím úlohu

Ohodnoťte prosím úlohu podle toho, jak byla zajímavá a jak dobře bylo vysvětlené řešení. Pomáhá nám to tvořit stále lepší a lepší úlohy. Děkujeme.

Zatím nehodnoceno.

Tipy, triky, komentáře

Chybové hlášení kalkulačky neznamená, že je výsledek příliš velký na zobrazení. Znamená, že zadaná početní operace nemá v běžné aritmetice reálných čísel definovaný výsledek.

Pro každé nenulové číslo $a$ je výraz $\frac{a}{0}$ nedefinovaný, protože rovnice $0\cdot x=a$ nemá řešení. Výraz $\frac{0}{0}$ je také nedefinovaný, ale proto, že by mu vyhovovalo každé $x$.