Dva zlomky

Zlomek \(\frac{1}{12}\) chceme zapsat jako součet dvou zlomků, které mají v čitateli 1:

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{12}\]

Najdi všechny dvojice různých kladných celých čísel \(a\) a \(b\), pro které to platí. Abychom každou dvojici nezapisovali dvakrát, předpokládej, že \(a < b\).

Řešení úlohy Skrýt řešení

Řešení krok za krokem

Zlomky převedeme na dvojice dělitelů

Po malé úpravě se hledání dvou neznámých čísel změní v přehled všech dvojic, jejichž součin je 144.

Odstraníme zlomky

Po vynásobení rovnice číslem \(12ab\) dostaneme

\[ab=12a+12b.\]

Oba zlomky v původním součtu jsou kladné, a každý je tedy menší než \(\frac{1}{12}\). Proto platí \(a>12\) a \(b>12\).

Doplníme součin

Od obou stran odečteme \(12a+12b\) a přičteme \(144\):

\[ab-12a-12b+144=144,\qquad (a-12)(b-12)=144.\]

Čísla \(a-12\) a \(b-12\) jsou tedy kladní dělitelé čísla \(144\). Podmínka \(a<b\) zároveň říká, že bereme jen faktorové dvojice s menším prvním členem.

Vypíšeme všechny možnosti

Menší dělitel může být jen \(1,2,3,4,6,8\) nebo \(9\):

\[(a-12,b-12)\in\{(1,144),(2,72),(3,48),(4,36),(6,24),(8,18),(9,16)\}.\]

Po přičtení 12 ke každému členu dostaneme všechny hledané dvojice.

Platí právě sedm dvojic: \((13,156)\), \((14,84)\), \((15,60)\), \((16,48)\), \((18,36)\), \((20,30)\), \((21,28)\).