Dva přehyby

Papírový proužek dlouhý \(84\ \mathrm{cm}\) leží rovně. Uvnitř něj je označen bod \(T\). Levý konec přeložíme přesně na \(T\), čímž vznikne rýha \(L\); proužek rozložíme. Totéž provedeme s pravým koncem a vznikne rýha \(P\).

Delší z úseků \(LT\) a \(TP\) je dvakrát delší než kratší.

Jak daleko leží bod \(T\) od bližšího konce proužku?

Řešení úlohy Skrýt řešení

Řešení krok za krokem

Každá rýha je přesným středem přehýbaného úseku

Přehyb převádí vzdálenosti od bodu \(T\) na jejich poloviny.

Vyjádříme obě vzdálenosti k rýhám

Je-li \(T\) ve vzdálenosti \(t\) od levého konce, pak rýha \(L\) leží v polovině tohoto úseku. Proto \(LT=\frac t2\).

Od pravého konce je \(T\) vzdálen \(84\ \mathrm{cm}-t\), takže \(TP=\frac{84\ \mathrm{cm}-t}{2}\).

Sečteme části mezi rýhami

\[LT+TP=\frac t2+\frac{84\ \mathrm{cm}-t}{2}=42\ \mathrm{cm}.\]

Dvě délky v poměru \(2:1\) se součtem \(42\) jsou \(28\) a \(14\ \mathrm{cm}\).

Vrátíme se k původním koncům

Vzdálenost bodu \(T\) od každého původního konce je dvojnásobkem vzdálenosti k příslušné rýze. Bližší konec proto leží ve vzdálenosti

\[2\cdot14\ \mathrm{cm}=28\ \mathrm{cm}.\]

Bod \(T\) je od bližšího konce vzdálen \(28\ \mathrm{cm}\).